\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{ngerman}
\usepackage{graphics}
\date{ge-\LaTeX{} am \today}
\author{Prüfung von R. Eichler}
\title{Physik I und II, 1. Vordiplom Herbst 2001}

\begin{document}
\markright{Physik I und II, 1. Vordiplom Herbst 2001}
\pagestyle{myheadings}

\maketitle

\section{Autofahren}
\begin{tabular}{lllcl}
Gegeben: & Rollreibung:       & $\mu$ & $=$ & $\mathbf{0.025}$\\
         & Auto:              & $M$   & $=$ & $700kg$\\
         & Erdbeschleunigung: & $g$   & $=$ & $9.81\frac{m}{s^2}$\\
\end{tabular}

\subsection{Wirkungsgrad}
\begin{tabular}{lllcl}
Gegeben: & Geschwindigkeit: & $50\frac{km}{h}$   & $=$ & $13.89\frac{m}{s}$\\
         & Verbrauch:       & $\frac{5l}{100km}$ & $=$ & $\frac{0.005m^3}{100000m}$\\
         & Dichte:          & $\varrho_{Diesel}$    & $=$ & $0.85*10^3\frac{kg}{m^3}$\\
         & Heizwert:        & $Q_{Diesel}$       & $=$ & $41*10^6\frac{J}{kg}$\\
\end{tabular}
\newline
\\
Hilfsrechnung (Ölverbrauch pro Meter):

\begin{displaymath}
\frac{0.005m^3}{100000m} \Rightarrow M_{"Ol} = \frac{5*10^{-8}m^3*0.85*10^3kg}{m*m^3} = 4.25*10^{-5}\frac{kg}{m}
\end{displaymath}

Leistungen:
\begin{eqnarray}
\label{Pin}
P_{in}  & = & Q_{Diesel} M_{"Ol} v\\
\label{Pout}
P_{out} & = & M g \mu v
\end{eqnarray}

(\ref{Pin}) und (\ref{Pout}) mit $\eta$ verknüpfen
$\Rightarrow (\ref{Pin}) * \eta = (\ref{Pout})$
\begin{displaymath}
\eta = \frac{(\ref{Pout})}{(\ref{Pin})} = \frac{700kg * 9.81\frac{m}{s^2} * 0.025 * 13.89\frac{m}{s}}{41*10^6\frac{J}{kg} * 4.25*10^{-5}\frac{kg}{m} * 13.89\frac{m}{s}} = 9.85\%
\end{displaymath}

Oder die Arbeit vergleichen:
\begin{eqnarray}
\label{Ain}
A_{in}  & = & V * \varrho_{Diesel} * Q_{Diesel}\\
\label{Aout}
A_{out} & = & Weg * M g \mu
\end{eqnarray}

(\ref{Ain}) und (\ref{Aout}) mit $\eta$ verknüpfen
$\Rightarrow (\ref{Ain}) * \eta = (\ref{Aout})$
\begin{displaymath}
\eta = \frac{(\ref{Aout})}{(\ref{Ain})}
\end{displaymath}

\subsection{Beschleunigung}
Energie um einmal auf $v$ zu beschleunigen: $E_1 = \frac{mv^2}{2}$.
Pro Kilometer wird zwei mal auf $v$ beschleunigt und dies über $100km\Rightarrow E_B = 200 * \frac{mv^2}{2}$
\begin{eqnarray*}
100mv^2 & = & \eta * V * \varrho_{Diesel} * Q_{Diesel}\\
\frac{100mv^2}{\eta * \varrho_{Diesel} * Q_{Diesel}} & = & V_B\\
\end{eqnarray*}
$\Rightarrow V_B + 5l = 3.93l + 5l = 8.93l$

\subsection{Überholweg}
\begin{figure}
\includegraphics{ueberhohlen.eps}
\caption{Skizze} \label{ueberhohlen}
\end{figure}

Skizze (Abbildung \ref{ueberhohlen})
\begin{eqnarray*}
v_{Pw} & = & 90\frac{km}{h}\\
v_{Lkw} & = & 50\frac{km}{h}\\
t_0 & = & 0\\
x_{Pw} & = & 0\\
x_{Lkw} & = & 57m\\
t'_0 & = & t\\
x'_{Pw} & = & s\\
x'_{Lkw} & = & s -70m\\
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
x_{Pw} + t * v_{Auto} & = & s\\
x_{Lkw} + t * v_{Lkw} & = & s - 70m
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
0 + t * v_{Pw} & = & s\\
57m + t * v_{Lkw} & = & s -70m
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
t & = & \frac{s}{v_{Pw}}\\
t & = & \frac{s - 127m}{v_{Lkw}}
\end{eqnarray*}
\begin{displaymath}
\Rightarrow \frac{s}{v_{Pw}} = \frac{s - 127m}{v_{Lkw}} \Rightarrow s = \frac{-127m * v_{Pw}}{v_{Lkw}-v_{Pw}} = 285.75m
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\Rightarrow t = \frac{s}{v_{Pw}} = \frac{285.75m}{25\frac{m}{s}} = 11.43s
\end{displaymath}


\section{Rotation starrer Körper}
\begin{tabular}{llrr}
Gegeben: & Körper                & Zylinder               & Quader\\
         & Masse                 & $m = 1200kg$           & $m = 1200kg$\\
         & Höhe                  & $h = 0.5m$             & $h = 0.5$\\
         & Dichte                & wie Quader             & wie Zylinder\\
	 & Breite                &                        & $b = 0.5m$\\
	 & Dicke                 &                        & $d = 0.2m$\\
	 & Winkelgeschwindigkeit & $\omega=50\frac{1}{s}$ & $\omega=50\frac{1}{s}$\\
\end{tabular}
\subsection{Rotationsenergie}
\begin{displaymath}
r^2 * \pi * h = V \Rightarrow r^2 = \frac{V}{\pi * h} \Rightarrow r = \sqrt{\frac{V}{\pi * h}} = \sqrt{\frac{0.05m^3}{\pi * 0.5m}} = 0.178m
\end{displaymath}
Herleitung von $\theta_{Zylinder}$ und $\theta_{Quader}$:\\
Demtröder: Seite 141 (Zylinder)


%TODO


\begin{displaymath}
E_{Rotation} = \frac{1}{2} * \theta * \omega^2
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
E_{Zylinder} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}r^2m)\omega^2 = 23873J
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
E_{Quader} = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{m}{12}(b^2+d^2)\Bigr)\omega^2 = 36250J
\end{displaymath}
\subsection{Drehmoment}
\begin{displaymath}
D = \theta_{Zylinder}\alpha = (\frac{1}{2}mr^2)\frac{\Delta\omega}{\Delta t} = (\frac{1}{2} * 1200kg * 0.178m^2) * \frac{50\frac{1}{s}}{300s} = 3.81Nm
\end{displaymath}
\subsection{Schwingender Zylinder (Pendlender Zylinder?)}
Weder Assis noch arme Vordip büffelnde Studenten sind sich hier einig wie die Aufgabe zu interpretieren ist.
Vorschläge wären nicht ganz perfekte Zylinder die anfangen zu präzessieren oder ein drehender Zylinder der
pendelt (parallel zur Drehachse bzw. senkrecht zur Drehachse).\\
\\
Nehme nun einmal an der Zylinder pendle:\\
Falls die Drehachse senkrecht zur Pendelbewegung
steht, bleibt dies auch beim pendeln so ($L_{Rad} \parallel D$).\\
Falls die Drehachse parallel zur Pendelbewegung steht dreht
sich das Rad beim Pendeln (Abbildung \ref{zyl}). Bilderserie
(Abbildung \ref{bildserie}) das Rad wurde mit Druckluft beschleunigt und dreht sich (von unten links gesehen,
wie im Bild) im Uhrzeigersinn. Beim loslassen dreht sich das Rad dann vom
Aufhängepunkt her gesehen ebenfalls im Uhrzeigersinn bis es am tiefsten Punkt
ist.

\begin{figure}[htb]
\includegraphics{pendlender_zylinder.eps}
\caption{Pendendler Zylinder} \label{zyl}
\end{figure}

\begin{eqnarray*}
D & = & r \times mg \textnormal{(Drehmoment Aufh"angepunkt)}\\
L_{Pr"azession} & = & L_{Rad} \times D
\end{eqnarray*}

\newpage
\begin{center}
%\begin{figure}
\begin{tabular}{ccc}
\includegraphics{rad_0.eps}&
\includegraphics{rad_1.eps}&
\includegraphics{rad_2.eps}\\
\includegraphics{rad_3.eps}&
\includegraphics{rad_4.eps}&
\includegraphics{rad_5.eps}\\
\includegraphics{rad_6.eps}&
\includegraphics{rad_7.eps}&
\includegraphics{rad_8.eps}\\
\includegraphics{rad_9.eps}&
\includegraphics{rad_10.eps}&
\includegraphics{rad_11.eps}\\
\includegraphics{rad_12.eps}&
\includegraphics{rad_13.eps}&
\includegraphics{rad_14.eps}\\
\includegraphics{rad_15.eps}&
\includegraphics{rad_16.eps}&
\includegraphics{rad_17.eps}\\
\includegraphics{rad_18.eps}&
\includegraphics{rad_19.eps}&
\includegraphics{rad_20.eps}\\
\includegraphics{rad_21.eps}&
\includegraphics{rad_22.eps}&
\includegraphics{rad_23.eps}
\end{tabular}
\enlargethispage{20mm}
\begin{figure}[hbt]
\caption{Pendelbewegung eines Rades} \label{bildserie}
\end{figure}
\end{center}
\newpage

\section{Molekülschwingungen}
Ammoniakmolekühl $NH_3$, Bindungskräfte zwischen den H-Atome mit Federn der Konstante $f_H$
und zwischen den N-Atome und H-Atome mit den Konstanten $f_N$
\subsection{Normalschwingungen}
\begin{displaymath}
3 * N - 6 = 6
\end{displaymath}
\subsection{Normalschwingungen II}
Unklar
\subsection{Wärmekapazität}
\begin{displaymath}
c_v(NH_3) = \frac{1}{2}(f_{Translation} + f_{Rotation} + 2 * f_{Oszillation})kT = \frac{1}{2} * (3 + 3 + 2 * 6) * kT
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
c_v(O_2) = \frac{1}{2}(f_{Translation} + f_{Rotation} + 2 * f_{Oszillation})kT = \frac{1}{2} * (3 + 2 + 2 * 1) * kT
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\frac{c_v(NH_3)}{c_v(O_2)} = \frac{3 + 3 + 2 * 6}{3 + 2 + 2 * 1} = \frac{18}{7}
\end{displaymath}

\section{Schwingungen in einem Potential}
\begin{tabular}{llclllcl}
Gegeben: & $K_1$ & $=$ & $-\frac{\alpha}{x^2}$  &         &$\alpha$ & $=$ & $2.3*10^{-28}Nm^2$\\
         & $K_2$ & $=$ & $\frac{\beta}{x^{10}}$ &         &$\beta$  & $=$ & $5*10^{-100}Nm^{10}$\\
         & $m$   & $=$ & $10^{-26}kg$           & Annahme &
\end{tabular}

\subsection{Gleichgewichtslage}
\begin{displaymath}
K_1 + K_2 = 0
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\Rightarrow \frac{\alpha}{x^2} = \frac{\beta}{x^{10}} \Rightarrow \alpha x^{10} = \beta x^2
\Rightarrow \frac{\beta}{\alpha} = \frac{x^{10}}{x^2}
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\Rightarrow x = \sqrt[8]{\frac{5*10^{-100}Nm^{10}}{2.3*10^{-28}Nm^2}} = 1.102*10^{-9}m
\end{displaymath}

\subsection{Schwingungen}
Angreifende Kräfte bei einer Auslenkung von $\xi$ aus der Ruhelage $x_0$
\begin{displaymath}
K(\xi) = \frac{\beta}{(x_0+\xi)^{10}} - \frac{\alpha}{(x_0+\xi)^2} \Rightarrow \frac{\partial K}{\partial \xi} = -\frac{10*\beta}{(x_0+\xi)^{11}} + \frac{2*\alpha}{(x_0+\xi)^3}
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
K(\xi) \approx \underbrace{\frac{\beta}{(x_0)^{10}} - \frac{\alpha}{(x_0)^2}}_{=0} + \underbrace{(-\frac{10*\beta}{(x_0)^{11}} + \frac{2*\alpha}{(x_0)^3})}_{=f} * \xi \qquad \textnormal{f"ur kleine } \xi
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\Rightarrow \omega = \sqrt{\frac{f}{m}} = 3.708*10^{12}Hz
\end{displaymath}

\section{Dopplereffekt}

\begin{tabular}{llcl}
Gegeben: & $\lambda$ & $=$ & $0.4\mu m$\\
         & $v$       & $=$ & $konstant$\\
\end{tabular}
\newline
\begin{figure}
\includegraphics{doppler.eps}
\caption{Skizze} \label{doppler}
\end{figure}
Der Linke Teil in der Abbildung \ref{doppler} ist in Ruhe der gepunktete Teil in der Abbildung \ref{doppler} bewegt sich mit $v$.

\subsection{Frequenz}

\begin{displaymath}
f_{Sender} = f_{Spiegel}
\end{displaymath}
\begin{equation}
\label{f_cl}
f_E = \frac{c}{\lambda}\quad c = \textnormal{ Lichtgeschwindigkeit (oder } c = \frac{Lichtgeschwindigkeit}{n})\\
\end{equation}
\begin{eqnarray}
\label{schwebe_f}
\textnormal{Schwebefrequenz: } f_S & = & \frac{1}{2} (f_1 - f_2)\\
\label{erste}
f_{E-Wagen} & = & f_{Sender}\frac{c-v}{c+0}\\
\label{zweite}
f_{Empf"anger} & = & f_{E-Wagen}\frac{c-0}{c+v}
\end{eqnarray}
\begin{displaymath}
(\ref{erste}) \textnormal{ und } (\ref{zweite}) \Rightarrow f_{Empf"anger} = \Bigl( f_{Sender}\frac{c-v}{c} \Bigr) \frac{c}{c+v} = f_{Sender}\frac{c-v}{c+v}
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
(\ref{schwebe_f}) \Rightarrow f_S = \frac{1}{2}\Bigl( f_{Spiegel} - f_{Sender} \frac{c-v}{c+v} \Bigr) \Rightarrow f_S = \frac{f_{Sender}}{2}\Bigl( 1 - \frac{c-v}{c+v} \Bigr)
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
(\ref{f_cl}) \Rightarrow f_S = \frac{c}{\lambda}\Bigl( 1 - \frac{c-v}{c+v} \Bigr)
\end{displaymath}

\subsection{Frequenz II}
Fragestellung nicht klar.
\subsection{Druckänderung}
Fragestellung nicht klar.

\section{Wärmeleitung im Rohr}
\begin{tabular}{lllcl}
Gegeben: & Rohr       & $\phi_{Rohr}$ & $=$ & $0.1m$\\
         & Isolation  & $d$           & $=$ & $\mathbf{1cm}$\\
         &            & $\lambda$     & $=$ & $0.05\frac{W}{mK}$\\
         & Temperatur & $T_{Innen}$   & $=$ & $100\textnormal{°}C$\\
         &            & $T_{Aussen}$  & $=$ & $20\textnormal{°}C$\\
\end{tabular}

\subsection{Stationärer Zustand}
\begin{figure}
\includegraphics{temp_verlauf.eps}
\caption{Graph} \label{temp_verlauf}
\end{figure}
Zylinderkoordinaten: $T(r,\varphi,z) \Rightarrow$ aus Symetriegründen $T(r)$
\begin{displaymath}
\underbrace{\frac{\partial T}{\partial t}}_{= 0 \textnormal{ (Stationär)}} = \frac{\lambda}{c \varrho} \nabla T =
\Bigl(\frac{\partial^2}{r^2} + \frac{1}{r^2} \underbrace{\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}}_{= 0} + \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial r} + \underbrace{\frac{\partial^2}{\partial z^2}}_{= 0} \Bigr)
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\Rightarrow 0 = \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \Leftrightarrow
\frac{\partial T'}{\partial r} + \frac{1}{r}T' = 0 \Rightarrow T'(r) = a\frac{1}{r} \Rightarrow T(r) = a \ln r + b
\end{displaymath}
Randbedingungen einsetzen
\begin{eqnarray*}
T(\phi_{Rohr}) & = & T_{Innen}\\
T(\phi_{Rohr} + d) & = & T_{Aussen}
\end{eqnarray*}
\begin{displaymath}
\Rightarrow a =  \frac{80}{\ln 0.05-\ln 0.06} = -438.79 \textnormal{ und } b = -438.79 \ln (0.05) - 373 = 941.48
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\Rightarrow T(r) = -438.79 * \ln(r) - 941.48
\end{displaymath}
Grafik (Abbildung \ref{temp_verlauf})
\subsection{Wärmefluss}
\begin{eqnarray*}
\frac{dQ}{dt} & = & - \lambda q \frac{\partial T}{\partial x}\\
\Rightarrow \frac{dQ}{dt} \frac{1}{l} & = & - \lambda q \frac{\partial T}{\partial r} \frac{1}{l}\\
\Rightarrow \frac{dQ}{dt} \frac{1}{l} & = & - \lambda 2 r \pi \underbrace{\frac{\partial T}{\partial r}}_{T'(r)=a \frac{1}{r}} \frac{1}{l}\\
\Rightarrow \frac{dQ}{dt} \frac{1}{l} & = & - \lambda 2 r \pi \frac{a}{r}\\
\Rightarrow \frac{dQ}{dt} \frac{1}{l} & = & 137.84 \frac{J}{ms}
\end{eqnarray*}

\newpage
Fehler in dieser Musterlösung bitte per e-mail an vordiplome@vmp.ethz.ch melden.\\
Danke an alle die mit mir versucht haben dieses Vordip zu lösen.\\
Da es mein erstes \LaTeX -Dokument ist, wird gebeten über komische Darstellungen hinweg zu sehen bzw. diese selber zu beheben.
\begin{flushright}
Thomas Kuster\\
thomas@fam-kuster.ch
\end{flushright}


\end{document}
