Physik I und II, 1. Vordiplom Herbst 2001

Prüfung von R. Eichler ge-L^{A}TEX am 24. August 2002

1 Autofahren

Gegeben: Rollreibung:  μ = 0.025
Auto:  M = 700kg
Erdbeschleunigung: g = 9.81\frac{m}{s^{2}}

1.1 Wirkungsgrad

Gegeben: Geschwindigkeit: 50\frac{km}{h} = 13.89\frac{m}{s}
Verbrauch:  \frac{5l}{100km} = \frac{0.005m^{3}}{100000m}
Dichte:  ϱ_{Diesel} = 0.85 ∗ 10^{3} \frac{kg}{m^{3}}
Heizwert:  Q_{Diesel} = 41 ∗ 10^{6} \frac{J}{kg}

Hilfsrechnung (Ölverbrauch pro Meter):

\frac{0.005m^{3}}{100000m} ⇒ M_{Öl} = \frac{5 ∗ 10^{−8}m^{3} ∗ 0.85 ∗ 10^{3}kg}{m ∗ m^{3}} = 4.25 ∗ 10^{−5} \frac{kg}{m}

Leistungen:

P_{in} = Q_{Diesel}M_{Öl}v  (1)
P_{out} = Mgμv  (2)

(1) und (2) mit η verknüpfen ⇒ (1) ∗ η = (2)

η = \frac{(2)}{(1)} = \frac{700kg ∗ 9.81\frac{m}{s^{2}} ∗ 0.025 ∗ 13.89\frac{m}{s}}{41 ∗ 10^{6} \frac{J}{kg} ∗ 4.25 ∗ 10^{−5} \frac{kg}{m} ∗ 13.89\frac{m}{s}} = 9.85%

Oder die Arbeit vergleichen:

A_{in} = V ∗ ϱ_{Diesel} ∗ Q_{Diesel}  (3)
A_{out} = W eg ∗ Mgμ  (4)

(3) und (4) mit η verknüpfen ⇒ (3) ∗ η = (4)

η = \frac{(4)}{(3)}

Abbildung 1: Skizze

1.2 Beschleunigung

Energie um einmal auf v zu beschleunigen: E_{1} = \frac{mv^{2}}{2} . Pro Kilometer wird zwei mal auf v beschleunigt und dies über 100km ⇒ E_{B} = 200 ∗ \frac{mv^{2}}{2}

100mv^{2} = η ∗ V ∗ ϱ_{Diesel} ∗ Q_{Diesel}
\frac{100mv^{2}}{η ∗ ϱ_{Diesel} ∗ Q_{Diesel}} = V_{B}

⇒ V_{B} + 5l = 3.93l + 5l = 8.93l

1.3 Überholweg

Skizze (Abbildung 1)

v_{P w} = 90\frac{km}{h}
v_{Lkw} = 50\frac{km}{h}
t_{0} = 0
x_{P w} = 0
x_{Lkw} = 57m
t′_{0} = t
x′_{P w} = s
x′_{Lkw} = s − 70m

x_{P w} + t ∗ v_{Auto} = s
x_{Lkw} + t ∗ v_{Lkw} = s − 70m

0 + t ∗ v_{P w} = s
57m + t ∗ v_{Lkw} = s − 70m

t = \frac{s}{v_{P w}}
t = \frac{s − 127m}{v_{Lkw}}

⇒ \frac{s}{v_{P w}} = \frac{s − 127m}{v_{Lkw}} ⇒ s = \frac{−127m ∗ v_{P w}}{v_{Lkw} − v_{P w}} = 285.75m

⇒ t = \frac{s}{v_{P w}} = \frac{285.75m}{25\frac{m}{s}} = 11.43s

2 Rotation starrer Körper

Gegeben: Körper  Zylinder  Quader
Masse  m = 1200kg m = 1200kg
Höhe h = 0.5m h = 0.5
Dichte  wie Quader wie Zylinder
Breite  b = 0.5m
Dicke  d = 0.2m
Winkelgeschwindigkeit  ω = 50\frac{1}{s}  ω = 50\frac{1}{s}

2.1 Rotationsenergie

r^{2} ∗ π ∗ h = V ⇒ r^{2} = \frac{V}{π ∗ h} ⇒ r = \sqrt{\frac{V}{π ∗ h}} = \sqrt{\frac{0.05m^{3}}{π ∗ 0.5m}} = 0.178m

Herleitung von θ_{Zylinder} und θ_{Quader}: Demtröder: Seite 141 (Zylinder)

E_{Rotation} = \frac{1}{2} ∗ θ ∗ ω^{2}

E_{Zylinder} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}r^{2}m)ω^{2} = 23873J

E_{Quader} = \frac{1}{2}(\frac{m}{12}(b^{2} + d^{2}))ω^{2} = 36250J

2.2 Drehmoment

D = θ_{Zylinder}α = (\frac{1}{2}mr^{2})\frac{Δω}{Δt} = (\frac{1}{2} ∗ 1200kg ∗ 0.178m^{2}) ∗ \frac{50\frac{1}{s}}{300s} = 3.81Nm

2.3 Schwingender Zylinder (Pendlender Zylinder?)

Weder Assis noch arme Vordip büffelnde Studenten sind sich hier einig wie die Aufgabe zu interpretieren ist. Vorschläge wären nicht ganz perfekte Zylinder die anfangen zu präzessieren oder ein drehender Zylinder der pendelt (parallel zur Drehachse bzw. senkrecht zur Drehachse).

Nehme nun einmal an der Zylinder pendle: Falls die Drehachse senkrecht zur Pendelbewegung steht, bleibt dies auch beim pendeln so (L_{Rad} ∥ D). Falls die Drehachse parallel zur Pendelbewegung steht dreht sich das Rad beim Pendeln (Abbildung 2). Bilderserie (Abbildung 3) das Rad wurde mit Druckluft beschleunigt und dreht sich (von unten links gesehen, wie im Bild) im Uhrzeigersinn. Beim loslassen dreht sich das Rad dann vom Aufhängepunkt her gesehen ebenfalls im Uhrzeigersinn bis es am tiefsten Punkt ist.

Abbildung 2: Pendendler Zylinder

D = r × mg(Drehmoment Aufhängepunkt)
L_{P räzession} = L_{Rad} × D

Physik I und II, 1. Vordiplom Herbst 2001 5 Abbildung 3: Pendelbewegung eines Rades

3 Molekülschwingungen

Ammoniakmolekühl NH_{3}, Bindungskräfte zwischen den H-Atome mit Federn der Konstante f_{H} und zwischen den N-Atome und H-Atome mit den Konstanten f_{N}

3.1 Normalschwingungen

3 ∗ N − 6 = 6

3.2 Normalschwingungen II

Unklar

3.3 Wärmekapazität

c_{v}(NH_{3}) = \frac{1}{2}(f_{T ranslation}+f_{Rotation}+2∗f_{Oszillation})kT = \frac{1}{2} ∗(3+3+2∗6)∗kT

c_{v}(O_{2}) = \frac{1}{2}(f_{T ranslation} +f_{Rotation} +2∗f_{Oszillation})kT = \frac{1}{2} ∗(3+2+2∗1)∗kT

\frac{c_{v}(NH_{3})}{c_{v}(O_{2})} = \frac{3 + 3 + 2 ∗ 6}{3 + 2 + 2 ∗ 1} = \frac{18}{7}

4 Schwingungen in einem Potential

Gegeben: K_{1} = −\frac{α}{x^{2}}  α = 2.3 ∗ 10^{−28}Nm^{2}
K_{2} = \frac{β}{x^{10}}  β = 5 ∗ 10^{−100}Nm^{10}
m = 10^{−26}kg Annahme

4.1 Gleichgewichtslage

K_{1} + K_{2} = 0

⇒ \frac{α}{x^{2}} = \frac{β}{x^{10}} ⇒ αx^{10} = βx^{2} ⇒ \frac{β}{α} = \frac{x^{10}}{x^{2}}

⇒ x = ^{8} \sqrt{\frac{5 ∗ 10^{−100}Nm^{10}}{2.3 ∗ 10^{−28}Nm^{2}}} = 1.102 ∗ 10^{−9}m

Physik I und II, 1. Vordiplom Herbst 2001 7

Abbildung 4: Skizze

4.2 Schwingungen

Angreifende Kräfte bei einer Auslenkung von ξ aus der Ruhelage x_{0}

K(ξ) = \frac{β}{(x_{0} + ξ)^{10}} − \frac{α}{(x_{0} + ξ)^{2}} ⇒ \frac{∂K}{∂ξ} = −\frac{10 ∗ β}{(x_{0} + ξ)^{11}} + \frac{2 ∗ α}{(x_{0} + ξ)^{3}}

K(ξ) ≈ \underbrace{\frac{β}{(x_{0})^{10}} − \frac{α}{(x_{0})^{2}}}_{=0} + \underbrace{(−\frac{10 ∗ β}{(x_{0})^{11}} + \frac{2 ∗ α}{(x_{0})^{3}} )}_{=f} ∗ξ für kleine ξ

⇒ ω = \sqrt{\frac{f}{m}} = 3.708 ∗ 10^{12}Hz

5 Dopplereffekt

\begin{aligned}Gegeben: & λ & = & 0.4μm \\ & v & = & konstant \end{aligned}

Der Linke Teil in der Abbildung 4 ist in Ruhe der gepunktete Teil in der Abbildung 4 bewegt sich mit v.

5.1 Frequenz

f_{Sender} = f_{Spiegel}
f_{E} = \frac{c}{λ} c = Lichtgeschwindigkeit (oder c = \frac{Lichtgeschwindigkeit}{n}) (5)

Schwebefrequenz: f_{S} = \frac{1}{2}(f_{1} − f_{2})  (6)
f_{E−W agen} = f_{Sender} \frac{c − v}{c + 0}  (7)
f_{Empfänger} = f_{E−W agen} \frac{c − 0}{c + v}  (8)

(7) und (8) ⇒ f_{Empfänger} = (f_{Sender} \frac{c − v}{c} )\frac{c}{c + v} = f_{Sender} \frac{c − v}{c + v}

(6) ⇒ f_{S} = \frac{1}{2}(f_{Spiegel} − f_{Sender} \frac{c − v}{c + v} ) ⇒ f_{S} = \frac{f_{Sender}}{2} (1 − \frac{c − v}{c + v} )

(5) ⇒ f_{S} = \frac{c}{λ}(1 − \frac{c − v}{c + v} )

5.2 Frequenz II

Fragestellung nicht klar.

5.3 Druckänderung

Fragestellung nicht klar.

6 Wärmeleitung im Rohr

Gegeben: Rohr  ϕ_{Rohr} = 0.1m
Isolation d = 1cm
λ  = 0.05\frac{W}{mK}
Temperatur T_{Innen} = 100^{∘}C
T_{Aussen} = 20^{∘}C

6.1 Stationärer Zustand

Zylinderkoordinaten: T (r, φ, z) ⇒ aus Symetriegründen T (r)

\underbrace{\frac{∂T}{∂t}}_{=0 (Stationär)} = \frac{λ}{cϱ}∇T = (\frac{∂^{2}}{r^{2}} + \frac{1}{r^{2}} \underbrace{\frac{∂^{2}}{∂φ^{2}}}_{=0} +\frac{1}{2} \frac{∂}{∂r} + \underbrace{\frac{∂^{2}}{∂z^{2}}}_{=0})

⇒ 0 = \frac{∂^{2}}{∂φ^{2}} + \frac{∂^{2}}{∂z^{2}} ⇔ \frac{∂T′}{∂r} + \frac{1}{r}T′ = 0 ⇒ T′(r) = a\frac{1}{r} ⇒ T (r) = a ln r + b

Randbedingungen einsetzen

T (ϕ_{Rohr}) = T_{Innen}
T (ϕ_{Rohr} + d) = T_{Aussen}

Physik I und II, 1. Vordiplom Herbst 2001 9

Abbildung 5: Graph

⇒ a = \frac{80}{ln 0.05 − ln 0.06} = −438.79 und b = −438.79 ln(0.05)−373 = 941.48

⇒ T (r) = −438.79 ∗ ln(r) − 941.48

Grafik (Abbildung 5)

6.2 Wärmefluss

\frac{dQ}{dt} = −λq \frac{∂T}{∂x}
⇒ \frac{dQ}{dt} \frac{1}{l} = −λq \frac{∂T}{∂r} \frac{1}{l}
⇒ \frac{dQ}{dt} \frac{1}{l} = −λ2rπ \underbrace{\frac{∂T}{∂r}}_{T′(r)=a \frac{1}{r}} \frac{1}{l}
⇒ \frac{dQ}{dt} \frac{1}{l} = −λ2rπ \frac{a}{r}
⇒ \frac{dQ}{dt} \frac{1}{l} = 137.84\frac{J}{ms}

Fehler in dieser Musterlösung bitte per e-mail an vordiplome@vmp.ethz.ch melden. Danke an alle die mit mir versucht haben dieses Vordip zu lösen. Da es mein erstes L^{A}TEX-Dokument ist, wird gebeten über komische Darstellungen hinweg zu sehen bzw. diese selber zu beheben.

Thomas Kuster thomas@fam-kuster.ch