\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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\date{\today}
\author{Physik Praktikum}
\title{Innere Reibung in Flüssigkeiten (7) $\eta$}

\begin{document}
\markright{Physik Praktikum}
\pagestyle{myheadings}

\maketitle

\setcounter{section}{-1}

\section{Grundlagen}
$\eta = $ Zähigkeitskonstante, Koeffizient der inneren Reibung, Viskosität.\\
Materialkonstante hängt stark von der Temperatur ab.\\
$[\eta] = \frac{kg}{m s}$ oder auch $(1\frac{kg}{m s} = 10\frac{g}{cm s} = 10 Poise)$

\section{$\eta$ nach Hagen-Poiseuille}
Flüssigkeit fliesst durch eine Röhre.\\
$\tau = -\eta\frac{dv}{dr}$ $(\frac{dv}{dr} < 0)$ Schubspannung
$\frac{dv}{dr} = \frac{p_{1}-p_{2}}{2 \eta l}r \Rightarrow v(r) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4 \eta l}(R^{2}-r^{2})$\\
$Q = \frac{R^{2}\pi v_{0}}{2} = \frac{R^{2}\pi p_{1}-p_{2}}{2 \cdot 4 \eta l}R^{2}$
mit $v_{0}$ bei $r = 0$ (grösste Geschwindigkeit) $\Rightarrow$ Geschwindigkeitsverteilung im Rohr wird nicht berücksichtigt
$\Rightarrow$ Tatsächliche Durchflussmenge ist kleiner.

\subsection{Versuch}
\begin{displaymath}
Q = \frac{V}{t} = \frac{\pi}{8} \cdot \frac{(h_{1}+h_{2}+l)\rho g}{\eta l}R^{4} \approx \frac{\pi \bar h \rho g R^{4}}{8 \eta l} \Rightarrow \eta = \frac{t \pi \bar h \rho g R^{4}}{8 V l}
\end{displaymath}

\section{Freier Fall einer Kugel in einer zähen Flüssigkeit}
Nach kurzer Zeit stellt sich eine stationäre Geschwindigkeit ein ($\sum K_{i} = 0$).\\
Gewichtskraft: $G = \frac{4 \pi}{3}r^{3} \rho_{K}g$\\
Auftrieb: $A = \frac{4 \pi}{3}r^{3} \rho_{Fl}g$\\
Reibungskraft: $W = 6 \pi \eta r v$\\
$\Rightarrow 0 = G - A - W = \frac{4 \pi}{3}r^{3} g (\rho_{K} - \rho_{Fl}) - 6 \pi \eta r v$\\
$\Rightarrow \eta = \frac{2 r^{2}(\rho_{K} - \rho_{Fl})g}{9 v} = \frac{2 r^{2}(\rho_{K} - \rho_{Fl})g}{9 l}t$\\
Wegen des Wandeinflusses wird anstelle von $W$, $W^{*}$ genohmen:\\
$W^{*} = 6 \pi \eta r v (1 + 2.1\frac{r}{R})$

\subsection{Versuch}
\begin{displaymath}
\frac{2 r^{2}(\rho_{K} - \rho_{Fl})g}{9 l(1 + 2.1\frac{r}{R})}t = \frac{2 r^{2} R (\rho_{K} - \rho_{Fl})g}{9 l(R + 2.1r)}
\end{displaymath}
Stahlkugeln: $2r = 1, 2$ und $3mm$\\
$\rho_{K} = 7600\frac{kg}{m^3}$\\
$\rho_{Fl}$ mit Aräometer messen

\section{Viskosimeter von Hoeppler}
Das Hoeppler'sche Viskosimeter ermöglicht Zähigkeitskonstanten von $3 \cdot 10^{-4}$ bis $100 \frac{kg}{ms}$
zu messen, bei Temperaturen zwischen 20°C und 80°C. Dabei ist $\eta \propto$ Fallzeit.
Der Proportionalitätsfaktor heisst Kugelfaktor ($c$) und ist eine Insturmentenkonstante

\subsection{Versuch}
\begin{displaymath}
\eta = t \cdot c
\end{displaymath}
Graphische Darstellung: $\eta = f(T)$ (zwischen 20°C und 50°C)

\section{Turbulente Strömung}
Für nicht sehr zähe Flüssigkeiten und für grosse Geschwindigkeiten übertrifft der Wirbelwiederstand den Reibungswiederstand um mehrere Zehnerpotenzen.
Der Reibungswiederstand kann daher vernachlässigt werden. Der Wiederstand beträgt daher:\\
$W = c_{w}\frac{\rho v^{2}}{2}F$ ($F =$ Querschnittsfläche)\\
$c_{w}$ hängt von der Form des Körpers ab.

\subsection{Versuch}
$G + G^{*} - A - A^{*} - W = 0$ stationäre Geschwindigkeit, wobei $G = A$
\begin{displaymath}
c_{w}\frac{\rho_{Fl} v^{2}}{2}F = W = G^{*} - A^{*} = m_{G}g\frac{\rho_{G}-\rho_{Fl}}{\rho_{G}}
\end{displaymath}
Graphische Darstellung: $W = f(v^{2})$
\vfill
\begin{flushleft}
\textcopyleft{} Thomas Kuster\\
thomas@fam-kuster.ch
\end{flushleft}
\end{document}



