\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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\date{\today}
\author{Physik Praktikum}
\title{Gekoppelte Pendel (6) $gP$}

\begin{document}
\markright{Physik Praktikum}
\pagestyle{myheadings}

\maketitle

\setcounter{section}{-1}

\section{Zusammenfassung}
Bei den vier Versuchen geht es darum verschiedene Schwingungen experimetell zu
untersuchen.

Im ersten Versuch wird ein physikalisches Pendel gemessen und
mit den Werten des mathematischen verglichen.

Gekoppelte Pendel werden in den Veruschen 2, 3 und 4 untersucht. Die
Schwingungsdauer der symmetrischen, antisymmetrischen und wandernden Schwingung
sowie die Schwebungszeit wird im Versuch 2 für zwei verschiede Kopplungen
gemessen. Die letzten beiden Werte werden zudem noch berechnet.

Ebenfalls für zwei verschiedene Kopplungen wird im Versuch 3 der Kopplungsmoment
dynamisch und statisch betimmt.

Eine graphischen Darstellung der Schwebung
erfolgt im letzten Versuch.

\section{Physikalisches Pendel}
\begin{eqnarray*}
l & = & \mbox{Pendellänge (bis Schwerpunkt) } [m]\\
T_0 & = & \mbox{Schwingungsdauer } [s]\\
g & = &  9.81 \frac{m}{s^2} \mbox{ Fallbeschleunigung}\\
\end{eqnarray*}
\begin{displaymath}
T_0 = 2 \pi\sqrt{\frac{m l^2}{m g l}} =2 \pi\sqrt{\frac{l}{g}}
\end{displaymath}
\newpage
\section{Gekoppelte Schwingung}
\begin{eqnarray*}
\tau_\omega & = & \mbox{Symmetrische Schwingung (Eigenschwingung) } [s]\\
\tau_\Omega & = & \mbox{Anitisymmetrische Schwingung } [s]\\
\tau & = & \mbox{Wandernde Schwingung } [s]\\
T_S & = & \mbox{Schwebungszeit } [s]\\
\end{eqnarray*}
\begin{displaymath}
\tau = \frac{4 \pi}{\Omega + \omega} \Rightarrow \frac{1}{\tau} =
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\tau_\omega} + \frac{1}{\tau_\Omega}\right)
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
T_S = \frac{2 \pi}{\Omega - \omega} \Rightarrow \frac{1}{T_S} =
\frac{1}{\tau_\Omega} - \frac{1}{\tau_\omega}
\end{displaymath}

\section{Kopplung}
\begin{eqnarray*}
m_P & = & \mbox{Masse Pendel und Regulierschraube } [kg]\\
h_P & = & \mbox{Höhe des Pendels (Zylinderhöhe) } [m]\\
r_P & = & \mbox{Radius des Pendels (Zylinderradius) } [m]\\
d_P & = & \mbox{Abstand Drehachse Schwerpunkt Zylinder } [m]\\
m_S & = & \mbox{Masse des Pendelschaftes } [kg]\\
h_S & = & \mbox{Höhe des Pendelschaftes } [m]\\
r_S & = & \mbox{Radius des Pendelschaftes } [m]\\
d_S & = & \mbox{Abstand Drehachse Schwerpunkt Pendelschaft } [m]\\
\end{eqnarray*}
\subsection{Trägheitmoment des Pendels}
\begin{eqnarray*}
\Theta_S & = & \frac{m}{12}\left(3 r^2 + h^2\right)\\
\Theta_A & = & \Theta_S + d^2m\\
\end{eqnarray*}
\subsection{Kopplungsgrad}
\begin{eqnarray}
k = \frac{D_f}{D_g + D_f} \label{k}
\end{eqnarray}
\subsubsection{Dynamisch}
\begin{eqnarray}
D_g & = & \frac{4 \pi^2 \Theta}{\tau_\omega^2} \label{D_g}\\
D_f & = & \frac{1}{2}\left(\frac{4 \pi^2 \Theta}{\tau_\Omega^2} - D_g\right)
\label{D_f}
\end{eqnarray}
\begin{displaymath}
\mbox{Aus (\ref{D_g}) und (\ref{D_f}) } \Rightarrow
D_f = 2\pi^2\Theta \left(\frac{1}{\tau_\Omega^2}-\frac{1}{\tau_\omega^2}\right)
\mbox{ mit (\ref{k}) } \Rightarrow
k = \frac{\tau_\omega^2 - \tau_\Omega^2}{\tau_\omega^2 + \tau_\Omega^2}
\end{displaymath}
\subsubsection{Statisch}
\begin{displaymath}
D_f(\Theta_2 - \Theta_1) = D_g \Theta_1 = g l \left(m_P + \frac{m_S}{2}\right)
\Theta_1
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\Rightarrow D_f = g l \left(m_P + \frac{m_S}{2}\right)
\frac{\Theta_1}{\Theta_2 - \Theta_1}
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\mbox{mit (\ref{k}) } \Rightarrow
\frac{D_g\left(\frac{\Theta_1}{\Theta_2 - \Theta_1}\right)}
{D_g\left(1 + \frac{\Theta_1}{\Theta_2 - \Theta_1}\right)}
= \frac{\Theta_1}{\Theta_2} = k
\end{displaymath}

\section{Verlauf der Amplituden bei der Schwebung}
Graphische Darstellung beider Pendel: $A = f(t)$

\vfill
\begin{flushleft}
\textcopyleft{} Thomas Kuster\\
thomas@fam-kuster.ch
\end{flushleft}
\end{document}

