\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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\date{\today}
\author{Physik Praktikum}
\title{Radioaktivität (40) $\vartheta$}

\begin{document}
\markright{Physik Praktikum}
\pagestyle{myheadings}

\maketitle

\setcounter{section}{-1}

\section{Zusammenfassung}
Einige Atomkerne sind instabil. Sie wandeln sich durch Aussendung von
$\alpha$-Strahlen oder $\beta$-Strahlen in andere meist ebenfalls instabile
Kerne um. Ist der Restkern nicht im energetisch tiefsten Zustand, also angeregt,
geht er durch aussenden von $\gamma$-Strahlen in den Grundzustand über. Es ist
völlig unbestimmt wann ein einzelner radioaktiver Kern zerfällt. Nur für sehr
viele Kerne gilt folgendes Gesetz: die Zahl in einer bestimmten
Zeitdauer zerfallender Kerne ist proportional der Anzahl vorhandener
radioaktiver Kerne und der Zeitdauer selbst. Um die Anzahl zerfallender
Kerne messen zu können, verwendet man die ionisierende Wirkung von radioaktiver
Strahlung. In der Ionisationskammer (hochisolierter gasgefüllter
Zylinderkondensator) fliesst ein Strom proportinal zur Anzahl der Ionen. Die
Anzahl der Ionen ist wiederum proportional zur Anzahl zerfallender Kerne. Der
sehr kleine Ionisationsstrom ($10^{-13}$ bis $10^{-11} A$) kann mit Hilfe eines
Fadenelektrometers gemessen werden.

\section{Spannungsempfindlichkeit $\epsilon_V$\label{e_V}}
Der Ausschlag ($\alpha$) des Fadenelektrometer ist proportional zur Spannung.
Zur Bestimmung von $\alpha$ werden die Hilfsspannungen ($-150V$, $0V$ (Erde),
$150V$ und $300V$) an die Schneiden und an die Ionisationskammer angelegt. Der
Elektrometerfaden muss dabei maximal gespannt sein (Regulierschraube nach links
drehen). An den Elektrometerfaden werden nun verschieden Spannungen ($0V$ bis
$6V$) angelegt, um $\epsilon_V$ zu bestimmen. Zuerst jedoch wird die
Fadenspannung so einstellen dass $4V$ einen Ausschlag von 16 Skalenteile
ergeben.
\begin{eqnarray*}
V & = & \mbox{Spannung } [V]\\
\alpha & = & \mbox{Faden Ausschlag } [Skalenteile]\\
\epsilon_V & = & \mbox{Spannungsempfindlichkeit } [\frac{V}{Skalenteile}]\\
\end{eqnarray*}
\begin{displaymath}
\epsilon_V = \frac{V}{\alpha}
\end{displaymath}

\section{Kapazität $C$ und Ladungsempfindlichkeit $\epsilon_Q$}
Mit der gleichen Schaltung wie in (\ref{e_V}) wir der Faden auf ein bestimmtes
Potenzial $V_1$ geladen. Nun wird der Anschluss am Faden entfernt und eine genau
geeichte Zusatzkapazität $C_{Eich}$ parallel dazu geschaltet. Die Ladung
verteilt sich nun auf beide Kapazitäten und die Spannung sinkt auf $V_2$.
\begin{eqnarray*}
V_1 & = & \mbox{Ladespannung } [V]\\
\alpha_1 & = & \mbox{Ausschlag bei $V_1$} [Skalenteile]\\
V_2 & = & \mbox{Spannung nach Parallelschaltung mit $C_Eich$ } [V]\\
\alpha_1 & = & \mbox{Ausschlag bei $V_2$} [Skalenteile]\\
C & = & \mbox{Kapazität Elektrometer und Ionisationskammer } [F]\\
C_{Eich} & = & 14.0pF = 14.0\cdot10^{-12}F \mbox{ Eichkondensator } [F]\\
\epsilon_V & = & \mbox{Spannungsempfindlichkeit } [\frac{V}{Skalenteile}]\\
\epsilon_Q & = & \mbox{Ladungsempfindlichkeit } [\frac{As}{Skalenteile}]\\
\end{eqnarray*}
\begin{displaymath}
C \underbrace{V_1}_{\epsilon_V \alpha_1} =
(C + C_{Eich}) \underbrace{V_2}_{\epsilon_V \alpha_2}
\Rightarrow C \alpha_1 = (C + C_{Eich})\alpha_2
\Rightarrow C = C_{Eich}\frac{\alpha_1}{\alpha_1 - \alpha_2}
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\epsilon_Q = C \epsilon_V
\end{displaymath}

\section{Zerfallskonstante $\lambda$, Halbwertszeit $\vartheta$}
Schwach radioaktive Thoriumnitratlösung zerfällt unter anderem in
$^{220}Rn$. Mit Hilfe von getrockneter Luft kann es in die Ionisationskammer
gepumpt werden. Dazu das Abluftventil öffnen Pumpe etwas länger als eine Minute
laufen lassen, kurz nach dem abschalten der Pumpe das Ablufventil wieder
schliessen. Gemessen wir nun mit dem Elektrometer der Strom $I$ durch beobachten
der Aufladegeschwindigkeit $\Delta t$ bis zu einem bestimmten Ausschlag.
\begin{eqnarray*}
\Delta N & = & \mbox{Anzahl Kerne die zerfallen in der Zeit $\Delta t$ }
[St"uck]\\
\Delta t & = & \mbox{Zeitspanne } [s]\\
p & = & \mbox{Proportionalitätskonstante }\\
k & = & \frac{\alpha C \epsilon_V}{\lambda p} \mbox{
neue Proportionalitätskonstante }\\
\end{eqnarray*}
\begin{equation}\label{DN}
\alpha = \frac{\overbrace{V}^{\frac{\Delta Q}{C}}}{\epsilon_V} =
\frac{\overbrace{\Delta Q}^{I \Delta t}}{\epsilon_V C} =
\frac{\overbrace{I}^{p\frac{\Delta N}{\Delta t}} \Delta t}{\epsilon_V C} =
\frac{p \Delta N}{\epsilon_V C} \Rightarrow
\Delta N = \frac{\alpha \epsilon_V C}{p}
\end{equation}
Zerfallsgesetz
\begin{displaymath}
N(t) = \frac{\Delta N}{\lambda \Delta t} \overset{\mbox{mit (\ref{DN})}}{=}
\frac{\alpha \epsilon_V C}{\lambda p \Delta t} =
\frac{k}{\Delta t}
\end{displaymath}

\section{Ionisationsstrom, Anzahl zerfallende Kerne pro Sekunde}
Der Ionisationskammer wird nun dauernd $^{220}Rn$ zugeführt. Der zugeführte
Strom ist nun konstant.
\begin{eqnarray*}
I_S & = & \mbox{Sättigungsstrom } [A]\\
e & = & 1.6021892\cdot10^{-19}As \mbox{ Elementarladung } [As]\\
Z & = & \mbox{Anzahl pro Sekunde zerfallender Kerne } [St"uck]\\
n_I & = & \mbox{ Anzahl der bei einem Zerfall erzeugten Ionen } [St"uck]\\
\frac{d \alpha}{dt} & = & \mbox{Fadengeschwindigkeit } [\frac{Skalenteile}{s}]\\
\end{eqnarray*}
\begin{displaymath}
I_S = \frac{dQ}{dt} = \frac{d}{dt}(\epsilon_Q \alpha) =
\epsilon_Q \frac{d \alpha}{dt}
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
I_S = e Z n_I
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
Z = \frac{\epsilon_Q}{e n_I}\cdot\frac{d \alpha}{dt}
\end{displaymath}


\vfill
\begin{flushleft}
\textcopyleft{} Thomas Kuster\\
thomas@fam-kuster.ch
\end{flushleft}
\end{document}