\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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\date{\today}
\author{Physik Praktikum}
\title{Trägheitsmoment (2) $\theta$}

\begin{document}
\markright{Physik Praktikum}
\pagestyle{myheadings}

\maketitle

\setcounter{section}{-1}

\section{Zusammenfassung}
Beim Versuch geht es darum eine Möglichkeit zur experimenteller Bestimmung des
Trägheitsmomentes eines Körpers aufzuzeigen.\\
Im ersten Teil werden die Formeln für die rechnerische Bestimmung der
Trägheitsmomente für einen Balken und eine Scheibe verifiziert.\\
Der zweite Verusch diennt der experimentellen Überprüfung des Satzes von Steiner
(Drehachse wird im untersuchten Körper parallel verschoben).\\
Beim drehen der Drehachse in einem festen Punkt beschreibt der Trägheitsmoment
einen Ellipsoid. Dies wird für den 2-Dimensonalen Fall (Ellipse) experimentell
überprüft.

\section{Direktionsmoment ($D$) der Drillachse}
\begin{eqnarray*}
\theta_K & = & \mbox{Trägheitsmoment Drillachse und Halterung } [kg\ m^2]\\
\theta_B & = & \mbox{Trägheitsmoment eines Balken } [kg\ m^2]\\
T & = & \mbox{Schwingungsdauer } [s]\\
D & = & \mbox{Direktionsmoment, Richtmoment der Feder } [\frac{kg}{s^2}]
\mbox{ oder } [\frac{kg\ m}{s^2 \mbox{ \textdegree}}] \mbox{ ???}
\end{eqnarray*}
Schwingungsdauer
\begin{displaymath}
T = \frac{2 * \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{\theta}{D}} \qquad
T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{\theta_K + 2 \theta_B}{D}} \qquad
T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{\theta_K + 2 \theta_B + \theta_S}{D}}
\end{displaymath}
Trägheitsmoment einer Scheibe
\begin{displaymath}
\theta_S = \frac{1}{2}M_S R_S^2 \qquad
\end{displaymath}
Direktionsmoment
\begin{displaymath}
D = \frac{4 \pi^2 \theta_S}{T_1^2 - T_2^2}
\end{displaymath}

\section{Satz von Steiner}
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{\theta_K + 2 \theta_B}{D}}$ (mit $\theta_K = 0$) für
verschiedene parallele Verschiebungen der Drehachse (jeweils symmetrisch für
beide Balken) werden gemessen.
\begin{displaymath}
\theta_{verschoben} = \theta_{Schwerpunkt} + d^2 M
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
d = \mbox{Distanz Schwerpunkt Drehaschse} \qquad M = \mbox{Gesamtmasse}
\end{displaymath}
Trägheitsmoment eines Balken (Kanten $a, b, c$ und $a$ parallel Drehachse)
\begin{displaymath}
\theta_B = M \frac{b^2 + c^2}{12}
\end{displaymath}

\section{Trägheitsellipse}
$\rho = \frac{1}{\sqrt{\theta}}$ in Richtung der Drehachse aufgetragen
beschreibt einen Ellipsoid. Experimenteller Beweis 2-Dimensional:\\
Ellipse:
\begin{displaymath}
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad
\mbox{(mit $x = \rho \cos(\varphi) \quad y = \rho \cos(\varphi)$ und $\epsilon =
1 -\frac{b^2}{a^2}$)}
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\Rightarrow \frac{1}{\rho^2} = \frac{1}{b^2} - \frac{\epsilon^2}{b^2}
\cos^2(\varphi) = \theta = \frac{T^2 D}{4 \pi^2} = C T^2
\Rightarrow T^2 = A ( 1 - B \cos^2(\varphi))
\end{displaymath}

\vfill
\begin{flushleft}
\textcopyleft{} Thomas Kuster\\
thomas@fam-kuster.ch
\end{flushleft}
\end{document}

