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\hypersetup
{%
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pdfsubject = {Lernaufgabe, Dopplereffekt, Experiment},%
pdfauthor = {Thomas Kuster (8. Semester, D-UWIS)},%
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\date{\today}
\author{Thomas Kuster}

\title{Dopplereffekt\\Schülerexperiment im Normalunterricht}

\begin{document}

\maketitle

\setcounter{section}{-1}
\section{Information}
\begin{description}
\item[Zeit] Doppellektion
\item[Unterrichtsstufe] 3. Klasse Gymnasium
\item[Voraussetzung] Wellen ($f\lambda=c$), Schall, Schallgeschwindigkeit ($c$), Unterschied: Ton, Klang
\item[Ziel] Dopplereffekt (bewegte Quelle) quantitativ verstehen
\end{description}

\subsection{Organisation und Lektionsablauf}
Die Lernaufgabe ist zweigeteilt in einen theoretischen und einen praktischen Teil. Die beiden Teile sind so aufgebaut, dass es keine Rolle spielt welche zuerst bearbeitet wird. Die eine Hälfte der Klasse bearbeitet den theoretischen Teil während die anderen den praktischen Teil (Experiment) bearbeitet, jeweils in 3er Gruppen.
Der Ablauf der Lektion ist Tabelle~\ref{tab:lektionsablauf} dargestellt.
%Da der Zeitaufwand für die beiden Lernaufgabe evtl. nicht gleich gross ist und evtl. auch nicht genügend Material für bereit steht damit alle 3er Gruppen gleichzeitig das Experiment durchführen können sollte der wechsel der von der einen Lernaufgabe zur anderen nicht genügent Material für alle für das Experiment sollte drauf geachtet werden dass das wechseln der Gruppe nach dem 

%\begin{table}
\begin{sidewaystable}
\caption{Lektionsablauf}\label{tab:lektionsablauf}
\begin{tabular}{lllr}
Inhalt & Material & Unterrichtsmethode & Zeit\\
\hline\hline
Einführung & Wandtafel & Frontalunterricht & 5--10'\\
Information und Gruppeneinteilung & & &\\
\hline
Lernaufgabe  & siehe Abschnitt~\ref{sec:material} & Lernaufgabe & $\approx$40'\\
Theorie, Abschnitt~\ref{sec:theorie} & & selbständiges erarbeiten der Theorie & \\
\hline
Lernaufgabe & siehe Abschnitt~\ref{sec:material} & Schülerexperiment & $\approx$40'\\
Experiment, Abschnitt~\ref{sec:experiment} & & &\\
\hline
\end{tabular}
\end{sidewaystable}
%\end{table}

%Kurze Einführung und Information. Einteilung der Klasse in 3er Gruppe (5-10 Minuten).

%Die eine Hälfte der Gruppen bearbeitet in der Hälfte der restlichen Zeit die Lernaufgabe Theorie (Abschnitt~\ref{sec:theorie}), die andere führt das Experiment durch (Abschnitt~\ref{sec:experiment}). Nach der Hälfte der restlichen Zeit wird die jeweils andere Lernaufgabe bearbeitet.

\subsection{Material}\label{sec:material}
\subsubsection{Theorie}
\begin{itemize}
\item Zirkel
\item Abspielgerät mit einer Aufnahme eines vorbeifahrenden Feuerwehrautos
\end{itemize}
\subsubsection{Experiment}
\begin{itemize}
\item Velo evtl. mit Tachometer
\item Stoppuhr
\item Messband oder bereits abgemessene Strecke
\item Gashupe/Gasfanfare (gibt es in Segelgeschäften oder Fussball Fanshops)
\item Gerät um den Klang aufzunehmen. Die Aufnahme sollte anschliessend in einem Audioprogramm bearbeitet werden können.
\begin{itemize}
\item Laptop mit Mikrofon
\item Filmkamera
\item Digitalkamera mit Videofunktion
\item MP3-Player mit Aufnahmefunktion
\end{itemize}
\item Computer mit Audioprogramm (Frequenzanalyse) z.\,B. Audacity\footnote{\url{http://audacity.sourceforge.net/}} (steht unter der GPL\footnote{GNU General Public License, Lizenz für freie Software: \url{http://www.fsf.org/licensing/licenses/gpl.html}} und ist für Linux, MAC und Windows verfügbar)
\end{itemize}

\cleardoublepage
\section{Dopplereffekt bewegte Quelle: Theorie}\label{sec:theorie}
Kontrollieren Sie die Aufgaben {\bf nach} dem Bearbeiten selber mit der bereitliegenden Lösung.
\subsection{Einführung}
Wie ändert sich die Frequenz (Klanghöhe) und Wellenlänge des Signalhorn, wenn ein Feuerwehrauto an Ihnen vorbei fährt. Falls Sie nicht wissen wie sich der Klang ändert, hören Sie sich die bereitgestellte Aufnahme an. Tragen Sie Ihre Aussage in Abbildung~\ref{abb:feuerwehr} ein.
\begin{figure}
\centering
\input feuerwehr.pdf_t
\caption{Feuerwehr fährt mit Signalhorn vorbei.}\label{abb:feuerwehr}
\end{figure}

\subsection{Wellenlängenänderung}
Wir wollen nun verstehen wie dieser Effekt zustande kommt. Die Quelle (das Feuerwehrauto) bewegt sich entlang einer Gerade mit der Geschwindigkeit $v$. Der Schall bewegt sich mit der Schallgeschwindigkeit $c$ und die Quelle sendet einen Ton aus mit der Frequenz $f$.

Damit alles in Abbildung~\ref{abb:herleitung} eingezeichnet werden kann, nehmen wir folgende Geschwindigkeiten an:
\begin{description}
\item[$v$] = 1 Häusschen/Zeiteinheit
\item[$c$] = 2 Häusschen/Zeiteinheit
\end{description}
Die Quelle sende zudem mit einer Wellenlänge\footnote{Strecke von Wellenmaxima bis Wellenmaxima} von $\lambda_Q$ von 2 Häusschen, für die Frequenz gilt somit:
\begin{eqnarray*}
f_Q & =& \frac{c}{\lambda_Q} = \frac{2\,\textnormal{Häusschen/Zeiteinheit}}{2\,\textnormal{Häusschen}}=1\frac{1}{\textnormal{Zeiteinheit}}
\end{eqnarray*}

\begin{figure}
\centering
\input herleitung.pdf_t
\caption{Herleitung des Dopplereffekt}\label{abb:herleitung}
\end{figure}

Zum Zeitpunkt 0 wurde am Ort 0 ein Wellenmaxima ausgesendet. Dieses ist zum Zeitpunkt 1 an der eingezeichneten Stelle. Da sich das Wellenmaxima zum Zeitpunkt 1 an dieser Stelle befindet wird es mit 1 bezeichnet.

Zeichnen Sie nun alle Wellenmaxima zum Zeitpunkt 2 ein. An welcher Stelle befindet sich das Wellenmaxima welches am Ort 0 ausgesendet wurde, an welcher Stelle dasjenige welches am Ort 1 ausgesandt wurde? Zeichnen Sie die Wellenmaxima für die nächsten paar Zeitpunkte ein.

Mit Hilfe Ihrer Skizze können Sie nun eine Formel für die Wellenlänge $\lambda_{B_v}$ die ein stehender Beobachter vor der Quelle war nimmt herleiten.

\subsection{Frequenzänderung}
Schreiben Sie die erhaltene Formel so um, dass Sie aus der ausgesendeten Frequenz die erhaltene Frequenz berechnen können.

\subsection{Nachlaufende Welle, Quelle entfernt sich}
Sie haben sich nun überlegt wie sich die Wellenlänge und die Frequenz ändert, wenn sich die Quelle dem Beobachter nähert. Leiten Sie nun jeweils die Formel her für die Wellenlänge ($\lambda_{B_n}$) und die Frequenz ($f_{B_n}$), wenn sich die Quelle vom Beobachter entfernt. 

\subsection{Frequenzverhältnis}\label{sec:formel_frequenzverhaeltnis}
Bei einem vorbeifahrenden Feuerwehrauto kann nur der Frequenzunterschied gemessen werden. Leiten Sie eine Formel her, mit der Sie die Geschwindigkeit berechnen können wenn sie nur $f_{B_v}$ und $f_{B_n}$ kennen.

\cleardoublepage
\section{Dopplereffekt bewegte Quelle: Experiment}\label{sec:experiment}
Bearbeiten Sie Abschnitt~\ref{sec:interpretation} nur, wenn Ihnen dazu genügend Zeit bleibt.

Lesen Sie bevor Sie mit dem Versuch anfangen diese ganze Anleitung durch (bis und mit Abschnitt~\ref{sec:interpretation}). Ziel des Versuch ist es den Klang der Gashupe des Velofahrers welcher mit konstanter Geschwindigkeit vorbeifährt aufzunehmen und gleichzeitig die Geschwindigkeit des Velofahrers zu messen. Der Versuchsaufbau ist in Abbildung~\ref{abb:aufbau} skizziert.

\begin{figure}
\centering
\input versuchsaufbau.pdf_t
\caption{Versuchsaufbau}\label{abb:aufbau}
\end{figure}

\subsection{Vorbereitung}
\begin{itemize}
\item Messen Sie eine Strecke $l$ ab.
\item Positionieren Sie das Aufnahmegerät in der Mitte dieser Strecke
\end{itemize}

\subsection{Versuch durchführen}
\begin{itemize}
\item Velofahrer durchfährt die Strecke $l$ mit möglichst hoher und konstanter Geschwindigkeit und bestätigt dabei die Gashupe. Verfügt das Velo über einen Tachometer sollte sich der Velofahrer zudem die Geschwindigkeit auf der Strecke $l$ merken.
\item Die anderen Gruppenmitglieder erstellen gleichzeitig eine Aufnahme und stoppen die benötigte Zeit für die Strecke $l$.
\end{itemize}
Wiederholen Sie den Versuch 3 mal und notieren Sie die Werte in Tabelle~\ref{tab:messresultate_auswertung}.
\begin{table}
\centering
\caption{Messresultate und Auswertung}\label{tab:messresultate_auswertung}
\begin{tabular}{lp{0.18\linewidth}p{0.18\linewidth}p{0.18\linewidth}}
 & Versuch 1 & Versuch 2 & Versuch 3\\
\hline \hline
Ort & & & \\
\hline
Datum & & & \\
\hline
Uhrzeit & & & \\
\hline
Länge $l$ & & & \\
\hline
Benötigte Zeit $t$ & & & \\
\hline
Tachometeranzeige $v_T$ & & & \\
\hline
Dateiname der Aufnahme & & &\\
\hline \hline
Geschwindigkeit $v_{SU}$ & & &\\
\hline
Intervall (Name) & & &\\
\hline
Frequenzverhältnis & & &\\
des Intervalls $f_v$ & & &\\
\hline
Gemessene Frequenz & & &\\
vorlaufende Welle $f_v$ & & &\\
\hline
Gemessene Frequenz & & &\\
nachlaufende Welle $f_n$ & & &\\
\hline
Gemessenes Frequenz- & & &\\
verhältnis ($f_v/f_n$) & & &\\
\hline
Geschwindigkeit $v_{DE_I}$ & & &\\
\hline
Geschwindigkeit $v_{DE_G}$ & & &\\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

\subsection{Auswertung}\label{sec:auswertung}
Berechnen Sie die Geschwindigkeit ($v_{SU}$) auf Grund der gestoppten Zeit und tragen Sie diese in Tabelle~\ref{tab:messresultate_auswertung} ein.

Öffnen Sie die Datei im Audioprogramm Audacity und speichern Sie sie unter einem anderen Namen\footnote{Dadurch steht Ihnen, wenn etwas schief geht, das Original noch zur Verfügung}. Isolieren Sie die interessante Stelle (Anfang und Ende wegschneiden, evtl. auch den Übergang).

Beim Abspielen sollte nun das Intervall gut hörbar sein. Schätzen Sie das Intervall mit Hilfe der Tabelle~\ref{tab:merkhilfen} ab. Notieren Sie das Intervall und das dazugehörige Frequenzverhältnis (Proportionen in der Tabelle~\ref{tab:intervalle}) in Tabelle~\ref{tab:messresultate_auswertung} 

Zur Überprüfung bzw. falls Sie das Intervall nicht hören, können Sie eine Frequenzanalyse durchführen. Gehen Sie dazu wie folgt vor: markieren Sie einen Bereich in dem sich die Hupe nähert (überprüfen mit Play), wählen Sie dann Analyse $\rightarrow$ Spektrum (Frequenzanalyse). Skizzieren Sie grob das Spektrum und notieren Sie sich die Frequenz eines deutlichen Maxima (wenn Sie mit Maus über das Spektrum fahren wird die Spitze angezeigt). Markieren Sie nun einen Bereich in dem die Hupe sich entfernt und führen Sie ebenfalls eine Frequenzanalyse durch. Suchen Sie die selbe Spitze und notieren Sie sich diesen Wert. Tragen Sie die Werte und auch das Verhältnis in Tabelle~\ref{tab:messresultate_auswertung} ein.

Falls Sie den theoretischen Teil noch nicht bearbeitet haben, bearbeiten Sie nun diesen Teil und bearbeiten Sie dann den Abschnitt~\ref{sec:geschwindigkeit_dopplereffekt}.

\subsubsection{Geschwindigkeit aus dem Frequenzverhältnis berechnen}\label{sec:geschwindigkeit_dopplereffekt}
Berechnen Sie mit der im theoretischen Teil (Abschnitt~\ref{sec:formel_frequenzverhaeltnis}) hergeleiteten Formel die Geschwindigkeit des Velofahrers. Tragen Sie die Werte in Tabelle~\ref{tab:messresultate_auswertung} ein, dabei steht $v_{DE_I}$ für die Geschwindigkeit welche aus dem geschätzten Intervall berechnet wurde und $v_{DE_G}$ für diejenige aus dem gemessenen Frequenzverhältnis.

\subsection{Interpretation}\label{sec:interpretation}
Sie haben für die Geschwindigkeit mehrere Werte ($v_{SU}, v_{DE}$). Welcher Wert denken Sie entspricht am genaustem dem tatsächlichen Wert und wieso? Wo sehen Sie Probleme und mögliche Fehlerquellen bei den einzelnen Messverfahren?

\begin{table}
\caption{Intervall. Quelle \url{http://de.wikipedia.org/wiki/Intervall_\%28Musik\%29}}\label{tab:intervalle}
\includegraphics[page=2, viewport=57 428 448 800, clip, width=\linewidth]{./intervall_musik}
\end{table}

\begin{table}
\caption{Merkhilfen, Intervall. Quelle \url{http://de.wikipedia.org/wiki/Intervall_\%28Musik\%29}}\label{tab:merkhilfen}
\includegraphics[page=3, viewport=32 131 553 500, clip, width=\linewidth]{./intervall_musik}
\end{table}

\cleardoublepage
\appendix
\section{Lösungen (Theorie)}
\subsection{Einführung}
Zusammenhanf Frequenz und Wellenlänge:
$$
f \lambda = c
$$
\begin{tabular}{lrcl}
 & Feuerwehr nähert sich & & Feuerwehr entfernt sich\\
\hline\hline
Frequenz & Höher & & Tiefer\\
 & $f_v$ & $>$ &  $f_n$\\
\hline
Wellenlänge & $\lambda_v$ & $<$ & $\lambda_n$\\
\hline
\end{tabular}
\subsection{Wellenlängenänderung}
Variablen:
\begin{eqnarray*}
v_Q & : & \textnormal{Geschwindigkeit der Feuerwehr}\\
v_B & : & \textnormal{Geschwindigkeit des Beobachters (Sie bewegen sich nicht)}\\
f_Q & : & \textnormal{Frequenz des Signalhorns}\\
f_B & : & \textnormal{Frequenz beim Beobachter}\\
\end{eqnarray*}
Bekannt:
\begin{eqnarray}
\lambda & = & \frac{c}{f} \label{eq:lambda}
\end{eqnarray}
Wie lange dauert eine Periode:
\begin{eqnarray}
T & = & \frac{1}{f}\\
T_Q & = & \frac{1}{f_Q}\label{eq:T}
\end{eqnarray}
Beoachten Sie für die folgenden Schritte auch die Abbildungen~\ref{abb:bewegte_quelle} und \ref{abb:bewegte_quelle_lambda}. Welche Strecke wird in dieser Zeit ($T_Q$) zurück gelegt (Quelle bewegt sich gleichmässig):
\begin{eqnarray}
v_Q & = & \frac{s}{\Delta t} = \frac{s}{T_Q}\\
s & = & v_Q T_Q \label{eq:s}
\end{eqnarray}

\paragraph{Quelle nähert sich} Wellenlänge verkürzt sich aus Sicht des Beobachters um die zurückgelegte Strecke ($s$):
\begin{eqnarray}
\lambda_B & = & \lambda_Q - s\\
 & \overset{(\ref{eq:s})}{=} & \lambda_Q - v_Q T_Q \label{eq:lambda_B}
\end{eqnarray}

\subsection{Frequenzänderung}
Gleichung~(\ref{eq:lambda_B}) in Frequenzen ausdrücken (Gleichung~(\ref{eq:lambda}) verwenden):
\begin{eqnarray}
\frac{c}{f_B} & = & \frac{c}{f_Q} - v_Q T_Q\\
 & \overset{(\ref{eq:T})}{=} & \frac{c}{f_Q} - v_Q \frac{1}{f_Q}\\
& = & \frac{c}{f_Q} - \frac{v_Q}{f_Q}\\
& = & \frac{c-v_Q}{f_Q}\label{eq:c_f_B}
\end{eqnarray}
Gleichung (\ref{eq:c_f_B}) nach $f_B$ auflösen:
\begin{eqnarray}
c & = & \frac{c-v_Q}{f_Q} f_B\\
f_B & = & f_Q \frac{c}{c-v_Q}\label{eq:doppler_quelle_kommt}
\end{eqnarray}

\subsection{Nachlaufende Welle, Quelle entfernt sich}
In diesem Fall vergrössert sich die Wellenlänge aus Sicht des Beobachters. In Gleichung~(\ref{eq:lambda_B}) wird das Minus zu einem Plus. Für das Ergebnis (Gleichung~\ref{eq:doppler_quelle_kommt}) folgt somit:
\begin{eqnarray}
f_B & = & f_Q \frac{c}{c+v_Q}\label{eq:doppler_quelle_geht}
\end{eqnarray}

Sie können sich dies auch Anhand der Abbildung~\ref{abb:bewegte_quelle} und \ref{abb:bewegte_quelle_lambda} überlegen. Die Quelle schwingt mit der Schwingungsdauer $T_Q$. Während der Zeit $T_Q$ bewegt sich die Quelle um eine Strecke $v_QT_Q$ nach rechts und die 3. Wellenfront pflanzt sich um einen Abstand $cT_Q$ fort.
Der Abstand zwischen der 3. Wellenfront (Kreis um Punkt 3 als Mittelpunkt) und der 4. Wellenfront (Punkt 4) ist vor der Quelle $\lambda_v$, nach der Quelle $\lambda_n$. Daraus folgt: $\lambda_n > \lambda > \lambda_v$ mit $\lambda_v=(c-v_Q)T_Q$ und $\lambda_v=(c+v_Q)T_Q$.

\begin{figure}
\input ./bewegte_quelle.pdf_t
\caption{Bewegte Quelle. Die Nummern der Wellenfronten entsprechen den Positionen der Quelle, wo die Welle ausgestrahlt wurde.}\label{abb:bewegte_quelle}
\end{figure}

\begin{figure}
\centering
\input ./bewegte_quelle_lambda.pdf_t
\caption{Die Quelle schwingt mit der Schwingungsdauer $T_Q$. Während der Zeit $T_Q$ bewegt sich die Quelle um eine Strecke $v_QT_Q$ nach rechts.}\label{abb:bewegte_quelle_lambda}
\end{figure}

\subsection{Frequenzverhältnis}
Gleichung aufstellen für das Frequenzverhältnis und lösen nach $v_Q$:
\begin{eqnarray}
\frac{f_{B_v}}{f_{B_n}} & = & \frac{\overbrace{\frac{c f_Q}{c-v_Q}}^{\textnormal{Gleichung (\ref{eq:doppler_quelle_kommt})}}}{\underbrace{\frac{c f_Q}{c+v_Q}}_{\textnormal{Gleichung (\ref{eq:doppler_quelle_geht})}}} = \frac{c f_Q (c+v_Q)}{c f_Q (c-v_Q)} = \frac{c+v_Q}{c-v_Q}\label{eq:beispiel}
\end{eqnarray}

Die Gleichung~(\ref{eq:beispiel}) nach $v_Q$ lösen (mit $p=\frac{f_{B_v}}{f_{B_n}}$):
\begin{eqnarray}
\frac{f_{B_v}}{f_{B_n}} = p & = & \frac{c+v_Q}{c-v_Q}\\
p (c-v_Q) & = & c+v_Q\\
p c-p v_Q & = & c+v_Q\\
p c-c & = & v_Q+p v_Q\\
c(p-1) & = & v_Q(1+p)\\
\frac{c(p-1)}{1+p} & = & v_Q\label{eq:beispiel_v_Q}
\end{eqnarray}

\end{document}