%% zusammenfassungen durch gehen, welche hierarchiestufe
%%

\chapter{Der Schwerpunkt}\label{kap:schwerpunkt}
\begin{uebersicht}
Schubst man ein \glqq{}Stehaufmännchen\grqq{} (Abbildung~\vref{abb:stehaufmaennchen}) an, so steht es \glqq{}von selbst\grqq{} wieder auf. Ganz anders ist die Situation, wenn wir selber auf einem dünnen Balken balancieren (z.\,B. Vitaparcours). Werden wir geschubst, oder verlieren das Gleichgewicht, so richten wir uns nicht wieder \glqq{}von selbst\grqq{} auf!

Offenbar gibt es verschiedene Gleichgewichtsarten. In diesem Kapitel werden wir drei verschiedene Arten des Gleichgewichts kennen lernen und die Gesetzmässigkeiten des Gleichgewichts ergründen. Wir werden sehen, dass ein spezieller Punkt dabei eine wichtige Rolle spielt. Ein Gegenstand verhält sich bezüglich des Gleichgewichts so, wie wenn seine ganze Masse in diesem speziellen Punkt konzentriert wäre. Diesen Punkt nennt man den Schwerpunkt.
\begin{figure}[H]
\centering
\input ./fig/stehaufmaennchenpfeil.pdf_t
\caption{Stehaufmännchen}\label{abb:stehaufmaennchen}
\end{figure}
\end{uebersicht}

\begin{lernziele}
\item Sie können den Schwerpunkt von ebenen Figuren (z.\,B. Kartonfiguren) experimentell bestimmen.
\item Sie kennen die drei verschiedenen Gleichgewichtsarten und können erläutern, um welche Gleichgewichtsart es sich beim \glqq{}Stehaufmännchen\grqq{} handelt.
\end{lernziele}

\section{Schwerpunkt von Kartonfiguren}
\subsection{Schwerpunkt eines Dreiecks}
Wir zeichnen auf dem Karton ein asymmetrisches, aber sonst beliebiges Dreieck (Grösse ca. 1/2 A4-Blatt) und konstruieren mit Hilfe der Seitenhalbierenden den Schwerpunkt (Abbildung~\vref{abb:dreieck}). Anschliessend schneiden wir das Dreieck aus.
\begin{figure}
\centering
\input ./fig/dreieckmitschwerelinien.pdf_t
\caption{Dreieck mit Schwerlinien}\label{abb:dreieck}
\end{figure}

Nun ziehen wir mit Hilfe einer Nadel einen Faden, der am Ende einen dicken Knoten hat, durch den Schwerpunkt und lassen das Dreieck balancieren. Haben wir den Schwerpunkt exakt getroffen, so balanciert das Dreieck schön im Gleichgewicht (Abbildung~\vref{abb:dreieckfaden}). Andernfalls kippt das Dreieck!

Wir können die Figur auch mit dem Finger im Schwerpunkt unterstützen. Da der Finger eine gewisse Fläche hat, ist dies etwas einfacher, aber auch unpräziser.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=0.45\linewidth]{./fotos/dreieckaufgehaengt_0090.jpg}
\caption{Dreieck im Schwerpunkt aufgehängt}\label{abb:dreieckfaden}
\end{figure}

\begin{experiment}{Schwerlinien I}
Im nächsten Experiment stechen wir mit der Nadel an einer Ecke ein Loch, und zwar so, dass sich das Dreieck frei drehen kann. Anschliessend zeichnen wir mit Hilfe eines Senkbleis eine Gerade ein (Abbildung~\vref{abb:dreieckschwerelinien}). Als Senkblei können Sie auch einen Faden mit einem Gewicht am Ende verwenden. Achten Sie dabei darauf, dass die freie Drehbarkeit des Dreiecks nicht behindert ist. Dies wiederholen wir mit den anderen beiden Ecken\footnote{Falls Kunststoffdreiecke mit Löchern vorhanden sind, können auch diese verwendet werden und die Linien mit Folienschreiber eingezeichnet werden}. Wir werden feststellen, dass diese Geraden jeweils mit der Seitenhalbierenden zusammenfallen.
\begin{figure}
\centering
\subfigure[Frontansicht]{
 \input ./fig/dreieckmitfadenundgewicht.pdf_t
}\hfill
\subfigure[Seitenansicht]{
 \input ./fig/dreieckmitfadenundgewichtseitenansicht.pdf_t
}
\caption{Dreieck an einer Ecke aufgehängt}\label{abb:dreieckschwerelinien}
\end{figure}
\end{experiment}

\begin{experiment}{Schwerlinien II}
Im nächsten Experiment stechen wir irgendwo im Dreiecksinnern ein Loch und hängen das Dreieck frei beweglich auf. Mit Hilfe unseres \glqq{}Senkbleis\grqq{} zeichnen wir wieder eine Gerade ein (Abbildung~\vref{abb:dreieckschwerelinien2}).
\begin{figure}
\centering
\input ./fig/dreieckmitschwereliniengedreht.pdf_t
\caption{Dreieck an einer beliebigen Stelle aufgehängt}\label{abb:dreieckschwerelinien2}
\end{figure}

Wir stellen fest: Diese Geraden verlaufen durch den Schwerpunkt. Solche Linien nennt man \emph{Schwerlinien}.
\end{experiment}

\begin{hinweis}{Hinweis}
Wir wollen nun testen, ob das auch für andere Figuren gilt.
\end{hinweis}

\begin{experiment}{Schwerpunkt bei beliebigen (flachen) Körpern}
Wir zeichnen auf dem Karton eine völlig asymmetrische Figur (ähnlich der Figur auf Abbildung~\vref{abb:asymmetrischefigur1a}) und schneiden sie aus.
\begin{figure}
\centering
\subfigure[Figur]{
 \input ./fig/beliebigerkoerper.pdf_t
 \label{abb:asymmetrischefigur1a}
}\hfill
\subfigure[Figur mit Senkblei]{
 \input ./fig/beliebigerkoerpermitfadenundgewicht1.pdf_t
 \label{abb:asymmetrischefigur1b}
}
\caption{Asymmetrische Figur}\label{abb:asymmetrischefigur1}
\end{figure}

Nun hängen wir den Körper auf und ziehen mit Hilfe unseres \glqq{}Senkbleis\grqq{} die Schwerlinien (Abbildung~\vref{abb:asymmetrischefigur1b} und \vref{abb:asymmetrischefigur2a}). Der Schnittpunkt der Schwerlinien ergibt den Schwerpunkt $S$.
\begin{figure}
\centering
\subfigure[Figur mit Senkblei und Schwerlinie]{
 \input ./fig/beliebigerkoerpermitfadenundgewicht2.pdf_t
 \label{abb:asymmetrischefigur2a}
 }\hfill
\subfigure[Foto]{
 \includegraphics[width=0.45\linewidth]{./fotos/beliebigerkoerper_0118.jpg}
 \label{abb:asymmetrischefigurfoto}
}
\caption{Asymmetrische Figur}\label{abb:asymmetrischefigur2}
\end{figure}

Um zu testen, ob $S$ wirklich der Schwerpunkt ist, können wir die Figur wieder an einem Faden durch $S$ aufhängen oder mit einem spitzen Gegenstand (z.\,B. Pin-Nadel) in $S$ unterstützen. Haben wir den Schwerpunkt exakt getroffen, so balanciert die Figur schön im Gleichgewicht (Abbildung~\vref{abb:asymmetrischefigurfoto}).
\end{experiment}

\begin{subzusammenfassung}{}
Hängen wir einen (flachen) Körper an einem beliebigen Punkt frei beweglich auf, so gilt Folgendes:
\begin{itemize}
 \item Die Linien, die von diesem Punkt aus lotrecht (vertikal) verlaufen, gehen durch den Schwerpunkt. Man nennt sie Schwerlinien.
 \item Alle Schwerlinien schneiden sich im Schwerpunkt.
 \item Hängen wir den Körper im Schwerpunkt auf, ist er in jeder Position im Gleichgewicht.
\end{itemize}
\end{subzusammenfassung}

\section{Schwerpunkt und Gleichgewicht}
\subsection{Erste Bedeutung des Schwerpunktes}
%\hspace{\fill}
%\begin{minipage}[t]{.2\linewidth}
\begin{wrapfigure}{r}{3cm}
%\begin{figure}[H]
%\flushright{
\centering
\vspace{-1.25em}
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{./grafiken/fallenderschluessel}
\caption[Rollgabelschlüssel fällt zu Boden und dreht sich dabei um seinen Schwerpunkt \protect{\cite[Scan:][Seite 111]{sexl}}]{Fallender Rollgabelschlüssel}
\label{abb:wurfparabel}
%\end{figure}
%}
\end{wrapfigure}
Hängen wir einen Körper im Schwerpunkt auf (oder unterstützen wir ihn dort), so ist er in jeder Position im Gleichgewicht. Würde sich die ganze Masse des Körpers im Schwerpunkt befinden, so würde er sich genau gleich verhalten!

Hängen wir den Körper an einer anderen Stelle auf, richtet er sich so aus, dass der Schwerpunkt möglichst tief liegt. Der Schwerpunkt liegt dann genau unter dem Aufhängepunkt. Auch hier verhält sich der Körper so, wie wenn sich seine gesamte Masse im Schwerpunkt befinden würde.

%% drity hack da merke nicht geht
%% TODO evtl mit pin
\vspace{1em}
\marginpar{\vspace{-0.3cm}\offsetmar\includegraphics[width=\linewidth]{./icons/pin}}
\hspace{-\parindentglobal}\hspace{-0.35em}\fcolorbox{shadecolor}{shadecolor}{\parbox{\linewidth}{\hspace{\parindentglobal}Ein Körper verhält sich bezüglich des Gleichgewichts offenbar so, als ob sich seine gesamte Masse im Schwerpunkt befinden würde.
}}
\vspace{1ex}

Dies wird durch eine weitere Variante den Schwerpunkt zu bestimmen verdeutlicht. Wird ein Körper durch die Luft geworfen, dreht er sich während er fliegt um seinen Schwerpunkt. Der Schwerpunkt folgt dabei der Wurfparabel, bzw. der Falllinie.

Der Rollgabelschlüssel in Abbildung~\vref{abb:wurfparabel} fällt zu Boden und dreht sich dabei um seinen Schwerpunkt (durch ein schwarzes Kreuz markiert).
%\footnote{Die Fälle in welchen ein Körper nicht als Masse im Schwerpunkt behandelt werden kann, kommen in diesem Leitprogramm nicht vor. Bedenken Sie aber trotzdem, dass diese Regel nicht immer gilt. Sonst könnten Sie z.\,B. durch blosses drehen, nicht herausfinden, ob ein Ei roh oder gekocht ist (bei beiden Eiern ist der Schwerpunkt am selben Ort und die Masse ist gleich).}

\newpage
\subsection{Gleichgewichtsarten}
%% TODO hack wegen umbruch
Stellen Sie sich einen Seiltänzer vor, der auf einem Seil steht wie in Abbildung \vref{abb:seiltaenzer}. Er befindet sich zwar im Gleichgewicht, doch ist das eine ziemlich labile Angelegenheit! Wir sagen, ein Körper befinde sich im (statischen) Gleichgewicht, wenn sich alle einwirkenden Kräfte kompensieren und der Körper in Ruhe bleibt.
\begin{merke}
Wir unterscheiden verschiedene Arten des Gleichgewichts
\end{merke}

\paragraph{Stabiles Gleichgewicht} Eine Gleichgewichtslage nennen wir stabil, wenn der Körper bei einer kleinen Auslenkung \glqq{}von selbst\grqq{} wieder in die Gleichgewichtsposition zurückkehrt. Die kleine Auslenkung ist in den folgenden Beispiele durch die weisse Kugel dargestellt.

Beispiel: Die schwarze Kugel in Abbildung~\vref{abb:stabilesgg} befindet sich im stabilen Gleichgewicht, ebenso das Stehaufmännchen (Abbildung~\vref{abb:stehaufmaenchengg}).

%% TODO
\begin{figure}
\centering
\subfigure[Schematisch]{
 \input ./fig/stabilesgg.pdf_t
 \label{abb:stabilesgg}
}\hfill
\subfigure[Stehaufmännchen]{
 \input ./fig/stehaufmaennchen.pdf_t
 \label{abb:stehaufmaenchengg}
}
\caption{Stabiles Gleichgewicht}\label{abb:sgg}
\end{figure}

\paragraph{Labiles Gleichgewicht} Eine Gleichgewichtslage nennen wir labil, wenn sich der Körper bei einer kleinen Auslenkung \glqq{}von selbst\grqq{} noch weiter von der Gleichgewichtsposition entfernt.

Beispiel: Die schwarze Kugel in Abbildung~\vref{abb:labilesgg} befindet sich im labilen Gleichgewicht, ebenso der Seiltänzer (Abbildung~\vref{abb:seiltaenzer}).

%% TODO
\begin{figure}
\centering
\subfigure[Schematisch]{
 \input ./fig/labilesgg.pdf_t
 \label{abb:labilesgg}
}\hfill
\subfigure[Seiltänzer in Montréal]{
 \includegraphics[width=0.45\linewidth]{./fotos/tightrope}
 \label{abb:seiltaenzer}
}
\caption[Labiles Gleichgewicht \protect{\cite[Seiltänzer:][]{web:montreal}}]{Labiles Gleichgewicht}\label{abb:lgg}
\end{figure}

\paragraph{Indifferentes Gleichgewicht} Eine Gleichgewichtslage nennen wir indifferent, wenn sich der Körper bei einer kleinen Auslenkung immer noch in einer Gleichgewichtsposition befindet.

Beispiel: Die schwarze Kugel in Abbildung~\vref{abb:indifferentesgg} befindet sich im indifferenten Gleichgewicht, ebenso ein Zug auf einer ebenen Strecke (Abbildung~\vref{abb:roterpfeil}).

\begin{figure}
\centering
\subfigure[Schematisch]{
 \input ./fig/indifferentesgg.pdf_t
 \label{abb:indifferentesgg}
}\hfill
\subfigure[Roterpfeil]{
 \includegraphics[width=0.45\linewidth]{./fotos/roterpfeilaus}
 \label{abb:roterpfeil}
}
\caption[Indifferentes Gleichgewicht \protect{\cite[Roterpfeil:][]{web:markus}}]{Indifferentes Gleichgewicht}\label{abb:igg}
\end{figure}
%% TODO

\begin{aufgabe}{Schwerpunkt bei Störung}\label{auf:schwerpunktstoerung}
Überlegen sie sich Folgendes: Wie ändert sich in den vorherigen drei Gleichgewichtsarten (Abbildung~\ref{abb:sgg} bis \ref{abb:igg}) die Höhe des Schwerpunktes über dem Boden, wenn das Gleichgewicht ein wenig gestört wird?
\end{aufgabe}

%% dirty hack
\newpage
\begin{aufgabe}{Gleichgewichtsart}\label{auf:gleichgewichtsart}
In welchem Gleichgewicht befindet sich jeweils der homogene\footnote{Gleichheit einer Eigenschaft über die gesamte Ausdehnung eines Systems. In diesem Fall ist wichtig, dass der Körper überall die gleiche Dichte hat.} Körper in den Abbildungen~\vref{abb:koerper}?
\begin{figure}
\centering
\subfigure[]{
 \input ./fig/quader.pdf_t
 \label{abb:quader}
 }\hfill
\subfigure[]{
 \input ./fig/quadergekippt.pdf_t
 \label{abb:quadergekippt}
 }\hfill
\subfigure[]{
 \input ./fig/schieferquader.pdf_t
 \label{abb:schieferquader}
 }\hfill
\subfigure[]{
 \input ./fig/quadergekipptkeingg.pdf_t
 \label{abb:quadergekipptkeingg}
}
\caption{Körper}\label{abb:koerper}
\end{figure}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}{Kippen eines Körpers}\label{auf:kippenkoerper}
Wann kippt ein Körper? Überlegen Sie sich, wo sich der Schwerpunkt befinden muss, damit ein Körper kippt.
\end{aufgabe}

\begin{zusammenfassung}{}
Fassen Sie zusammen was Sie in diesem Kapitel gelernt haben. Schreiben Sie sich in ein paar Worten die wichtigsten Punkte auf.
\end{zusammenfassung}

\begin{hinweis}{Weiterarbeit}
Wenn Sie die Aufgaben und Experimente in diesem Kapitel gut lösen konnten, oder für Sie nun klar ist, was Sie in den Aufgaben falsch gemacht haben, dann melden Sie sich beim Lehrer für den Kapiteltest, um danach mit dem nächsten Kapitel weiter zu fahren.
\end{hinweis}

\chapter{Das Hebelgesetz}\label{kap:hebelgesetz}
\begin{uebersicht}
Sie können sich sicher noch erinnern, wie Sie als Kind auf der \glqq{}Gigampfi\grqq{} (Wippe) gespielt haben. Stellen Sie sich vor, dass die Zwillingsschwestern Laura und Sarah auf der Wippe sitzen. Da sie gleich schwer sind und den gleichen Abstand zum Drehpunkt haben, sind sie im Gleichgewicht (Abbildung~\vref{abb:wippelaurasarah}). Will nun aber Laura mit ihrem älteren (und etwas schwereren) Bruder Marco auf die Wippe, so sind sie nur im Gleichgewicht, wenn Laura weiter aussen als Marco sitzt (Abbildung~\vref{abb:wippelauramarco}).

Mit Hilfe eines Modells versuchen wir die Gesetzmässigkeit zwischen Massen und Abstand selber zu erkennen. Dieses Gesetz werden wir anhand eines Gedankenexperimentes begründen.

\begin{figure}[H]
\centering
\subfigure[Sarah und Laura]{
 \input ./fig/wippelaurasarah.pdf_t
 \label{abb:wippelaurasarah}
}\hfill
\subfigure[Marco und Laura]{
 \input ./fig/wippelauramarco.pdf_t
 \label{abb:wippelauramarco}
}
\caption{Wippe}\label{abb:wippe}
\end{figure}
\end{uebersicht}

\begin{lernziele}
\item Sie können die Gesetzmässigkeit an der Wippe in eigenen Worten formulieren und die Abstände berechnen, die nötig sind, damit sich Marco und Laura (Abbildung~\vref{abb:wippelauramarco}) im Gleichgewicht befinden.
\item Sie verstehen das Gedankenexperiment und können es jemandem erklären.
\end{lernziele}

\section{Probieren geht über Studieren}
\begin{experiment}{}
Wir legen einen Bleistift auf eine waagrechte Unterlage. Anschliessend legen wir unseren Massstab so auf den Bleistift, dass er im Gleichgewicht ist (Abbildung~\vref{abb:massstab1})\footnote{Falls der Massstab auf der einen Seite ein Loch hat, liegt er nicht in der Mitte auf.}. Der Umstand, dass der Bleistift einen sechseckigen Querschnitt hat, erleichtert uns die Arbeit etwas.
\begin{figure}[H]
\centering
\input ./fig/massstab.pdf_t
\caption{Massstab im Gleichgewicht}\label{abb:massstab1}
\end{figure}
\end{experiment}

\begin{experiment}{}
Nun positionieren wir zwei Münzen in einem Abstand (Mittelpunktsabstand) von 6 cm links vom Drehpunkt\footnote{Achten Sie darauf, dass Sie wirklich den Abstand vom Drehpunkt nehmen und nicht von der Mitte des Massstabes!} und gleichzeitig eine Münze\footnote{Selbstverständlich müssen alle Münzen identisch sein.} rechts vom Drehpunkt. Probieren Sie aus, wie gross der rechte Abstand sein muss, damit der Massstab im Gleichgewicht ist (Abbildung~\vref{abb:massstab2}).
\begin{figure}[H]
\centering
\input ./fig/massstab3muenzen.pdf_t
\caption{Massstab mit drei Münzen im Gleichgewicht}\label{abb:massstab2}
\end{figure}
\end{experiment}

\begin{experiment}{}
Im nächsten Experiment positionieren wir drei Münzen in einem Abstand von 4.5 cm links vom Drehpunkt und gleichzeitig eine Münze rechts vom Drehpunkt. Probieren Sie aus, wie gross der rechte Abstand sein muss, damit der Massstab im Gleichgewicht ist (Abbildung~\vref{abb:massstab3}).
\begin{figure}[H]
\centering
\input ./fig/massstab4muenzen.pdf_t
\caption{Massstab mit vier Münzen im Gleichgewicht}\label{abb:massstab3}
\end{figure}
\end{experiment}

\begin{experiment}{}
Im nächsten Experiment positionieren wir vier Münzen in einem Abstand von 9 cm links vom Drehpunkt und gleichzeitig drei Münzen rechts vom Drehpunkt. Probieren Sie aus, wie gross der rechte Abstand sein muss, damit der Massstab im Gleichgewicht ist (Abbildung~\vref{abb:massstab4}).
\begin{figure}[H]
\centering
\input ./fig/massstab7muenzen.pdf_t
\caption{Massstab mit sieben Münzen im Gleichgewicht}\label{abb:massstab4}
\end{figure}
\end{experiment}

\newpage
\begin{aufgabe}{Gesetzmässigkeit der Verhältnisse}\label{auf:gesetzver}
\begin{enumerate}
\item Tragen Sie alle Messwerte in die Tabelle~\vref{tab:ergebnisse} ein.
\item Versuchen Sie eine Gesetzmässigkeit zwischen Abstandsverhältnis und Massenverhältnis zu erkennen.
\begin{merke}
Die Abstände verhalten sich\dots
\end{merke}
\end{enumerate}
\begin{table}
\centering
\caption{Ergebnisse der Messungen\label{tab:ergebnisse}}
\begin{tabular}{p{0.16\linewidth}p{0.16\linewidth}p{0.16\linewidth}p{0.16\linewidth}}
Massen- & Abstand links & Abstand rechts & Abstands-\\
verhältnis & [cm] & [cm] & verhältnis\\
\hline
2:1 & 6   & \underline{\qquad\qquad\qquad} & \underline{\qquad}:\underline{\qquad}\\
3:1 & 4.5 & \underline{\qquad\qquad\qquad} & \underline{\qquad}:\underline{\qquad}\\
4:3 & 9   & \underline{\qquad\qquad\qquad} & \underline{\qquad}:\underline{\qquad}
\end{tabular}
\end{table}
\end{aufgabe}

Statt die Massen auf einen Massstab zu legen, können wir auch einen drehbar gelagerten Stab nehmen und die Massen anhängen (Abbildung~\vref{abb:aufgabe7cm14cmgew}).
\begin{figure}[H]
\centering
\input ./fig/hebelgesetzmitmassen.pdf_t
\caption{Hebel mit angehängten Massen}\label{abb:aufgabe7cm14cmgew}
\end{figure}

Statt Gewichte anzuhängen, können wir auch mit den entsprechenden Gewichtskräften\footnote{$F_G = m g$ mit $g=9.8\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ oder gerundet 10\,$\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Eselsbrücke: Die Schwerkraft auf eine Schokoladentafel (100\,g) ist etwa 1 Newton} ziehen (Abbildung~\vref{abb:aufgabe7cm14cmkraft}).
% Im Exkurs~\vref{exk:kraefte} erfahren Sie etwas über Kräfte. %% TODO Anhang
\begin{figure}[H]
\centering
\input ./fig/hebelgesetzmitkraeften.pdf_t
\caption{Hebel mit zwei angreifenden Kräften}\label{abb:aufgabe7cm14cmkraft}
\end{figure}

Hier gilt nun analog:

\begin{merke}
Die Abstände verhalten sich umgekehrt proportional zum Verhältnis der Kräfte!
\end{merke}

Im Allgemeinen formuliert man das Hebelgesetz aber etwas anders. Damit werden wir uns im nächsten Abschnitt beschäftigen.

% \begin{exkurs}{Wie misst man Kräfte?}\label{exk:kraefte}
% Wenn wir an einer Schnur ziehen, so können wir natürlich verschieden stark ziehen.
% 
% Mit Hilfe eines Newtonmeters können wir die \glqq{}Stärke\grqq{} der Kraft messen. Wobei ein Newtonmeter nichts anderes als eine Federwaage ist, die allerdings in Newton (das ist die Einheit der Kraft) geeicht ist (Abbildung~\vref{abb:newtonmeter}).
% %%TODO vref da auf umbruch!!!
% 
% \begin{figure}
% \centering
% \includegraphics[angle=90,width=0.8\linewidth]{./fotos/newtonmeter}
% \caption[Zwei Newtonmeter \protect{\citep{web:newtonmeter}}]{Zwei Newtonmeter}\label{abb:newtonmeter}
% \end{figure}
% 
% Jeder Körper hat die Eigenschaft, dass er von der Erde angezogen wird (Erdanziehungs- oder Gewichtskraft).
% 
% Die Gewichtskraft ist proportional zur Masse.
% 
% Nun wissen wir, dass die Einheit der Kraft Newton ist; doch wie viel ist denn 1 Newton?
% 
% Hängen wir eine Masse von 100\,g an eine Schnur, so zieht diese Masse mit ca. 1 Newton nach unten.
% \begin{merke}
% 1 Newton entspricht einer Schokoladentafel (100\,g)
% \end{merke}
% 
% %% TODO Exkurs Kraft
% Die Fallbeschleunigung, welche für die Gewichtskraft verantwortlich ist, ist auf der Erde nicht überall exakt gleich. Die Unterschiede sind jedoch sehr gering. Genau beträgt sie in Zürich (Hönggerberg) $g_\text{Zürich}=9.8064790\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ auf dem Jungfraujoch jedoch nur noch $g_\text{Jungfraujoch}=9.7990073\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$.\nocite{fut}
% 
% Merken Sie sich 10$\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ bzw. wenn es etwas genauer sein soll 9.8$\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$.
% \begin{eqnarray*}
% m \cdot g & = & F_G\\
% 0.1\,\text{kg} \cdot 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} & = & 1\,\text{kg}\frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 1\,\text{N}
% \end{eqnarray*}
% \end{exkurs}

\section{Formulierung des Hebelgesetzes}
Zuerst sollten wir wissen, was man in der Physik überhaupt unter einem Hebel versteht.

\begin{description}
\item[Hebel] Unter einem Hebel versteht man einen drehbar gelagerten Körper (z.\,B. eine Stange).
\end{description}

\paragraph{Vorläufige Formulierung des Hebelgesetzes} Wenn der Hebel im Gleichgewicht ist, gilt:
\begin{merke}
Die Abstände verhalten sich umgekehrt proportional zum Verhältnis der Kräfte!
\end{merke}

Schreiben wir $r_1$ und $r_2$ für die Abstände und $F_1$ und $F_2$ für die Kräfte (Abbildung~\vref{abb:hebelformel}), so können wir das Gesetz auch als Formel schreiben:
\begin{figure}
\centering
\input ./fig/hebelgesetzallgemein.pdf_t
\caption{Hebel mit zwei angreifenden Kräften}\label{abb:hebelformel}
\end{figure}

\begin{eqnarray*}
\frac{r_1}{r_2} & = & \frac{F_2}{F_1} \qquad | \cdot r_2 \cdot F_1\\
r_1 \cdot F_1 & = & r_2 \cdot F_2
\end{eqnarray*}

\paragraph{Hebelgesetz}
\begin{merke}
\begin{eqnarray*}
\text{Kraft mal Kraftarm} & = & \text{Last mal Lastarm}\\
r_1 \cdot F_1 & = & r_2 \cdot F_2
\end{eqnarray*}
\end{merke}

\begin{beispiel}{Laura und Daniela auf der Wippe}{\label{bsp:lauradaniela}}
Laura und Daniela vergnügen sich auf der Wippe. Laura hat ein Gewicht von 330\,N (33\,kg). Sie sitzt so auf der Wippe, dass ihr Schwerpunkt 2.4\,m vom Drehpunkt entfernt ist. Daniela hat ein Gewicht von 360\,N (36\,kg).

Wie weit vom Drehpunkt entfernt muss Daniela sitzen, damit die Wippe im Gleichgewicht ist?
%% TODO in kg umschreiben
\end{beispiel}

\begin{loesung}{des Beispiel \ref{bsp:lauradaniela}}
Es empfiehlt sich zuerst das Problem zu skizzieren (Abbildung~\vref{abb:wippebeispiel}):
\begin{figure}
\centering
\input ./fig/wippebeispiel.pdf_t
\caption{Skizze der Wippe mit Laura und Daniela}\label{abb:wippebeispiel}
\end{figure}
\noindent
Gegeben:
\begin{eqnarray*}
F_1 & = & 330\,\text{N}\\
r_1 & = & 2.4\,\text{m}\\
F_2 & = & 360\,\text{N}
\end{eqnarray*}
Gesucht:
\begin{eqnarray*}
r_2
\end{eqnarray*}
es gilt:
\begin{eqnarray*}
r_1 \cdot F_1 & = & r_2 \cdot F_2 \qquad |:F_2\\
r_2 & = & \frac{r_1 \cdot F_1}{F_2}\\
r_2 & = & \frac{2.4\,\text{m} \cdot 330\,\text{N}}{360\,\text{N}} = 2.2\,\text{m}
\end{eqnarray*}
\end{loesung}

\begin{aufgabe}{Symmetrischer Hebel}\label{auf:symhebel}
Ein symmetrischer Hebel wird 4.0\,cm links vom Drehzentrum mit einer Kraft von 7.0\,N belastet. Wie gross muss eine Kraft sein, die den Hebel 5.5\,cm rechts vom Drehzentrum belastet, wenn der Hebel im Gleichgewicht ist (Abbildung~\vref{abb:hebelf})?
\begin{figure}[H]
\centering
\input ./fig/symmetrischerhebelaufgabe.pdf_t
\caption{Hebel mit zwei angreifenden Kräften}\label{abb:hebelf}
\end{figure}
\end{aufgabe}

\section{Begründung des Hebelgesetzes}
Das Hebelgesetz ist vermutlich schon seit Urzeiten bekannt. Der erste, der sich systematisch mit dem Hebelgesetz befasste, war vermutlich Archimedes. Er versuchte auch, das Hebelgesetz theoretisch zu begründen. Einen Teil seiner Theorie werden wir nun stark vereinfacht wiedergeben.

\newpage
\begin{exkurs}{Wer war Archimedes?}
\end{exkurs}
\vspace{-4.4ex}
\begin{minipage}[t]{0.65\linewidth}
Archimedes (von Syrakus) lebte von 287 bis 212 v.\,Chr. in Syrakus (Abbildung~\vref{abb:archimedes:marke}). Die Stadt Syrakus war damals eine griechische Kolonie; sie liegt auf Sizilien.

Archimedes beschäftigte sich mit Mathematik, Physik, Ingenieurwissenschaften und diversen anderen Dingen.

In der Mathematik berechnete er unter anderem die Zahl $\pi$. In der Physik beschäftigte er sich intensiv mit dem Hebelgesetz, dem Schwerpunkt und der Statik. Seine bekannteste physikalische Entdeckung ist jedoch das so genannte Archimedische Prinzip.

Er hat diverse einfache Maschinen erfunden, so zum Beispiel den Flaschenzug und die Archimedische Spirale (eine spezielle Wasserpumpe).

Mehr über Archimedes erfahren Sie im \chaptername~\vref{kap:archimedes}.
\end{minipage}
\hspace{\fill}
%\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\begin{minipage}[t]{0.3\linewidth}
\begin{figure}[H]
\centering
\vspace{-5ex}
\includegraphics[width=0.79\linewidth]{./grafiken/archimedesmarke}
\caption[Griechische Briefmarke mit Archimedes \protect{\citep{web:archimedes:marke}}]{Griechische Briefmarke mit Archimedes}\label{abb:archimedes:marke}
\end{figure}
%\end{wrapfigure}
\end{minipage}

\section{Grundannahmen, Axiome}
%% TODO check
Jede Theorie braucht ein paar Grundannahmen. Diese Grundannahmen, die ohne Beweis einleuchten, werden in der Physik Axiome genannt. Ein Axiom sollte gut experimentell überprüft sein.

\begin{axiom}\label{axiom:symhebel}
Ein symmetrisch belasteter Hebel befindet sich im Gleichgewicht.

Dieses Axiom ist ganz offensichtlich richtig. Da die Situation absolut symmetrisch ist, wäre es speziell, wenn der Hebel nicht im Gleichgewicht wäre. Ebenso ist unser Axiom~\ref{axiom:symhebel} leicht überprüfbar z.\,B. mit einem Massstab und zwei Münzen wie in Abbildung~\vref{abb:axiomsymhebel} dargestellt.
\begin{figure}
\centering
\input ./fig/axiomsymmetrischerhebelmuenzen.pdf_t
\caption{Symmetrischer Hebel}\label{abb:axiomhebel}
\end{figure}
\end{axiom}

\begin{axiom}\label{axiom:hebel}
Die Gesamtkraft greift im Aufhängepunkt/Schwerpunkt an.

Wir belasten einen Massstab auf einem Bleistift links mit zwei Münzen und rechts mit einer Münze, so dass er im Gleichgewicht ist (Abbildung~\vref{abb:axiommuenzenlinkrechts}). Die wirkende Last auf den Auflagepunkt (Bleistift) entspricht drei Münzen (der als Hebel verwendete Massstab sei masselos). Es wirkt genau die gleiche Last auf den Bleistift, wenn wir die drei Münzen auf dem Massstab direkt über dem Bleistift stapeln (Abbildung~\vref{abb:axiommuenzenueberdrehpunkt}).
\begin{figure}
\centering
\subfigure[Münzen links und rechts vom Drehpunkt]{
 \input ./fig/axiomgesamtkraftmuenzen1.pdf_t
 \label{abb:axiommuenzenlinkrechts}
}\hfill
\subfigure[Münzen über dem Drehpunkt]{
 \input ./fig/axiomgesamtkraftmuenzen2.pdf_t
 \label{abb:axiommuenzenueberdrehpunkt}
}
\caption{Massstab mit drei Münzen im Gleichgewicht}\label{abb:axiommuenzen}
\end{figure}
Das heisst, es spielt keine Rolle, ob wir den Hebel mit den Kräften $F_1$ und $F_2$ oder den Hebel im Aufhängepunk mit der Summe $F_1 + F_2$ belasten (Abbildung~\vref{abb:axiomhebel}).
\begin{figure}
\centering
\input ./fig/axiomgesamtkraft.pdf_t
\caption{Kräfte können durch eine Gesamtkraft ersetzt werden}\label{abb:axiomsymhebel}
\end{figure}
Auch unser zweites Axiom scheint richtig zu sein und ist ebenfalls einfach überprüfbar.
\end{axiom}

\begin{beispiel}{Axiom~\ref{axiom:hebel} überprüfen}
Das Axiom~\ref{axiom:hebel} kann mit einem Hebel und zwei mal zwei gleichen Gewichten wie in Abbildung~\vref{abb:axiomueberpruefen} dargestellt überprüft werden.
\begin{figure}
\centering
\input ./fig/axiomgesamtkraftueberpruefen.pdf_t
\caption{Überprüfung von Axiom~\ref{axiom:hebel}}\label{abb:axiomueberpruefen}
\end{figure}
\end{beispiel}

\section{Gedankenexperiment}
Mit diesen beiden Axiomen wollen wir nun ein kleines Gedankenexperiment durchführen.

\begin{experiment}{Gedankenexperiment}\label{exp:gedankenexperiment}
Nehmen wir an, wir hätten einen symmetrischen Hebel, an dem sich sieben gleich grosse Massen in regelmässigen Abständen befinden. Wir können als Hebel auch den Massstab nehmen und als Massen sieben Münzen (Abbildung~\vref{abb:gedankenexp1}). Gemäss unserem ersten Axiom befindet sich der Hebel im Gleichgewicht.

Wir betrachten die beiden linken Münzen als eigenes System. Gemäss Axiom~\ref{axiom:hebel} können wir die beiden Münzen auch an \glqq{}ihrem\grqq{} Drehpunkt auflegen (in Abbildung~\vref{abb:gedankenexp1} links unten dargestellt).
\begin{figure}[p]
\centering
\input ./fig/hebelgedankenexperimentmuenzen1.pdf_t
\caption{Hebel mit sieben Münzen}\label{abb:gedankenexp1}
\end{figure}

Dies führt zur Anordnung in Abbildung~\vref{abb:gedankenexp2}.
\begin{figure}
\centering
\input ./fig/hebelgedankenexperimentmuenzen2.pdf_t
\caption{Hebel mit sieben Münzen}\label{abb:gedankenexp2}
\end{figure}

Wir betrachten die fünf rechten Münzen als eigenes System. Gemäss Axiom~\ref{axiom:hebel} können wir die fünf Münzen auch an \glqq{}ihrem\grqq{} Drehpunkt auflegen (in Abbildung~\vref{abb:gedankenexp2} unten dargestellt). Dies führt zur Anordnung in Abbildung~\vref{abb:gedankenexp3}.
\begin{figure}
\centering
\input ./fig/hebelgedankenexperimentmuenzen3.pdf_t
\caption{Hebel mit sieben Münzen}\label{abb:gedankenexp3}
\end{figure}

Falls Ihnen diese Vorgehensweise nicht einleuchtet, vollziehen Sie dieses Experiment mit einem Massstab und Münzen nach.

Nehmen wir an, jede Münze habe die Masse 10\,g ($\approx 0.1$\,N), so führt das zu folgenden Kräften (Abbildung~\vref{abb:gedankenexp4}):
\begin{figure}[H]
\centering
\input ./fig/hebelgedankenexperiment4.pdf_t
\caption{Hebel mit zwei angreifenden Kräften}\label{abb:gedankenexp4}
\end{figure}

Wir sehen also, dass sich die Kräfte in diesem Beispiel wie 2:5 und die Abstände 5:2 (10:4 mit 2 kürzen) verhalten. Genau das Gleiche können wir für 3:2, oder 11:53 oder jedes andere Verhältnis zeigen.
\end{experiment}

\begin{merke}
Die Kräfte verhalten sich also umgekehrt proportional zu den Abständen, was gleichbedeutend mit dem Hebelgesetz ist.
\end{merke}

\begin{aufgabe}{Gedankenexperiment}\label{auf:gedankenexp}
\begin{enumerate}
 \item Führen Sie das Gedankenexperiment~\ref{exp:gedankenexperiment} mit 5 statt 7 Massen durch. Zeigen Sie, dass, wenn sich die Massen wie 2:3, sich die Abstände wie 3:2 verhalten.
 \item Führen Sie nun dieses Gedankenexperiment tatsächlich mit einem Massstab und fünf Münzen durch.
\end{enumerate}
\end{aufgabe}

\newpage
\begin{aufgabe}{Zweiseitiger Hebel}\label{auf:zweiseitigermitaxiom}
Ein symmetrischer Hebel wird 4.0\,cm links und 6.0\,cm links vom Drehzentrum mit Kräften von je 2.0\,N belastet. In welchem Abstand rechts vom Drehzentrum muss man den Hebel mit einer Kraft von 6.0\,N belasten, damit der Hebel im Gleichgewicht ist (Abbildung~\vref{abb:hebelx})?
\begin{figure}[H]
\centering
\input ./fig/hebelgedankenexperimentaufgabe2.pdf_t
\caption{Hebel}\label{abb:hebelx}
\end{figure}
\end{aufgabe}

\begin{zusammenfassung}{}
Fassen Sie zusammen! Was haben Sie in diesem Kapitel gelernt? Schreiben Sie sich in ein paar Worten die wichtigsten Punkte auf.
\end{zusammenfassung}

\begin{hinweis}{Weiterarbeit}
Wenn Sie die Aufgaben und Experimente in diesem Kapitel gut lösen konnten, oder für Sie nun klar ist, was Sie in den Aufgaben falsch gemacht haben, dann melden Sie sich beim Lehrer für den Kapiteltest, um danach mit dem nächsten Kapitel weiter zu fahren.
\end{hinweis}

\chapter{Anwendung des Hebelgesetzes}\label{kap:anwendunghebelgesetz}
\begin{uebersicht}
Viele einfache Geräte des Alltags verwenden einen Hebel Wippe, Beisszange, Nussknacker, Locher etc.. Wir werden das Hebelgesetz auf diese und andere Gegenstände anwenden. Einige dieser Gegenstände belasten den Hebel auf beiden Seiten des Drehpunktes (z.\,B. Wippe), andere nur auf einer Seite (z.\,B. Schubkarre).
%Wir unterscheiden deshalb zweiseitige und einseitige Hebel.
Setzen wir zwei Räder mit verschiedenen Radien auf die gleiche Achse, erhalten wir ein so genanntes Wellrad. Wir werden auch hier das Hebelgesetz anwenden. Mit einem Hebel kann man zwar \glqq{}Kraft sparen\grqq{}, braucht dafür allerdings einen grösseren Weg. Eine vergleichbare Situation haben wir bei einer Velo-Gangschaltung. Wir haben die Wahl zwischen grosser Kraft und kleinem Weg (bzw. wenig Umdrehungen), oder kleiner Kraft und grossem Weg. Dieser Zusammenhang ist allgemein gültig! Wir werden dazu eine exakte Regel aufstellen (\glqq{}Goldene Regel der Mechanik\grqq{}).
\end{uebersicht}

\begin{lernziele}
\item Sie unterscheiden zwischen einseitigen und zweiseitigen Hebeln und können in beiden Fällen das Hebelgesetz anwenden.
\item Sie können mit Hilfe des Hebelgesetzes erklären, wie eine Beisszange funktioniert.
\item Sie kennen den Zusammenhang zwischen \glqq{}Kraft sparen\grqq{} und dafür einen \glqq{}grösseren Weg benötigen\grqq{} (\glqq{}Goldene Regel der Mechanik\grqq{}) und können ihn an einem Beispiel erläutern.
\end{lernziele}

\newpage
\section{Einseitiger und zweiseitiger Hebel}
\subsection{Zweiseitiger Hebel}
Wird ein Hebel auf beiden Seiten des Drehpunktes \glqq{}belastet\grqq{}, so sprechen wir von einem zweiseitigen Hebel (Abbildung~\vref{abb:zweiseitigerhebel}). Wie wir wissen, gilt das Hebelgesetz:
\begin{merke}
\begin{eqnarray*}
\text{Kraft mal Kraftarm} & = & \text{Last mal Lastarm}\\
F_1 \cdot r_1 & = & F_2 \cdot r_2
\end{eqnarray*}
\end{merke}
\begin{figure}[H]
\centering
\input ./fig/zweiseitigerhebel.pdf_t
\caption{Zweiseitiger Hebel}\label{abb:zweiseitigerhebel}
\end{figure}

\subsection{Einseitiger Hebel}
Wird ein Hebel nur auf einer Seite des Drehpunktes \glqq{}belastet\grqq{}, so sprechen wir von einem einseitigen Hebel (Abbildung~\vref{abb:einseitigerhebel}). Auch hier gilt das Hebelgesetz:
\begin{eqnarray*}
F_1 \cdot r_1 & = & F_2 \cdot r_2
\end{eqnarray*}
\begin{figure}[H]
\centering
\input ./fig/einseitigerhebel.pdf_t
\caption{Einseitiger Hebel}\label{abb:einseitigerhebel}
\end{figure}

Beachten Sie, dass zu jeder Kraft auch eine Gegenkraft gehört, damit ein Körper (der Hebel) in Ruhe ist. % wenn der Hebel in Ruhe ist.
Wird zum Beispiel in der Abbildung~\vref{abb:einseitigerhebel} die Kraft $F_2$ durch eine Masse verursacht, die dort am Hebel hängt, müssen Sie mit der Kraft $F_1$ an der Stelle $r_1$ nach oben ziehen ($F_1$ kompensieren), damit der Hebel in Ruhe ist.

\section{Hebel im Alltag}
Sie möchten einen Draht durchtrennen, eine Nuss knacken oder 30 Blatt Papier lochen. Für alle diese Aufgaben brauchen sie grosse Kräfte. Zum Glück gibt es dafür Hilfsmittel, nämlich Beisszangen, Nussknacker und Locher (Abbildungen~\vref{abb:hilfsmittel}). Diese Hilfsmittel benutzen jeweils einen Hebel.
% Eine Beisszange ist eingentlich nicht dazu da einen Draht zu durchtrennen!
\begin{figure}
\centering
\subfigure[Beisszange]{
 \includegraphics[width=0.30\linewidth]{./fotos/beisszange}
}\hfill
\subfigure[Nussknacker]{
 \includegraphics[width=0.30\linewidth]{./fotos/nussknacker}
}\hfill
\subfigure[Locher]{
 \includegraphics[width=0.20\linewidth]{./fotos/locher}
}
\caption[Hilfsmittel (\protect{\citet{web:beisszange}}, \protect{\citet{web:nussknacker}} und \protect{\citet{web:locher}})]{Hilfsmittel}\label{abb:hilfsmittel}
\end{figure}

\begin{aufgabe}{Alltagsgegenstände}\label{auf:alltagsgegenstaende}
Überlegen Sie sich mindestens vier weitere Gegenstände, möglichst aus dem Alltag, die einen Hebel verwenden. Handelt es sich jeweils um einseitige oder zweiseitige Hebel?
\end{aufgabe}

\newpage
\begin{beispiel}{}\label{bsp:schubkarre}
Ein Bauarbeiter transportiert eine Last mit einer Karrette (Schubkarre). Welche Kraft $F_2$ \glqq{}spürt\grqq{} der Bauarbeiter am Griff (Abbildung~\vref{abb:karrette}), wenn die Nutzlast eine Gewichtskraft von 200\,N hat? Für unsere Rechnung vernachlässigen wir die Masse der Schubkarre.
\begin{figure}
\centering
\input ./fig/karrette.pdf_t
\caption{Karrette}\label{abb:karrette}
\end{figure}
\end{beispiel}

\begin{loesung}{des Beispiels \ref{bsp:schubkarre}}
Wir haben hier einen einseitigen Hebel.
Gegeben:
\begin{eqnarray*}
F_1 & = & 200\,\text{N}\\
r_1 & = & 0.4\,\text{m}\\
r_2 & = & 1.25\,\text{m}
\end{eqnarray*}
Gesucht:
\begin{eqnarray*}
F_2
\end{eqnarray*}
Mit dem Hebelgesetz folgt:
\begin{eqnarray*}
F_1 \cdot r_1 & = & F_2 \cdot r_2 \qquad |:r_2\\
F_2 & = & \frac{F_1 \cdot r_1}{r_2}\\
F_2 & = & \frac{200\,\text{N} \cdot 0.4\,\text{m}}{1.25\,\text{m}} = 64\,\text{N}\\
F_2 & = & 64\,\text{N} \quad (\approx 6.4\,\text{kg})
\end{eqnarray*}
\end{loesung}

\newpage
\begin{aufgabe}{Beisszange}\label{auf:beisszange}
Sie möchten mit einer Beisszange einen Draht durchschneiden (Abbildung~\vref{abb:beisszange}).
\begin{enumerate}
\item Welche Kraft können Sie auf den Draht ausüben, wenn Sie die Zangengriffe mit 60 N zusammendrücken?
\item Was muss man an der Zange ändern, falls man mehr Kraft braucht?
\end{enumerate}
\begin{figure}[H]
\centering
\input ./fig/beisszange.pdf_t
\caption[Beisszange \protect{\citep{web:beisszange}}]{Beisszange}\label{abb:beisszange}
\end{figure}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}{Nussknacker}\label{auf:nussknacker}
Sie möchten eine Nuss knacken (Abbildung~\vref{abb:nussknacker}). Damit die Nussschale bricht, ist eine Kraft von 145\,N notwendig. Mit welcher Kraft müssen Sie die Griffe des Nussknackers zusammendrücken?
\begin{figure}[H]
\centering
\input ./fig/nussknacker.pdf_t
\caption[Nussknacker \protect{\citep{web:nussknacker}}]{Nussknacker}\label{abb:nussknacker}
\end{figure}
\end{aufgabe}

\newpage
\section{Das Wellrad}
Setzen wir zwei Räder mit verschiedenen Radien auf die gleiche Achse, erhalten wir ein so genanntes Wellrad (Abbildung~\vref{abb:wellrad}).
\begin{figure}
\centering
\subfigure[Wellrad]{
 \input ./fig/wellradrad.pdf_t
 \label{abb:wellrad}
}\hfill
\subfigure[Hebel]{
 \input ./fig/wellradhebel.pdf_t
 \label{abb:wellradhebel}
}
\caption{Vergleich: Wellrad mit Hebel}
\end{figure}

Vergleichen wir Abbildung~\vref{abb:wellrad} und \vref{abb:wellradhebel}, so sehen wir, dass das Wellrad nichts anderes als ein Hebel mit \glqq{}etwas Rad darum herum\grqq{} ist.

\begin{merke}
Darum gilt auch hier das Hebelgesetz:
$$
F_1 \cdot r_1 = F_2 \cdot r_2
$$
\end{merke}

\begin{aufgabe}{Ziehbrunnen}\label{auf:ziehbrunnen}
Um aus einem alten Brunnenschacht Wasser zu schöpfen, verwendet man ein Wellrad. Das Seil wird auf ein Rad mit 16\,cm Durchmesser aufgewickelt. Die Kurbel, mit der dieses gedreht wird, befindet sich auf einem zweiten Rad, das mit dem ersten verbunden ist. Der Durchmesser des grösseren Rades beträgt 88\,cm (Abbildung~\vref{abb:ziehbrunnen}).
\begin{enumerate}
\item Welche Kraft $F$ muss man aufwenden, um den Eimer zu heben?
\item Welchen Weg legt dabei die Kurbel zurück, wenn der Eimer um 8.2\,m gehoben wird?
\end{enumerate}
\begin{figure}
\centering
\input ./fig/ziehbrunnen.pdf_t
\caption{Ziehbrunnen}\label{abb:ziehbrunnen}
\end{figure}
\end{aufgabe}

\section{Die Goldene Regel der Mechanik}
Wie wir bei der Aufgabe~\vref{auf:ziehbrunnen} gesehen haben, ist es zwar möglich mit Hilfe eines Wellrades Kraft zu sparen. Allerdings vergrössern wir damit den Weg. Dies gilt nicht nur beim Wellrad, sondern auch beim Hebel.

Schon vor langer Zeit bemerkte man, dass dies offensichtlich immer gilt. Diese Erkenntnis nennt man die \glqq{}Goldene Regel der Mechanik\grqq{}:

\begin{merke}
Was an Kraft gewonnen wird, geht an Weg verloren.

Oder in heutiger Form:

Der Weg ist umgekehrt proportional zur Kraft.
\end{merke}

\begin{aufgabe}{Goldene Regel der Mechanik}\label{auf:goldeneregelmech}
Was können Sie mit der Goldenen Regel der Mechanik über eine Velo-Gangschaltung aussagen (Reibung vernachlässigen)?
\end{aufgabe}

\begin{zusammenfassung}{}
Fassen Sie zusammen! Was haben Sie in diesem \chaptername{} gelernt? Schreiben Sie sich in ein paar Worten die wichtigsten Punkte auf.
\end{zusammenfassung}

\begin{hinweis}{Weiterarbeit}
Melden Sie sich beim Lehrer für den Kapiteltest, wenn Sie die Aufgaben und Experimente in diesem \chaptername{} gut lösen konnten oder für Sie nun klar ist, was Sie in den Aufgaben falsch gemacht haben. Danach können Sie mit dem nächstem \chaptername{} weiterfahren.
%Wenn Sie die Aufgaben und Experimente in diesem Kapitel gut lösen konnten oder für Sie nun klar ist, was Sie in den Aufgaben falsch gemacht haben, dann melden Sie sich beim Lehrer für den Kapiteltest, um danach mit dem nächsten Kapitel weiter zu fahren.
\end{hinweis}

\chapter{Vom Hebelgesetz zu den Grundgesetzen der Statik}
\chaptermark{Grundgesetze der Statik}
\begin{uebersicht}
%% TODO
In diesem Kapitel lernen Sie die Ursache für Drehungen kennen. Unter dem Einfluss von Kräften kann sich ein Körper drehen oder nicht. Sie werden erkennen können unter welchen Umständen sich ein Körper dreht und können sein Verhalten beschreiben. Anschliessend betrachten wir genauer, welche Bedingungen erfüllt sein müssen, damit sich ein Körper in Ruhe (im Gleichgewicht) befindet. 
%Wir werden sehen, wie sich ein Körper unter dem Einfluss von Kräften dreht und können sein Verhalten beschreiben. Auf diese Weise lernen wir die Bedingungen kennen, die ein Gegenstand erfüllen muss, damit er im Gleichgewicht ist.
\end{uebersicht}

\begin{lernziele}
\item Sie kennen die Ursache für die Drehung eines Gegenstands und können voraussagen, wie er sich dreht, wenn eine Kraft auf ihn wirkt.
\item Sie wissen, wann ein Gegenstand im Gleichgewicht ist und welche Bedingungen dafür erfüllt sein müssen.
\item Dank dem erworbenen Wissen können Sie einfache Aufgaben der Statik lösen.
\end{lernziele}

\section{Drehmoment}
In den vorangehenden Kapiteln haben Sie das Hebelgesetz kennen gelernt. Es besagt Folgendes:
\begin{merke}
\begin{eqnarray*}
\text{Kraft mal Kraftarm} & = & \text{Last mal Lastarm}
\end{eqnarray*}
\end{merke}

\begin{beispiel}{Schraubenmutter mit einem Gabelschlüssel anziehen}\label{bsp:mutteranziehen}
Betrachten Sie den Vorgang, wenn Sie z.\,B. eine Schraubenmutter (Mutter) mit einem Gabel\-schlüssel anziehen (Abbildung~\vref{abb:mutteranziehen}).
\begin{figure}
\centering
\input ./fig/gabelschluesselmitmutter.pdf_t
\caption{Mutter mit einem Gabelschlüssel anziehen}\label{abb:mutteranziehen}
\end{figure}
% Der Gabelschlüssel sei $d = 20$\,cm lang, und 
10\,cm von der Mutter (Drehpunkt) entfernt, ziehen Sie mit einer Kraft von 10\,N am Gabelschlüssel, um die Mutter anzuziehen. Der wirkende Kraftarm ist also $r = 10$\,cm. Das Produkt Kraft mal Kraftarm ergibt:
$$
10\,\text{N} \cdot 10\,\text{cm} = 10\,\text{N} \cdot 0.1 \,\text{m} = 1\,\text{Nm}
$$
\end{beispiel}

In der Physik bezeichnet man nun das Produkt Kraft mal Kraftarm oder allgemeiner Kraft mal Hebelarm als \emph{Drehmoment}.

\begin{merke}
\begin{eqnarray*}
\text{Drehmoment} & = & \text{Kraft mal Hebelarm}\\
M & = & F \cdot r
\end{eqnarray*}
\end{merke}

Im Beispiel~\vref{bsp:mutteranziehen} haben Sie z.\,B. die Mutter mit einem Drehmoment von 1\,Nm angezogen.

Das Drehmoment bezeichnet man in der Physik mit dem Buchstaben $M$ und die Einheit folgt wiederum aus den Einheiten der Kraft $F$ und des Hebelarms $r$ (Länge):
$$
[M] = [F] \cdot [r] = 1\,\text{N} \cdot 1\,\text{m} = 1\,\text{Nm}
$$

Die Einheit des Drehmoments ($M$) ist \emph{Newtonmeter} Nm.

Gehen wir nochmals zum Beispiel mit der Mutter zurück. Wenn Sie die Mutter anziehen wollen, so müssen Sie den Gabelschlüssel rechtsherum (Uhrzeigersinn) drehen. Wollen Sie hingegen die Mutter lösen, so müssen Sie den Gabelschlüssel linksherum (Gegenuhrzeigersinn) drehen. Wir müssen also den Drehsinn mitberücksichtigen, denn es kommt darauf an, ob Sie die Mutter lösen oder anziehen wollen!

\begin{merke}
Wir definieren daher, dass alle linksdrehenden (Gegenuhrzeigersinn) Momente positiv und alle rechtsdrehenden (Uhrzeigersinn) Momente negativ sind.

Um sich das zu merken, stellen Sie sich einen Wasserhahn vor. Drehen Sie im positiven Drehsinn (linksherum) kommt mehr Wasser, drehen sie im negativen Drehsinn kommt weniger Wasser. Kurz: Positiv mehr Wasser.
%% TODO
\end{merke}

\begin{beispiel}{Positive und negative Drehmomente}
Wenn Sie wie im obigen Beispiel die Mutter mit einem Drehmoment von 1\,Nm anziehen (rechtsdrehend, Uhrzeigersinn), so ist das Drehmoment negativ:
$$
M_{\text{Anziehen}} = -1\,\text{Nm}
$$
Lösen Sie jedoch die Mutter (linksdrehend, Gegenuhrzeigersinn) mit demselben Gabelschlüssel und derselben Kraft wie beim Anziehen, so ist das Drehmoment vom Betrag her gleich gross, nun aber positiv.
$$
M_\text{Lösen} = + 1\,\text{Nm}
$$
\begin{figure}
\centering
\input ./fig/gabelschluesselmitmutterdrehsinn.pdf_t
\caption{Positives und negatives Drehmoment}\label{abb:mutterpm}
\end{figure}

Wirkt ein Drehmoment auf einen Körper, so wird er sich drehen (Abbildung~\vref{abb:mutterpm}). Die Mutter dreht sich beim Lösen linksherum (positiv) und beim Anziehen rechtsherum (negativ). 
\end{beispiel}
\begin{merke}
Ein Drehmoment ist also immer die Ursache für eine Drehung eines Körpers.
\end{merke}

Wenn wir nicht senkrecht zum Griff des Gabelschlüssels ziehen, können wir nicht die Länge bis zum Angriffspunkt als Hebelarm nehmen. Wollen wir die Kraft senkrecht zum Hebelarm haben, können wir dies durch folgende Überlegung erreichen. Wir ziehen eine Gerade senkrecht zur Wirkungslinie der Kraft durch den Drehpunkt. Der Hebelarm ist nun die Strecke vom Drehpunkt zum Fusspunkt auf der Wirkungslinie also der Abstand des Drehpunktes von der Wirkungslinie.
Diese Vorgehensweise ist in Abbildung~\vref{abb:rollgabelschluesselwinkel} dargestellt.
%Im Allgemeinen bezeichnet man als Hebelarm die Distanz zwischen dem Drehpunkt des Körpers und dem Fusspunkt des Lots durch den Drehpunkt auf die Wirkungslinie der Kraft. Wir veranschaulichen dies anhand der Abbildung~\vref{abb:rollgabelschluesselwinkel}.
\begin{figure}[H]
\centering
\input ./fig/gabelschluesselmitdiversem.pdf_t
\caption{Angriffs-, Fuss- und Drehpunkt sowie Hebelarm und Wirkungslinie bei einem Gabelschlüssel}\label{abb:rollgabelschluesselwinkel}
\end{figure}

Die Kraft $F$ greift beim Angriffspunkt am Gabelschlüssel an und zeigt in die Pfeilrichtung. Die Richtung der Kraftwirkung wird durch die Wirkungslinie (gepunktet) dargestellt. %gekennzeichnet.
Der Hebelarm entspricht dem Abstand des Drehpunkts von der Wirkungslinie. Der Hebelarm kann eingezeichnet werden, in dem man das Lot durch den Drehpunkt auf die Wikungslinie fällt (gestrichelt Linie). In unserem Beispiel würde durch die Krafteinwirkung auf den Körper eine Drehwirkung nach links (positiv, Gegenuhrzeigersinn) entstehen.

Was passiert nun, wenn mehrere Drehmomente auf einen Körper wirken? Die Antwort ist ganz einfach: man addiert die Drehmomente gemäss ihrem Drehsinn zu einem \emph{resultierenden Drehmoment $M_R$}. Wir veranschaulichen dies anhand des Beispiels~\ref{bsp:gabelschluesselzweip}.

\begin{beispiel}{Zwei Personen ziehen an einem Gabelschlüssel}\label{bsp:gabelschluesselzweip}
Zwei Personen ziehen gleichzeitig am Gabelschlüssel. Die eine Person will die Mutter mit der Kraft $F_1 = 5$\,N und dem Hebelarm $r_1 = 18$\,cm anziehen, die andere die Mutter mit der Kraft $F_2 = 7$\,N und dem Hebelarm $r_2 = 14$\,cm lösen (Abbildung~\vref{abb:gabelschluesselzweip}).
\begin{figure}[H]
\centering
\input ./fig/gabelschluesselmit2per.pdf_t
\caption{Zwei Personen ziehen an einem Rollgabelschlüssel}\label{abb:gabelschluesselzweip}
\end{figure}

Das Drehmoment, das die erste Person ausübt, ist negativ:
$$
M_1 = - F_1 \cdot r_1 = - 5\,\text{N} \cdot 18\,\text{cm} = - 0.9\,\text{Nm}
$$
Das Drehmoment, das die zweite Person ausübt, ist positiv:
$$
M_2 = + F_2 \cdot r_2 = + 7\,\text{N} \cdot 14\,\text{cm} = + 0.98\,\text{Nm}
$$
Das resultierende Drehmoment ist nun:
$$
M_R = M_1 + M_2 = - 0.9\,\text{Nm} + 0.98\,\text{Nm} = + 0.08\,\text{Nm}
$$
und es wird eine Drehung mit positivem Drehsinn resultieren, da das resultierende Drehmoment positiv ist. Die Mutter wird also gelöst!
\end{beispiel}

\begin{aufgabe}{Drehbar gelagerte Figur}\label{auf:drehbarefigur}
Betrachten Sie die Abbildung~\vref{abb:drehbarefigur}. Die Figur in der Abbildung ist drehbar am Punkt $D$ gelagert und kann frei um diesen drehen. An ihr greifen drei Kräfte an: $F_1 = 3$\,\text{N}, $F_2 = 3.5$\,N und $F_3 = 7$\,N. Berechnen Sie für jede der drei Kräfte das Drehmoment und bestimmen Sie dessen Drehsinn. Geben Sie zu jedem Drehmoment auch den Hebelarm an und zeichnen Sie diesen in der Abbildung ein. Eine Häuscheneinheit entspricht 1\,m. Bestimmen Sie auch das resultierende Drehmoment aus allen drei Kräften.
\begin{figure}
\centering
\input ./fig/drehbarefigur.pdf_t
\caption{Drehbar gelagerte Figur}\label{abb:drehbarefigur}
\end{figure}
\end{aufgabe}

\begin{zusammenfassung}{}
Was haben Sie in diesem Abschnitt gelernt? Schreiben Sie sich in ein paar Worten die wichtigsten Punkte auf.
\end{zusammenfassung}

\section{Statisches Gleichgewicht}
Was heisst es wenn man sagt, ein Gegenstand sei in einem statischen Gleichgewicht? Eine umgangssprachliche Formulierung wäre: er bewegt sich nicht, er ist in Ruhe. Doch was ist mit \glqq{}er bewegt sich nicht\grqq{} genau gemeint? 

Der Gegenstand darf sich sicher in keine Richtung bewegen. Falls er dies tut, spricht man von einer \emph{Translation}. Es darf keine resultierende äussere Kraft auf den Gegenstand einwirken, sonst würde der Gegenstand entlang dieser Kraft beschleunigt werden und sich in diese Richtung bewegen.

Wenn der Gegenstand aber keine Translationsbewegung macht, könnte er sich immer noch drehen! Diese Bewegungsart nennt man \emph{Rotation}. Es müssen sich also auch alle Drehmomente aufheben, da diese sonst eine Drehung verursachen würden.
 
Daraus folgt: \emph{Die Summe der linksdrehenden (positiv) und der rechtsdrehenden (negativ) Momente bezüglich irgendeines Punktes des Gegenstands muss Null sein.}

Wenn der Gegenstand in Ruhe ist, d.\,h. ein statisches Gleichgewicht existiert, müssen in der Physik folgende Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sein:
\begin{itemize}
\item Die resultierende äussere Kraft ist gleich Null. $F_R = 0$
\item Das resultierende äussere Drehmoment bezüglich irgendeines Punktes des Körpers verschwindet. $M_R = 0$
\end{itemize}

Wie wird ein solches Problem nun gelöst? Was ist eine gute Taktik, eine solche Aufgabe anzupacken? Am besten gehen Sie nach folgendem Rezept vor:

\newpage
\subsection{Rezept zum Lösen von Statikproblemen}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}.}
\item Stellen Sie die Gleichung für das Kräftegleichgewicht (d.\,h. $F_R = 0$) auf.
\item Wählen Sie einen beliebigen Drehpunkt. Wählen Sie ihn am besten so, dass ein Hebelarm einer unbekannten Kraft Null wird und damit auch das Drehmoment dieser Kraft.
\item Stellen Sie die Gleichungen für die Drehmomente (d.\,h. $M_R = 0$) auf.
\item Lösen Sie die beiden Gleichungen nach den unbekannten Grössen auf.
\end{enumerate}

%Dieses Rezept wird zur Veranschaulichung im Beispiel~\vref{bsp:menschimbett} durchgegangen.
% Bevor Sie die erste Aufgabe selbst mit Hilfe dieses Rezeptes lösen, werden wir an einem einfachen, plastischen Beispiel aus dem Alltag lernen, wie dies funktioniert.

\begin{beispiel}{Mensch liegt im Bett}\label{bsp:menschimbett}
In diesem Beispiel wird das Rezept zum lösen von Statikproblemen veranschaulicht. Wir betrachten dazu die Situation, wenn ein Mensch im Bett liegt und schläft (Abbildung~\vref{abb:menschimbett}).
\begin{figure}[H]
\centering
\input ./fig/bett.pdf_t
\caption{Mensch liegt im Bett}\label{abb:menschimbett}
\end{figure}
Der Schwerpunkt des Bettes liege genau in der Mitte. Das Bett hat eine Masse von $m_{B} = 55$\,kg der Mensch eine Masse von $m_{M} = 70$\,kg. Die Auflagekraft am Kopfende des Bettes beträgt $F_K = 660$\,N. Das Bett ist $l = 2.0$\,m lang. Wo liegt der Schwerpunkt des Menschen und wie gross ist die Auflagekraft $F_F$ am Fussende des Bettes?

\subsubsection*{Wir gehen nun genau nach dem Rezept vor}

\paragraph{1. Punkt}
Das Bett und der Mensch darin sind in Ruhe. Daher muss die resultierende äussere Kraft Null sein. Gemäss dem ersten Punkt im Rezept erhalten wir:
$$
F_R = F_K + F_F - F_{GB} - F_{GM} = 0
$$
Die Kräfte nach oben wurden positiv und die Kräfte nach unten negativ gezählt. Die Gewichtskraft des Bettes und des Menschen sind durch $F = m \cdot g$ gegeben und sind für das Bett $F_{GB} = 550$\,N und für den Mensch $F_{GM} = 700$\,N.

\paragraph{2. Punkt}
Das Bett dreht sich nicht. Daher müssen die Drehmomente bezüglich eines beliebigen Punktes des Bettes verschwinden (gleich Null sein). Diesen Punkt des Bettes können wir frei wählen. Wir wählen z.\,B. das Fussende des Bettes. Dadurch verschwindet das Drehmoment der unbekannten Kraft $F_F$ und die Gleichungen sind etwas einfacher zu lösen. Die Wahl des Drehpunktes spielt keine Rolle. Dies wird später im Beispiel gezeigt.
% Die Wahl des Drehpunktes spielt aber keine Rolle. Wir werden dieses Beispiel später noch mit einem anderen Drehpunkt durchrechnen.

\paragraph{3. Punkt}
Der Abstand des Schwerpunktes des Menschen vom Kopfende des Bettes wird mit $x$ bezeichnet, derjenige vom Fussende mit $y$. Die einzelnen Drehmomente sind nun folgendermassen bestimmt:
\begin{eqnarray*}
M_K = & - F_K \cdot l & = - 1320\,\text{Nm} \quad \text{(rechtsdrehend, negativ)}\\
M_{GB} = & + F_{GB} \cdot l/2 & = + 550\,\text{Nm} \quad \text{(linksdrehend, positiv)}\\
M_{GM} = & + F_{GM} \cdot y & = + 700\,\text{N} \cdot y \quad \text{(linksdrehend, positiv)} 
\end{eqnarray*}
Das resultierende Drehmoment muss Null sein, daraus folgt:
$$
M_R = M_K + M_{GB} + M_{GM} = - 1320\,\text{Nm} + 550\,\text{Nm} + 700\,\text{N} \cdot y = 0
$$

\paragraph{4. Punkt}
Die Kräftegleichung können wir direkt nach $F_F$ auflösen:
$$
F_F = F_{GB} + F_{GM} - F_K = 590\,\text{N}
$$
Die Auflagekraft am Fussende ist $F_F = 590$\,N. Ebenso können wir die obige Gleichung der Drehmomente nach $y$ auflösen und wir erhalten:
$$
y = \frac{+1320\,\text{Nm} -550\,\text{Nm}}{700\,\text{N}} = 1.1\,\text{m}
$$
Der Schwerpunkt der Person liegt also 1.1\,m von der unteren Bettkante entfernt. Das Problem ist nun komplett gelöst.

\paragraph{Alternativvariante}
Wir hätten auch einen anderen Punkt als Drehpunkt wählen können. Wählen wir das Kopfende als Drehpunkt erhalten wir folgende Drehmomente unter dem 3. Punkt:
\begin{eqnarray*}
M_F = & + F_F \cdot l & = + 2.0\,\text{m} \cdot F_F \quad \text{(linksdrehend, positiv)}\\
M_{GB} = & - F_{GB} \cdot l/2 & = - 550\,\text{Nm} \quad \text{(rechtsdrehend, negativ)}\\
M_{GM} = & - F_{GM} \cdot x & = - 700\,\text{N} \cdot x \quad \text{(rechtsdrehend, negativ)} 
\end{eqnarray*}
Das Auflösen der Kräftegleichung, die sich durch die Wahl eines anderen Drehpunktes nicht geändert hat, führt immer noch auf dieselbe Kraft:
$$
F_F = 590\,\text{N}
$$
Die Drehmomentgleichung ändert sich jedoch:
$$
M_R = M_F + M_{GB} + M_{GM} = + 2.0\,\text{m} F_F - 550\,\text{Nm} - 700\,\text{N} \cdot x = 0
$$
Wir setzen nun den Wert für $F_F$ in die Gleichung ein und lösen nach $x$ auf:
$$
x = \frac{-1180\,\text{Nm}+550\,\text{Nm}}{-700\,\text{N}} = 0.9\,\text{m}
$$
Dies entspricht genau der bereits oben erhaltenen Lösung, da $l - y = 2\,\text{m} - 1.1\,\text{m} = 0.9\,\text{m}$ ist!
\begin{merke}
Die Wahl des Drehpunktes spielt keine Rolle!
\end{merke}
\end{beispiel}

\newpage
\begin{aufgabe}{Mobile}\label{auf:mobile}
Es sei $x_1 = x_3 = 1$\,cm, $x_2 = 4$\,cm, $x_4 = x_6 = 3$\,cm und $x_5 = 1.5$\,cm. Ebenso sei $m_3 = 5$\,kg. Welche Masse haben $m_1$, $m_2$ und $m_4$, wenn das Mobile (Abbildung~\vref{abb:mobile}) ausbalanciert ist? Wir nehmen an, die Balken selbst hätten keine Masse.
\begin{figure}[H]
\centering
\input ./fig/mobile.pdf_t
\caption{Mobile}\label{abb:mobile}
\end{figure}
\end{aufgabe}

\begin{zusammenfassung}{}
Was haben Sie in diesem Abschnitt gelernt? Schreiben Sie sich in ein paar Worten die wichtigsten Punkte auf.
\end{zusammenfassung}

\begin{hinweis}{Weiterarbeit}
Wenn Sie die beiden Aufgaben problemlos lösen konnten, haben Sie die Grundlagen der Statik begriffen und sollten bereit sein für den Kapiteltest.
\end{hinweis}

\chapter{Weitere Beispiele aus der Statik}\label{kap:weiterebeispiele}
\chaptermark{Beispiele aus der Statik}
\begin{uebersicht}
In diesem Kapitel lernen Sie weitere Beispiele aus der Statik kennen. Vielfach sind es Anwendungen aus der Technik. Doch auch in der Natur und im Speziellen in unserem Körper finden die Grundgesetze der Statik Anwendung, z.\,B. wenn wir einen Gegenstand mit unseren Händen festhalten.

Zum Schluss werden Sie ein Computerexperiment durchführen, um die Gleichgewichtsbedingung eines Körpers zu finden, an dem drei Kräfte angreifen.
\end{uebersicht}

\begin{lernziele}
\item Sie können das Rezept, das Sie in Kapitel 4 kennen gelernt haben, in verschiedenen Situationen anwenden und besitzen am Ende die Fähigkeit, Statikprobleme selbständig und erfolgreich zu lösen.
\end{lernziele}

\section{Brücke}
Eine Brücke ist ein wichtiges Beispiel aus der Statik. Wir werden die Statik von Brücken anhand von Aufgaben diskutieren und besser kennen lernen.

\newpage
\begin{aufgabe}{Lastwagen auf der Brücke I}\label{auf:brueckeI}
Betrachten Sie den Lastwagen auf der Brücke (Abbildung~\vref{abb:bruecke}) mit den folgenden wirkenden Kräften.
\begin{figure}
\centering
\input ./fig/bruecke.pdf_t
\caption{Brücke mit Sattelschlepper}\label{abb:bruecke}
\end{figure}

Die Masse der Brücke sei $m_B = 500$\,t. Der Abstand zwischen den beiden Brückenpfeilern sei 50\,m. Die Vorderachse des Lastwagens sei 3\,m vom rechten Pfeiler entfernt. Die Mittelachse liegt 2\,m hinter der Vorderachse und die Hinterachse liegt 5\,m hinter der Mittelachse. Die Kräfte sind $F_{L1} = 20$\,kN, $F_{L2} = 30$\,kN und $F_{L3} = 50$\,kN. Mit welchen Kräften $F_1$ bzw. $F_2$ tragen die beiden Pfeiler die Last?
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}{Lastwagen auf der Brücke II}\label{auf:brueckeII}
Der Lastwagen aus der Aufgabe~\vref{auf:brueckeI} ist nun ein Stück auf der Brücke gefahren, so dass die Hinterachse genau über dem rechten Brückenpfeiler ist. Wie gross ist nun die Belastung der jeweiligen Pfeiler? Machen Sie eventuell eine Skizze, um sich die Geometrie des Problems klar zu machen.
\end{aufgabe}

\section{Kran}
Ein weiteres bekanntes statisches Problem aus der Technik ist der Kran.

\begin{aufgabe}{Kran}\label{auf:kran}
Wir betrachten die folgende Situation (Abbildung~\vref{abb:aufgabekran}).

%% TODO bei meiner Kranaufgabe auch: wir vernachlässigen die Masse des Krans!!!
%% Zahlenüberprüfen
Wir vernachlässigen die Masse des Kranes selbst. Die Masse der maximal zugelassenen Last sei $m_L = 6$\,t. Die Masse des Gewichtssteins sei $m_G = 15$\,t. Wie gross sind die beiden Auflagekräfte $F_1$ und $F_2$?
\begin{figure}[t]
\centering
\input ./fig/baukranobendreher.pdf_t
\caption{Turmdrehkran (Obendreher)}\label{abb:aufgabekran}
\end{figure}
\end{aufgabe}

\section{Menschlicher Arm}
Nach zwei Anwendungen aus der Technik wenden wir uns nun einem statischen Problem aus der Biologie zu, das Sie nur allzu gut aus dem Alltag kennen: unser Arm.

\newpage
\begin{aufgabe}{Menschlicher Arm}\label{auf:menschlicherarm}
Die Abbildung~\vref{abb:arm} zeigt einen abgewinkelten Arm. $O$ sei der Drehpunkt des Unterarmes, $A$ der Angriffspunkt des Bizepsmuskels und $B$ der Angriffspunkt der Last. Die Distanz $BO$ ist etwa 8-mal so gross wie der Abstand $AO$. Mit welcher Kraft muss der Bizepsmuskel am Unterarm angreifen, wenn man eine Last von $F=100$\,N halten will? Wir vernachlässigen das Gewicht des Unterarms.
\begin{figure}[H]
\centering
\input ./fig/arm.pdf_t
\caption[Menschlicher Arm \protect{\cite[Verändert:][]{web:arm}}]{Menschlicher Arm}\label{abb:arm}
\end{figure}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}{Kräftegleichgewicht beim menschlichen Arm}\label{auf:ggmenschlicherarm}
Betrachten Sie einmal das Kräftegleichgewicht in Aufgabe~\ref{auf:menschlicherarm}. Fällt Ihnen etwas auf? Stimmt da alles? Was meinen Sie?
\end{aufgabe}

%\newpage
\section{Gleichgewicht dreier Kräfte}
\begin{medien}{Gleichgewicht dreier Kräfte}\label{med:dreikraefte}
Öffnen Sie die Animation zum Gleichgewicht dreier Kräfte (Abbildung~\vref{abb:fendt}) in einem Browser. Die Animation ist auf der folgenden Webseite zu finden:

\url{http://www.walter-fendt.de/ph14d/gleichgewicht.htm}\nocitemediothek{web:fendt}

Sie können verschiedene Gewichte einstellen und auch die Rollen verstellen. Beobachten Sie, wie sich das System verhält, und spielen Sie damit! Versuchen Sie zu verstehen, wie sich das Gleichgewicht der drei Kräfte einstellt! Sie werden diese Erkenntnis brauchen, um die nächste Aufgabe zu lösen.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{./grafiken/kraefteparallelogram.png}
\caption{Animation \protect{\citep{web:fendt}}}\label{abb:fendt}
\end{figure}
\end{medien}

\begin{aufgabe}{Kräfteparallelogramm für drei Kräfte}\label{auf:kraefteparallelogramm}
Bei der Medienarbeit~\ref{med:dreikraefte} haben Sie das Kräftegleichgewicht von drei Kräften studiert. Es gab ebenfalls die Möglichkeit, das Kräfteparallelogramm zu zeichnen. Wie würden Sie bei drei gegebenen Kräften das Kräfteparallelogramm konstruieren?
\end{aufgabe}

\begin{zusammenfassung}{}
Sie haben nun verschiedene Probleme aus der Statik gelöst. Wenn Sie jeweils nach dem in Kapitel 4 vorgestellten Rezept vorgegangen sind, sollten die Aufgaben für Sie nicht weiter schwer gewesen sein. Mit dem Rezept haben Sie eine gute Vorgehensweise zum Lösen von Statikproblemen kennen gelernt.
\end{zusammenfassung}

\begin{hinweis}{Weiterarbeit}
Konnten Sie alle Aufgabe in diesem Kapitel korrekt lösen? Dann sollten Sie jetzt ein Meister im Lösen von Statikproblemen sein! Machen Sie den Kapiteltest und lassen Sie sich den Meisterstatus vom Lehrer bestätigen!
\end{hinweis}
