\chapter{Der Schwerpunkt}
\begin{loesung}{Aufgabe~\ref{auf:schwerpunktstoerung} (Schwerpunkt bei Störung)}
\begin{description}
\item[Stabiles Gleichgewicht] Der Schwerpunkt wird angehoben.
\item[Labiles Gleichgewicht] Der Schwerpunkt senkt sich.
\item[Indifferentes Gleichgewicht] Der Schwerpunkt bleibt auf gleicher Höhe.
\end{description}
\end{loesung}

\begin{loesung}{Aufgabe~\ref{auf:gleichgewichtsart} (Gleichgewichtsart)}
\begin{description}
\item[Abbildung~\ref{abb:quader}] Stabiles Gleichgewicht.
\item[Abbildung~\ref{abb:quadergekippt}] Labiles Gleichgewicht.
\item[Abbildung~\ref{abb:schieferquader}] Stabiles Gleichgewicht.
\item[Abbildung~\ref{abb:quadergekipptkeingg}] Kein Gleichgewicht.
\end{description}
\end{loesung}

\begin{loesung}{Aufgabe~\ref{auf:kippenkoerper} (Kippen eines Körpers)}
Massgebend ist die Lage des Schwerpunkts in Bezug auf die Standfläche:
Ein Körper kippt nicht, wenn sich sein Schwerpunkt lotrecht über der Standfläche befindet, sonst kippt er!
Bei einem labilen Gleichgewicht liegt der Schwerpunkt genau lotrecht über dem Rand der Standfläche.
\end{loesung}

\chapter{Das Hebelgesetz}
\begin{loesung}{Aufgabe~\ref{auf:gesetzver} (Gesetzmässigkeit der Verhältnisse)}
\begin{enumerate}
\item Die Werte stehen in der Tabelle~\vref{tab:lsg:ergebnisse}.
\item Die Abstände verhalten sich umgekehrt proportional zum Verhältnis der Massen!
\end{enumerate}
\begin{table}[H]
\centering
\caption{Ergebnisse der Messungen\label{tab:lsg:ergebnisse}}
\begin{tabular}{p{0.16\linewidth}p{0.16\linewidth}p{0.16\linewidth}p{0.16\linewidth}}
Massen- & Abstand links & Abstand rechts & Abstands-\\
verhältnis & [cm] & [cm] & verhältnis\\
\hline
2:1 & 6   & 12 & 1:2\\
3:1 & 4.5 & 13.5 & 1:3\\
4:3 & 9   & 12 & 3:4
\end{tabular}

\end{table}
\end{loesung}

\begin{loesung}{Aufgabe~\ref{auf:symhebel} (Symmetrischer Hebel)}
Gegeben:
\begin{eqnarray*}
r_1 & = & 0.040\,\textrm{m}\\
r_2 & = & 0.055\,\textrm{m}\\
F_1 & = & 7.0\,\textrm{N}
\end{eqnarray*}
Gesucht:
\begin{eqnarray*}
F_2
\end{eqnarray*}
Mit dem Hebelgesetzt folgt:
\begin{eqnarray*}
r_1 \cdot F_1 & = & r_2 \cdot F_2 \qquad |:r_2\\
F_2 & = & \frac{r_1 \cdot F_1}{r_2} = \frac{0.04\,\textrm{m} \cdot 7\,\textrm{N}}{0.055\,\textrm{m}} = 5.0909\,\textrm{N}\\
F_2 & \approx & 5.1\,\textrm{N}
\end{eqnarray*}
\end{loesung}

\newpage
\begin{loesung}{Aufgabe~\ref{auf:gedankenexp} (Gedankenexperiment)}
\begin{enumerate}
\item Die einzelnen Schritte sind in Abbildung~\vref{abb:auf:gedankenexp} dargestellt.
\item Beim Nachvollziehen des Experiments mit dem Massstab und den Münzen wird festgestellt, dass der Massstab sich in jedem Schritt im Gleichgewicht befindet.
\end{enumerate}
\begin{figure}[H]
\centering
\input ./fig/hebelgedankenexperimentaufgabe1.pdf_t
\caption{Hebel mit sieben Gewichten}\label{abb:auf:gedankenexp}
\end{figure}
\end{loesung}

\begin{loesung}{Aufgabe~\ref{auf:zweiseitigermitaxiom} (Zweiseitiger Hebel)}
Man kann die beiden Kräfte auf der linken Seite (gemäss Axiom~\ref{axiom:hebel}) zu einer einzigen zusammenfassen; diese ist dann $F_{1^*}=4.0$\,N und hat einen Abstand von $r_1=5.0$\,cm vom Drehpunkt. Danach die Aufgabe wie üblich lösen.

Gegeben:
\begin{eqnarray*}
r_1 & = & 0.050\,\textrm{m}\\
F_{1^*} & = & 4.0\,\textrm{N}\\
F_2 & = & 6.0\,\textrm{N}
\end{eqnarray*}
Gesucht:
\begin{eqnarray*}
r_2
\end{eqnarray*}
Mit dem Hebelgesetzt folgt:
\begin{eqnarray*}
r_1 \cdot F_{1^*} & = & r_2 \cdot F_2 \qquad |:F_2\\
r_2 & = & \frac{r_1 \cdot F_{1^*}}{F_2} = \frac{0.05\,\textrm{m} \cdot 4\,\textrm{N}}{6\,\textrm{N}} = 0.0333\,\textrm{m}\\
r_2 & \approx & 3.3\,\textrm{cm}
\end{eqnarray*}
\end{loesung}

\chapter{Anwendung des Hebelgesetzes}
\begin{loesung}{Aufgabe~\ref{auf:alltagsgegenstaende} (Alltagsgegenstände)}
Einseitige Hebel:
\begin{itemize}
 \item Knoblauchpresse
 \item Papierschneidmaschine
 \item \dots
\end{itemize}
Zweiseitige Hebel:
\begin{itemize}
 \item Haushaltsschere, Gartenschere
 \item Wäscheklammer
 \item Balkenwaage
 \item \dots
\end{itemize} 
\end{loesung}

\begin{loesung}{Aufgabe~\ref{auf:beisszange} (Beisszange)}
\begin{enumerate}
\item Gegeben:
\begin{eqnarray*}
r_1 & = & 0.032\,\textrm{m}\\
r_2 & = & 0.100\,\textrm{m}\\
F_2 & = & 60\,\textrm{N}
\end{eqnarray*}
Gesucht:
\begin{eqnarray*}
F_1
\end{eqnarray*}
Mit dem Hebelgesetzt folgt:
\begin{eqnarray*}
r_1 \cdot F_1 & = & r_2 \cdot F_2 \qquad |:r_1\\
F_1 & = & \frac{r_2 \cdot F_2}{r_1} = \frac{0.100\,\textrm{m} \cdot 60\,\textrm{N}}{0.032\,\textrm{m}} = 187.5\,\textrm{N}\\
F_1 & \approx & 188\,\textrm{N}
\end{eqnarray*}
Hier wäre es eventuell sinnvoll abzurunden. Eine höhere Kraft kann nicht aufgebracht werden, jedoch eine kleinere, durch weniger starkes Zusammendrücken der Griffe.
\item Man muss den Hebel vergössern, d.\,h. die Griffseite verlängern.
\end{enumerate}
\end{loesung}

\begin{loesung}{Aufgabe~\ref{auf:nussknacker} (Nussknacker)}
Gegeben:
\begin{eqnarray*}
r_1 & = & 0.042\,\textrm{m}\\
r_2 & = & 0.157\,\textrm{m}\\
F_1 & = & 145\,\textrm{N}
\end{eqnarray*}
Gesucht:
\begin{eqnarray*}
F_2
\end{eqnarray*}
Mit dem Hebelgesetzt folgt:
\begin{eqnarray*}
r_1 \cdot F_1 & = & r_2 \cdot F_2 \qquad |:r_2\\
F_2 & = & \frac{r_1 \cdot F_1}{r_2} = \frac{0.042\,\textrm{m} \cdot 145\,\textrm{N}}{0.157\,\textrm{m}} = 38.79\,\textrm{N}\\
F_2 & \approx & 39\,\textrm{N}
\end{eqnarray*}
Hier müsste aufgerundet werden, auch wenn aus mathematischer Sicht abgerundet werden müsste. Wir wollen die Nuss auf jedenfall knacken.
\end{loesung}

\begin{loesung}{Aufgabe~\ref{auf:ziehbrunnen} (Ziehbrunnen)}
\begin{enumerate}
\item Gegeben:
\begin{eqnarray*}
r_1 & = & \frac{d_1}{2} = \frac{0.16\,\textrm{m}}{2}\\
r_2 & = & \frac{d_2}{2} = \frac{0.88\,\textrm{m}}{2}\\
F_1 & = & 190\,\textrm{N}
\end{eqnarray*}
Gesucht:
\begin{eqnarray*}
F_2
\end{eqnarray*}
Mit dem Hebelgesetzt folgt:
\begin{eqnarray*}
r_1 \cdot F_1 & = & r_2 \cdot F_2 \qquad |:r_2\\
F_2 & = & \frac{r_1 \cdot F_1}{r_2} = \frac{\frac{0.16\,\textrm{m}}{2} \cdot 190\,\textrm{N}}{\frac{0.88\,\textrm{m}}{2}} = \frac{0.16\,\textrm{m} \cdot 190\,\textrm{N}}{0.88\,\textrm{m}} = 34.55\,\textrm{N}\\
F_2 & \approx & 35\,\textrm{N}
\end{eqnarray*}
\item Gegeben:
\begin{eqnarray*}
s_1 & = & 8.2\,\textrm{m}\\
d_1 & = & 0.16\,\textrm{m}\\
d_2 & = & 0.88\,\textrm{m}
\end{eqnarray*}
Gesucht:
\begin{eqnarray*}
s_2
\end{eqnarray*}
Wir führen die Hilfsgrösse $n$ (Anzahl notwendige Umdrehungen) ein. Da Kreisumfang mal Anzahl Umdrehungen die Seillänge, bzw. der Weg, welche die Kurbel zurücklegt, ist, folgen daraus die zwei Gleichungen:
\begin{eqnarray*}
s_1 & = & d_1 \cdot \pi \cdot n\\
s_2 & = & d_2 \cdot \pi \cdot n
\end{eqnarray*}
Wir lösen die 1. Gleichung nach $n$ auf und setzen sie in die 2. ein:
\begin{eqnarray*}
n & = & \frac{s_1}{d_1 \cdot \pi}\\
s_2 & = & d_2 \cdot \pi \cdot \frac{s_1}{d_1 \cdot \pi} = \frac{d_2 \cdot s_1}{d_1} = \frac{0.88\,\textrm{m} \cdot 8.2\,\textrm{m}}{0.16\,\textrm{m}} = 45.1\,\textrm{m}\\
s_2 & \approx & 45\,\textrm{m}
\end{eqnarray*}
Beachten Sie, dass beim formalen Rechnen die Konstante $\pi$ herausgekürzt werden kann. Lösen Sie solche Gleichungssysteme daher zuerst algebraisch auf und setzen Sie erst am Schluss die Zahlen ein.
\end{enumerate}
\end{loesung}

\begin{loesung}{Aufgabe~\ref{auf:goldeneregelmech} (Goldene Regel der Mechanik)}
Die Goldene Regel lautet:

\emph{Die Kraft ist umgekehrt proportional zum Weg.}

Beim Velo haben Sie die Wahl: Wählen Sie einen grossen Gang, dann brauchen Sie viel Kraft, aber weniger Umdrehungen. Entscheiden Sie sich für einen kleinen Gang, dann brauchen Sie wenig Kraft, aber viele Umdrehungen.
\end{loesung}

\chapter{Vom Hebelgesetz zu den Grundgesetzen der Statik}
\begin{loesung}{Aufgabe~\ref{auf:drehbarefigur} (Drehbar gelagerte Figur)}
Ihre Abbildung sollte etwa so aussehen wie Abbildung~\vref{abb:lsg:drehbarefigurl}.
\begin{figure}
\centering
\input ./fig/drehbarefigurlsg.pdf_t
\caption{Drehbar gelagerte Figur}\label{abb:lsg:drehbarefigurl}
\end{figure}
Durch Messung oder Berechnung erhält man für $r_1 = 5.5$\,m, $r_2 = 5\,$m und $r_3 = 2.24$\,m. Es ergeben sich folgende Beträge für die Drehmomente:
\begin{eqnarray*}
M_1 = & F_1 \cdot r_1 & = 3\,\textrm{N} \cdot 5.5 m = 16.5\,\textrm{Nm} \rightarrow \textrm{linksdrehend} \rightarrow \textrm{positiv}\\
M_2 = & F_2 \cdot r_2 & = 3.5\,\textrm{N} \cdot 5\,\textrm{m} = 17.5\,\textrm{Nm} \rightarrow \textrm{rechtsdrehend} \rightarrow \textrm{negativ}\\
M_3 = & F_3 \cdot r_3 & = 7\,\textrm{N} \cdot 2.24\,\textrm{m} = 15.7\,\textrm{Nm} \rightarrow \textrm{rechtsdrehend} \rightarrow \textrm{negativ}
\end{eqnarray*}
Für das resultierende Drehmoment erhalten wir
\begin{eqnarray*}
M_R = & + M_1 - M_2 - M_3 & = - 16.7\,\textrm{Nm}  \rightarrow \textrm{rechtsdrehend} \rightarrow \textrm{negativ}
\end{eqnarray*}
\end{loesung}
\begin{hinweis}{}
Haben Sie dieselben Drehmomente erhalten? Konnten Sie die Hebelarme problemlos bestimmen? Haben Sie auch die Drehwirkung richtig erkannt? Wenn ja, gehen Sie weiter im Leitprogramm. Sonst überlegen Sie sich nochmals, was Sie falsch gemacht haben und korrigieren ihre Fehler.
\end{hinweis}

\begin{loesung}{Aufgabe~\ref{auf:mobile} (Mobile)}
Wir lösen das Mobile von unten her auf. Zuerst berechnet man $m_4$. Für den Aufhängepunkt (Drehpunkt) des untersten Balken muss folgendes gelten:
$$
M_R = + m_3 \cdot g \cdot x_5 - m_4 \cdot g \cdot x_6 = 0
$$
Wird dies erfüllt ist der unterste Balken ausbalanciert. Daraus ergibt sich $m_4 = 2.5$\,kg. Am unteren Balken hängt also die Masse $m_A = m_3 + m_4 = 7.5$\,kg und diese wirkt mit dem Hebelarm $x_4$ auf den mittleren Balken. Für den mittleren Balken gilt nun analog zum untersten:
$$
M_R = + m_2 \cdot g \cdot x_3 - m_A \cdot g \cdot x_4 = 0
$$
Das Auflösen der Gleichung ergibt $m_2 = 22.5$\,kg. Am obersten Balken hängt nun auf der linken Seite die Masse $m_B = m_2 + m_3 + m_4 = 30$\,kg und sie hat den Hebelarm $x_1$ bezüglich des Aufhängepunktes des obersten Balkens. Wir erhalten wiederum:
$$
M_R = + m_B \cdot g \cdot x_1 - m_1 \cdot g \cdot x_2 = 0
$$
Daraus folgt $m_1 = 7.5$\,kg.
\end{loesung}

\chapter{Weitere Beispiele aus der Statik}
\begin{loesung}{Aufgabe~\ref{auf:brueckeI} (Lastwagen auf der Brücke I)}
Wir berechnen zunächst die Gewichtskraft der Brücke:
$$
F_G = g \cdot m_B = 5\,000\,000\,\textrm{N} = 5\,\textrm{MN}
$$
Aus der Gleichgewichtsbedingung für die Kräfte ($F_R = 0$, keine resultiernde Kraft) folgt:
$$
F_R = F_1 + F_2 - F_G - F_{L1} - F_{L2} - F_{L3} = 0
$$
Wir stellen ebenfalls die Gleichgewichtsbedingung für die Drehmomente auf (bezüglich des linken Pfeilers)
$$
M_R = + F_2 \cdot 50\,\textrm{m} - F_G \cdot 25\,\textrm{m} - F_{L1} \cdot 53\,\textrm{m} - F_{L2} \cdot 55\,\textrm{m} - F_{L3} \cdot 60\,\textrm{m} = 0
$$
Wir lösen nach $F_2$ auf und erhalten:
$$
F_2 = 2\,614\,200\,\textrm{N} \approx 2.6\,\textrm{MN} \quad (\approx 260\,\textrm{t})
$$
Durch Einsetzen ergibt sich:
$$
F_1 = 2\,485\,800\,\textrm{N} \approx 2.5\,\textrm{MN} \quad (\approx 250\,\textrm{t})
$$
\end{loesung}

\begin{hinweis}{}
Konnten Sie diese Aufgabe lösen? Haben Sie die Geometrie richtig erkannt und die Gleichungen korrekt aufgestellt? Wenn ja, gehen Sie im Leitprogramm weiter. Sonst suchen Sie den Fehler. Vielleicht machen Sie nochmals eine Skizze, in der Sie die Geometrie noch einmal selbst zeichnen und die Abstände eintragen!
\end{hinweis}

\begin{loesung}{Aufgabe~\ref{auf:brueckeII} (Lastwagen auf der Brücke II)}
Alle Kräfte sind noch dieselben wie bei der Aufgabe~\ref{auf:brueckeI}, nur die Hebelarme haben sich verändert! Mit der Gleichgewichtsbedingung für die Kräfte erhalten wir wiederum:
$$
F_R = F_1 + F_2 - F_G - F_{L1} - F_{L2} - F_{L3}
$$
Wir stellen wiederum die Gleichgewichtsbedingung für die Drehmomente bezüglich des linken Pfeilers auf. Achtung: die Hebelarme bei den Kräften für den Lastwagen haben sich geändert!
$$
M_R = + F_2 \cdot 50\,\textrm{m} - F_G \cdot 25\,\textrm{m} - F_{L1} \cdot 43\,\textrm{m} - F_{L2} \cdot 45\,\textrm{m} - F_{L3} \cdot 50\,\textrm{m} = 0
$$
Danach erhalten wir auf die gleiche Weise wie bei Aufgabe~\ref{auf:brueckeI}
$$
F_2 = 2\,594\,200\,\textrm{N} \quad \textrm{und} \quad F_1 = 2\,505\,800\,\textrm{N}
$$
\end{loesung}

\begin{loesung}{Aufgabe~\ref{auf:kran} (Kran)}
Zuerst berechnen wir die Gewichtskräfte des Gewichtssteins bzw. der Last
\begin{eqnarray*}
F_G = & g \cdot m_G & = 150\,000\,\textrm{N} = 150\,\textrm{kN}\\
F_L = & g \cdot m_L & = 60\,000\,\textrm{N} = 60\,\textrm{kN}
\end{eqnarray*}
Wir stellen die Gleichgewichtsbedingung für die Kräfte:
$$
F_R = F_1 + F_2 - F_G - F_L = 0
$$
und die Drehmomente:
$$
M_R = + F_G \cdot 5\,\textrm{m} + F_2 \cdot 2\,\textrm{m} - FL \cdot 15\,\textrm{m} - F_1 \cdot 2\,\textrm{m} = 0
$$
auf. Durch Auflösen nach den beiden Auflagekräften erhalten wir
\begin{eqnarray*}
F_1 & = & 67\,500\,\textrm{N}\\
F_2 & = & 142\,500\,\textrm{N}
\end{eqnarray*}
\end{loesung}

\begin{loesung}{Aufgabe~\ref{auf:menschlicherarm} (Menschlicher Arm)}
Aus der Drehmomentgleichung folgt mit $AO \equiv x$
$$
M_R = + 100\,\textrm{N} \cdot 8x - F \cdot x = 0 \Rightarrow F = 800\,\textrm{N}
$$
D.\,h. der Bizepsmuskel muss aufgrund des viel kleineren Hebelarmes eine viel grössere Kraft aufbringen! Dafür muss sich der Muskel viel weniger stark zusammenziehen können und es sinddadurch grosse und schnelle Bewegungungen mit der Hand möglich.
%% TODO formulierung
\end{loesung}

\begin{loesung}{Aufgabe~\ref{auf:ggmenschlicherarm} (Kräftegleichgewicht beim menschlichen Arm)}
In Aufgabe~\ref{auf:menschlicherarm} haben wir für die Kraft, die von der Bizepsmuskulatur geleistet wird, einen Wert von 800\,N bekommen. Da wir die Last halten, wird der Unterarm keine Translation machen, d.\,h. auch die resultierende äussere Kraft muss verschwinden! Wenn wir jetzt die Kräftebilanz ziehen, sehen wir, dass
$$
800\,\textrm{N} - 100\,\textrm{N} = 700\,\textrm{N}
$$
Es fehlt uns eine Kraft von 700\,N nach unten! Die Wirkungslinie dieser Kraft muss aber durch $O$ gehen, denn sonst hätten wir ein zusätzliches Drehmoment! Eine solche Kraft wird tatsächlich vom Oberarm am Ellbogengelenk ausgeübt und der Unterarm ist daher in Ruhe!
\end{loesung}

\begin{hinweis}{}
Haben Sie diesen Sachverhalt erkannt? Falls ja -- grossartig! Gehen Sie weiter im Leitprogramm. Andernfalls überlegen Sie sich die Problematik anhand der Musterlösung nochmals und machen sich die Lösung klar.
\end{hinweis}

\newpage
\begin{loesung}{Aufgabe~\ref{auf:kraefteparallelogramm} (Kräfteparallelogramm für drei Kräfte)}
Damit der Körper in einem statischen Gleichgewicht ist, muss die resultierende äussere Kraft, d.\,h. die Summe aller drei angreifenden Kräfte Null sein. Eine Kraft, die Gewichtskraft, zeigt immer nach unten: diese Richtung ist also fixiert. Zudem weiss man noch von allen drei Kräften die Beträge, denn diese kann man ja wählen. Dies führt zur folgenden Konstruktion des Kräfte\-pa\-ral\-le\-lo\-gramms (Abbildung~\ref{abb:kraefteparallelogrammkonst}):
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}.}
\item Definieren Sie zuerst einen Massstab. Zum Beispiel $1\,\textrm{cm} \equiv 1\,\textrm{N}$.
\item Zeichnen Sie danach die Kraft nach unten mit der entsprechenden Länge ein. Diese Kraft muss nun durch zwei andere Kräfte kompensiert werden.
\item Nehmen Sie einen Zirkel und stellen Sie den Radius mit der Länge einer der beiden anderen Kräfte ein.
\item Stecken Sie den Zirkel entweder im Anfangs- oder Endpunkt des nach unten gerichteten Pfeils ein und ziehen Sie den Kreis.
\item Stellen Sie nun mit dem Zirkel den Radius der verbleibenden Kraft ein.
\item Machen Sie anschliessend den Kreis mit dem anderen Punkt des vertikalen Pfeils als Zentrum, d.\,h. nehmen Sie den Punkt, den Sie nicht schon für den ersten Kreis verwendet haben.
\item Die Schnittpunkte der beiden Kreise definieren nun das Kräfteparallelogramm und die entsprechenden Winkel zwischen den Kräften.
\end{enumerate}
Einfacher gesagt, geht es hier eigentlich nur darum ein Dreieck zu zeichnen, wenn alle drei Seitenlängen gegeben sind. In Abbildung~\vref{abb:kraefteparallelogrammkonst} ist die Lösung gezeichnet, diese Lösung entspricht genau dem linken Dreieck in der Abbildung~\vref{abb:fendt}.
\begin{figure}[H]
\centering
\input fig/kraefteparallelogram.pdf_t
\caption{Konstruktion des Kräfteparallelogram}\label{abb:kraefteparallelogrammkonst}
\end{figure}
\end{loesung}

\begin{hinweis}{}
Konnten Sie diese Konstruktion selbst herleiten, indem Sie die Computeranimation gut studiert haben? Falls ja, hervorragend! Sonst gehen Sie nochmals die Konstruktionsanleitung durch und versuchen Sie diese nachzuvollziehen.
\end{hinweis}

\chapter{Der Flaschenzug}
\begin{loesung}{Aufgabe~\ref{auf:flaschenzug1} (Flaschenzug I)}
\begin{enumerate}
\item Es werden 3 Seilstränge um 10\,cm \glqq{}verkürzt\grqq{}. $\Rightarrow$ 30\,cm
\item Der Weg ist dreimal so lang, also (gemäss Goldener Regel) die Kraft ein Drittel so gross. $\Rightarrow$ $F = 4$\,N
\end{enumerate}
\end{loesung}

\begin{loesung}{Aufgabe~\ref{auf:flaschenzug2} (Flaschenzug I)}
\begin{enumerate}
\item Es werden 4 Seilstränge um 10\,cm \glqq{}verkürzt\grqq{}. $\Rightarrow$ 40\,cm
\item Der Weg ist viermal so lang, also (gemäss Goldener Regel) die Kraft ein Viertel so gross. $\Rightarrow$ $F = 3$\,N
\item Der Weg wird dann 16-mal so lang und die Kraft 1/16 so gross. $\Rightarrow$ 16 Rollen

Allerdings gilt das nur, wenn man die Reibung und die Masse der Rollen vernachlässigt!
\end{enumerate}
\end{loesung}

\begin{loesung}{Aufgabe~\ref{auf:potenzflaschenzug} (Potenzflaschenzug)}
\begin{enumerate}
\item 40\,cm 
\item Der Weg ist viermal so lang, also (gemäss Goldener Regel) die Kraft ein Viertel so gross. $\Rightarrow$ $F = 3$\,N
\item Man kann die Last nur sehr wenig weit bewegen! Die letzte lose Flasche kann sich nur bis zur festen Rolle bewegen, die vorletzte lose Flasche nur bis zur letzten losen Flasche,\dots!
\item Jede weitere Rolle bewirkt die Halbierung der Kraft; man nennt einen solchen Flaschenzug deshalb Potenzflaschenzug. $\Rightarrow$ 5 Rollen

Allerdings gilt das nur, wenn man die Reibung und die Masse der Rollen vernachlässigt!
\end{enumerate}
\end{loesung}
%% TODO begriff flasche einführen.

\chapter{Archimedes}
In diesem Kapitel gibt es nur Medienarbeiten.
