\documentclass[12pt,twoside]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{ngerman} %deutsch neue rechtschreibung
%\usepackage[german]{varioref}
\usepackage{textcomp}
%\usepackage{attachfile}
%\usepackage{listings}
\usepackage{amsmath}
%\usepackage{amssymb}
%\usepackage{tipa}
\usepackage[format=hang,tableposition=above]{caption}
\usepackage{subfigure}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[pdftex]{graphicx,color} % pdflinks

%\attachfilesetup{icon=Paperclip, color=1 0 0, author=Thomas Kuster und André Welti}

\hypersetup
{%
pdftitle = {Materiewellen},%
pdfsubject = {Materiewellen, Experiment},%
pdfauthor = {Thomas Kuster (8. Semester, D-UWIS)},%
pdfkeywords = {Materiewellen, Übungslektion, Experiment, Kantonsschule Im Lee Winterthur},%
colorlinks = {true},% für farbe true
linkcolor = {blue}
}

\setlength{\parindent}{0em}

\date{\today}
\author{Thomas Kuster}

\title{Materiewellen}

\begin{document}

\maketitle

\section{Theorie}
\subsection{de Broglie-Beziehung}
Energie (Licht):
\begin{eqnarray}
E & = & p c \label{eq:E=pc}
\end{eqnarray}
Letzte Stunde:
\begin{eqnarray}
E & = & h f \label{eq:E=hf}
\end{eqnarray}
Aus der Gleichung~(\ref{eq:E=pc}) mit Gleichung~(\ref{eq:E=hf}) folgt:
\begin{eqnarray}
p = \frac{E}{c} \overset{(\ref{eq:E=hf})}{=} \frac{h f}{c}
\end{eqnarray}
Mit der Beziehung $f=c/\lambda$ folgt:
\begin{eqnarray}
p = \frac{h}{\lambda} \label{eq:p=h/lambda}
\end{eqnarray}
De Broglie (Abbildung~\ref{abb:debroglie}) vermutete in seiner Doktorarbeit 1923, dass dieser Zusammenhang auch für Elektronen und andere Teilchen zutrifft.

Die Hypothese bestätigte sich und de Broglie erhielt 1929 den Nobelpreis in Physik \glqq{}for his discovery of the wave nature of electrons\grqq{}.

\subsection{Wellenlänge von Materie}
Energie:
\begin{eqnarray}
E_{\textnormal{kin}} &=& \frac{p^2}{2 m} \qquad\textnormal{Beachte: } \frac{m^2v^2}{2m} = \frac{mv^2}{2}\frac{m}{m}\\
p & = & \sqrt{2 E_{\textnormal{kin}} m} \overset{(\ref{eq:p=h/lambda})}{=} \frac{h}{\lambda}\\
\lambda & = & \frac{h}{\sqrt{2 E_{\textnormal{kin}} m}}
\end{eqnarray}
Energie des Elektron (Beschleunigungsspannung $U$):
\begin{eqnarray}
E & = & U q \quad \textnormal{mit: } q = e = 1.602\cdot 10^{-19}\,\textnormal{C} \label{eq:E=Ue}
\end{eqnarray}
Wellelänge des Elektron:
\begin{eqnarray}
\lambda & \overset{(\ref{eq:E=Ue})}{=} & \frac{h}{\sqrt{2 U e m}}
\end{eqnarray}

\section{Versuch}
In einer Kathodenstrahlröhre (evakuierter Glasröhre) werden Elektronen mit 5\,kV beschleunigt. 13.5\,cm von der Anode (Graphitfolie) befindet sich eine Leuchtschicht welche Licht aussendet bei Elektronenbeschuss (Kathodolumineszenz). Der Versuchsaufbau ist in Abbildung~\ref{abb:elektronenstrahlroehre} dargestellt.

\begin{figure}
\input ../bilder/elektronenstrahlroehre.pdf_t
\caption{Kathodenstrahlröhre: Elektronenstrahl tritt durch eine Graphitfolie.}\label{abb:elektronenstrahlroehre}
\end{figure}

\newpage
\section{Aufgaben}
\subsection{Experiment}
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie die Wellenlänge der Elektronenstrahl im Versuch
\item Welche Gitterkonstanten $d$ erhalten Sie (Optik: Für die Intensitätmaxima bei $\varphi_n$ gilt: $\sin(\varphi_n)=n\frac{\lambda}{d}$ mit $n=\{0,1,2,\dots\}$)
\item Was folgern Sie daraus für die Orientierung der Graphitfolie (Beachten Sie dazu Tabelle~\ref{tab:bindung} und die Abbildung~\ref{abb:graphit}) bzw. welche Abstände \glqq{}sehen\grqq{} Sie.
\end{enumerate}

\begin{table}
\centering
\caption{Bindungslängen von Kohlenstoff}\label{tab:bindung}
\begin{tabular}{lr}
Bindung & Länge [pm]\\
\hline
C--C &	154\\
C=C &	134\\
C$\equiv$C &	120
\end{tabular}
\end{table}

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=0.35\linewidth]{../bilder/graphit}
\caption{Hexagonale Kristallstruktur des Graphit. Quelle: \url{http://de.wikipedia.org/wiki/Graphit}}\label{abb:graphit}
\end{figure}

\subsection{Beugung des Menschen}
Wieso beugen Sie sich nicht, wenn Sie durch eine Türe gehen? Tipp: Berechnen Sie die Breite welche die Tür haben müsste, damit Sie sich an ihr beugen würden (Treffen Sie sinnvolle Annahmen).

\subsection{Elektronenmikroskop}
Den kleinsten Abstand $d$ der mit einem Mikroskop aufgelöst werden kann berechnet sich wie folgt (vergleiche Optik):
$$
d = \frac{\lambda}{2 \sin{u}}
$$
Mit Röntgenstrahlen ($\lambda=10^{-2}$\,nm) müssten einzelne Atome sichtbar sein (Atomabstand $\approx10^{-10}$\,m $=1$\,Å). Für Röntgenstrahlen gibt es aber keine Linsen (Brechungsquotient ist bei allen Stoffen nahezu 1).

Die Röntgenstrahlen lassen sich aber durch Elektronen mit kleiner Wellenlänge ersetzen. Elektronen lassen sich durch elektrische und magnetische Felder ablenken, wodurch auch für sehr kurzwellige Elekronenstrahlen Linsen gebaut werden können. Die unvermeindlichen Linsenfehler lassen nur Werte von $\sin{u}\approx10^{-2}$ zu. 

Welche Abstände lassen sich auflösen wenn die Beschleunigungsspannung $U \approx 100$\,kV beträgt.

\newpage
\section{Lösungen}
\subsection{Experiment}
\subsubsection{Wellenlänge des Elektronenstrahls}
Energie:
\begin{eqnarray*}
\lambda & = & \frac{h}{\sqrt{2 E_{\textnormal{kin}} m}}
\end{eqnarray*}
Energie des Elektron (Beschleunigungsspannung $U$):
\begin{eqnarray}
E & = & U q \quad \textnormal{mit: } q = e = 1.602\cdot 10^{-19}\,\textnormal{C} \label{eq:exp:E=Ue}
\end{eqnarray}
Wellelänge des Elektron:
\begin{eqnarray*}
\lambda & \overset{(\ref{eq:exp:E=Ue})}{=} & \frac{h}{\sqrt{2 U e m}}\\
 & = & \frac{6.626\cdot10^{-34}\,\textnormal{J\,s}}{\sqrt{2 \cdot 3\,000\,\textnormal{V} \cdot 1.602\cdot10^{-19}\,\textnormal{C} \cdot 9.109\cdot10^{-31}\,\textnormal{kg}}}\\
 & = & \frac{6.626\cdot10^{-34}\,\textnormal{N\,m\,s}}{\sqrt{8.757\cdot10^{-46}\,\textnormal{J\,C$^{-1}$\,C\,kg}}}\\
 & = & \frac{6.626\cdot10^{-34}\,\textnormal{kg\,m\,s$^{-2}$\,m\,s}}{\sqrt{8.757\cdot10^{-46}\,\textnormal{kg\,m$^{2}$\,s$^{-2}$\,kg}}}\\
 & = & 2.239\cdot10^{-11} \frac{\textnormal{kg\,m$^{2}$\,s$^{-1}$}}{\textnormal{kg\,m\,s$^{-1}$}} = 2.239\cdot10^{-11}\,\textnormal{m}\\
 & = & 22.39\,\textnormal{pm} = 0.2239\,\textnormal{Å}
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Gitterkonstanten $d$}
Folgende Radien wurden gemessen:
\begin{eqnarray*}
r_1 & = & 1.3\,\textnormal{cm}\\
r_2 & = & 2.5\,\textnormal{cm}
\end{eqnarray*}
Für den Winkel $\varphi$ folgt daraus (Krümmung wird vernachlässigt):
\begin{eqnarray*}
\varphi_i & = & \arctan{\left(\frac{r_i}{l}\right)}\\
\varphi_1 & = & \arctan{\left(\frac{1.3\,\textnormal{cm}}{13.5\,\textnormal{cm}}\right)} = 5.5\textnormal{°}\\
\varphi_1 & = & \arctan{\left(\frac{2.5\,\textnormal{cm}}{13.5\,\textnormal{cm}}\right)} = 10.5\textnormal{°}
\end{eqnarray*}
Beide Maxima sind 1. Ordnung daher gilt für die Gitterkonstanten:
\begin{eqnarray*}
\sin{\varphi_i} & = & \frac{\lambda}{d_i}\\
d_i & = & \frac{\lambda}{\sin{(\varphi_i)}}\\
d_1 & = & \frac{2.239\cdot10^{-11}\,\textnormal{m}}{\sin{(5.5\textnormal{°})}} = 2.34\cdot10^{-10}\,\textnormal{m} = 234\,\textnormal{pm}\\
d_2 & = & \frac{2.239\cdot10^{-11}\,\textnormal{m}}{\sin{(10.5\textnormal{°})}} = 1.23\cdot10^{-10}\,\textnormal{m} = 123\,\textnormal{pm}
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Folgerung}
Diese Grössen liegen nicht im Bereich des Abstands, der parallel verlaufenden Schichten, welcher 670/2\,pm beträgt. Der Elektronenstrahl wäre in der Abbildung~\ref{abb:graphit} vertikal einzuzeichnen.

Sichtbar gemacht wurden also die Abstände der Hexagonalstruktur. Die Kohlenstoffatome sind sp$^2$-hybridisiert, für den Abstand kann als Näherung der Mittelwert zwischen Einfach- und Doppelbindung gewählt werden (144\,pm) oder der exakte Abstand\footnote{Quelle: \url{http://hypertextbook.com/facts/2001/AliceWarrenGregory.shtml}} von 142\,pm. Dies ergibt dann die in Abbildung~\ref{abb:graphit_hexagon} eingezeichneten Abstände. Der Gitterabstand von 123\,pm tritt drei mal auf (jeweils um 120° gedreht). Wie sich der Gitterabstand von 234\,pm ergibt ist mit allerding auch nicht klar.
\begin{figure}
\centering
\input ../bilder/graphit_hexagon.pdf_t
\caption{Hexagonale Struktur des Graphit. Der Gitterabstand ist durch die gepunkteten Linien dargestellt, jeweils um 120° gedreht könnten nochmals dieselben Linien eingezeichnet werden}\label{abb:graphit_hexagon}
\end{figure}

\subsection{Beugung des Menschen}
\begin{eqnarray*}
\lambda & = & \frac{h}{\sqrt{2 E_{\textnormal{kin}} m}}
\end{eqnarray*}
Da sich der Mensch bewegen muss um auch durch einen Spalt zu kommen darf $v$ nicht 0 sein. Mit folgenden Annahmen:
\begin{eqnarray*}
v & = & 1\,\textnormal{m/s}\\
m & = & 80\,\textnormal{kg}
\end{eqnarray*}
ergibt sich folgende Wellenlänge:
\begin{eqnarray*}
\lambda & = & \frac{h}{\sqrt{2 \frac{1}{2} m v^2 m}} = \frac{h}{m v}\\
& = & \frac{6.626\cdot10^{-34}\,\textnormal{J\,s}}{80\,\textnormal{kg} \cdot 1\,\textnormal{m/s}} = 8.28\cdot10^{-36}\,\textnormal{m}
\end{eqnarray*}
Dies ist viel kleiner als der Abstand zweier Atome und auch dort zwischen durch passt kein Mensch.

\subsection{Elektronenmikroskop}
Die Wellenlänge der Elektronen beträgt:
\begin{eqnarray}
\lambda & = & \frac{h}{\sqrt{2 U e m}} = \frac{6.626\cdot10^{-34}\,\textnormal{J\,s}}{\sqrt{2 \cdot 100\,000\,\textnormal{V} \cdot 1.602\,\textnormal{C}\cdot 9.109\cdot10^{-31}\,\textnormal{kg}}}\\
 & = & 3.878\cdot10^{-12}\,\textnormal{m}\label{eq:lsg:lambda}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray*}
d & = & \frac{\lambda}{2 \sin{u}} \overset{(\ref{eq:lsg:lambda})}{=} \frac{3.878\cdot10^{-12}\,\textnormal{m}}{2 10^{-2}}\\
 & = & 1.9\cdot10^{-10}\,\textnormal{m} \approx 0.2\,\textnormal{nm}
\end{eqnarray*}
Die Auflösung liegt etwa im Bereich der Atomgrösse ($\approx 10^{-10}$\,m = 1\,Å).

\cleardoublepage
\appendix
\section{Unterrichtsablauf}
\paragraph{Beginn} 10:20
\paragraph{Ende} 11:00
\paragraph{Ziele}
\begin{itemize}
 \item Ähnlichkeit von Licht und Materie erkennen
 \item Frequenz bzw. Wellenlänge aus der Energie berechnen können
 \item Wellenlänge von Materie berechnen können
\end{itemize}

\subsection{Einstieg 1' 10:20}
\paragraph{Was haben Sie letztes mal gelernt?} Licht kann auch ein Teilchen sein (Photonen)

\paragraph{Welche Gedanken haben Sie sich dazu gemacht?} Kann auch Materie eine Welle sein

\subsection{Theorie de Broglie 2' 10:21}
Herleitung der de Broglie-Beziehung
\paragraph{Energie von Licht}
\paragraph{Energie gequantelt} Kam in letzter Stunde

\subsection{de Broglie 3' 10:24}
Folie Abbildung~\ref{abb:debroglie} auflegen.

\paragraph{Doktorarbeit} 1923, Zusammenhang soll auch für Elektronen und andere Teilchen zutreffen.

\paragraph{Nobelpreis} Hypothese bestätigte sich, 1929 Nobelpreis in Physik \glqq{}for his discovery of the wave nature of electrons\grqq{}.

\subsection{Versuchsaufbau 5' 10:29}
\paragraph{Versuchsaufbau} Erklären an der Wandtafel
\paragraph{Erwartung} Punkt auf dem Schirm. Beugung ist nur zu erwarten falls Welle.

\subsection{Versuch durchführen 3' 10:32}
\paragraph{Werte notieren} Durchmesser der Ringe, Spannung,\dots

\subsection{Nobelpreis 1937 2' 10:34}
Folie Abbildung~\ref{abb:nobelpreis1937}
\paragraph{Experiment} Gab für Experiment und Theorie einen Nobelpreis
\paragraph{Anekdote} Sohn bekam Nobelpreis für Elektron als Welle. Vater für die Entdeckung des Teilchen Elektron.

\subsection{Wellenlänge der Materie 5' 10:39}
\paragraph{Energie} Kinetische Energie auf Grund der Masse. Nach Impuls auflösen und Gleichsetzen mit de Broglie Beziehung. Auflösen nach der Wellenlänge
\paragraph{Energie des Elektrons} Berechnet sich aus der Beschleuigungsspannung, einsetzen.

\subsection{Praktische Anwendung 5' 10:44}
\paragraph{Strukturuntersuchungen} Kristallgitterabstände
\paragraph{Elektronenmikroskop} Auflösung hängt von der Wellenänge ab, Wellenlänge ist viel kleiner $\Rightarrow$ bessere Auflösung

\subsection{Aufgaben lösen 10' 10:55}

\begin{figure}
\includegraphics[width=\linewidth]{../bilder/debroglie}
\caption{Prince Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie (*~15. August 1892 in Dieppe, Normandie; †~19. März 1987 in Louveciennes, Département Yvelines). Quelle: \url{http://www.aip.org/history/newsletter/spring2003/photos-larger.htm}}\label{abb:debroglie}
\end{figure}

\begin{figure}
\centering
\subfigure[Clinton Joseph Davisson (*~22.~Oktober 1881 in Bloomington, Illinois; †~1.~Februar 1958 in Charlottesville, Virginia): 
]
{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{../bilder/davisson}}\hfill
\subfigure[George Paget Thomson (*~3.~Mai 1892 in Cambridge; †~10.~September 1975 in Cambridge)]
{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{../bilder/thomson}}
\caption{Nobelpreis 1937: \glqq{}for their experimental discovery of the diffraction of electrons by crystals\grqq{}.\protect\\ Davisson erklärte: \glqq{}In den letzten Jahren haben wir erkannt, dass Elektronen in manchen Situationen sinnvollerweise, ja vielleicht notwendigerweise, als Wellen und nicht als Teilchen betrachtet werden sollten, und Begriffe wie Beugung, Brechung, Reflexion und Dispersion zu ihrer Beschreibung anzuwenden sind.\grqq{}\protect\\ Der Vater von George, Joseph erhielt 1906 den Nobelpreis. In seiner festrede hat er erklärt: \glqq{}Ich möchte hier einige Untersuchungen beschreiben, die zum Schluss führen, dass die Träger der negativen Elektrizität Teilchen sind, die ich Elektronen genannt habe.\grqq{} Quelle: Bilder: \url{http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1937/}, Text: Sexl. Materie in Raum und Zeit. Band 3. Frankfurt am Main, 1980.}\label{abb:nobelpreis1937}
\end{figure}

\end{document}