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\hypersetup
{%
pdftitle = {Dopplereffekt},%
pdfsubject = {Dopplereffekt, Doppler, Experiment},%
pdfauthor = {Thomas Kuster (8. Semester, D-UWIS)},%
pdfkeywords = {Dopplereffekt, Übungslektion, Experiment, Kantonsschule Im Lee Winterthur},%
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}

\setlength{\parindent}{0em}

\date{\today}
\author{Thomas Kuster}

\title{Dopplereffekt}

\begin{document}

\maketitle

\section{Bewegte Quelle}
\subsection{Herleitung der Gleichung}\label{sec:herleitung_bewegte_quelle}
Variablen:
\begin{eqnarray*}
v_Q & : & \textnormal{Geschwindigkeit des Velofahrer (Ethan), wird gesucht}\\
v_B & : & \textnormal{Geschwindigkeit des Beobachters (Kamera steht)}\\
f_Q & : & \textnormal{Frequenz des Senders (Hupe von Ethan)}\\
f_B & : & \textnormal{Frequenz beim Beobachter (Frequenz in der Aufnahme)}\\
\end{eqnarray*}

Bekannt:
\begin{eqnarray}
\lambda & = & \frac{c}{f} \label{eq:lambda}
\end{eqnarray}

Wie lange dauert eine Periode:
\begin{eqnarray}
T & = & \frac{1}{f}\\
T_Q & = & \frac{1}{f_Q}\label{eq:T}
\end{eqnarray}

Welche Strecke wird in dieser Zeit ($T_Q$) zurück gelegt (Quelle bewegt sich gleichmässig):
\begin{eqnarray}
v_Q & = & \frac{s}{\Delta t} = \frac{s}{T_Q}\\
s & = & v_Q T_Q \label{eq:s}
\end{eqnarray}

\paragraph{Quelle nähert sich} Wellenlänge verkürzt sich aus Sicht des Beobachters um die zurückgelegte Strecke ($s$):
\begin{eqnarray}
\lambda_B & = & \lambda_Q - s\\
 & \overset{(\ref{eq:s})}{=} & \lambda_Q - v_Q T_Q \label{eq:lambda_B}
\end{eqnarray}

Gleichung~(\ref{eq:lambda_B}) in Frequenzen ausdrücken (Gleichung~(\ref{eq:lambda}) verwenden):
\begin{eqnarray}
\frac{c}{f_B} & = & \frac{c}{f_Q} - v_Q T_Q\\
 & \overset{(\ref{eq:T})}{=} & \frac{c}{f_Q} - v_Q \frac{1}{f_Q}\\
& = & \frac{c}{f_Q} - \frac{v_Q}{f_Q}\\
& = & \frac{c-v_Q}{f_Q}\label{eq:c_f_B}
\end{eqnarray}

Gleichung (\ref{eq:c_f_B}) nach $f_B$ auflösen:
\begin{eqnarray}
c & = & \frac{c-v_Q}{f_Q} f_B\\
f_B & = & f_Q \frac{c}{c-v_Q}\label{eq:doppler_quelle_kommt}
\end{eqnarray}

\paragraph{Quelle entfernt sich} In diesem Fall vergrössert sich die Wellenlänge aus Sicht des Beobachters. In Gleichung~(\ref{eq:lambda_B}) wird das Minus zu einem Plus. Für das Ergebnis (Gleichung~\ref{eq:doppler_quelle_kommt}) folgt somit:
\begin{eqnarray}
f_B & = & f_Q \frac{c}{c+v_Q}\label{eq:doppler_quelle_geht}
\end{eqnarray}

Sie können sich dies auch Anhand der Abbildung~\ref{abb:bewegte_quelle} und \ref{abb:bewegte_quelle_lambda} überlegen. Die Quelle schwingt mit der Schwingungsdauer $T_Q$. Während der Zeit $T_Q$ bewegt sich die Quelle um eine Strecke $v_QT_Q$ nach rechts und die 3. Wellenfront pflanzt sich um einen Abstand $cT_Q$ fort.
Der Abstand zwischen der 3. Wellenfront (Kreis um Punkt 3 als Mittelpunkt) und der 4. Wellenfront (Punkt 4) ist vor der Quelle $\lambda_v$, nach der Quelle $\lambda_n$. Daraus folgt: $\lambda_n > \lambda > \lambda_v$ mit $\lambda_v=(c-v_Q)T_Q$ und $\lambda_v=(c+v_Q)T_Q$.

\begin{figure}
\input ../bilder/bewegte_quelle.pdf_t
\caption{Bewegte Quelle. Die Nummern der Wellenfronten entsprechen den Positionen der Quelle, wo die Welle ausgestrahlt wurde.}\label{abb:bewegte_quelle}
\end{figure}

\begin{figure}
\centering
\input ../bilder/bewegte_quelle_lambda.pdf_t
\caption{Die Quelle schwingt mit der Schwingungsdauer $T_Q$. Während der Zeit $T_Q$ bewegt sich die Quelle um eine Strecke $v_QT_Q$ nach rechts.}\label{abb:bewegte_quelle_lambda}
\end{figure}

\subsection{Was ist bekannt}
Intervall des Klangs kann mit Hilfe der Tabelle~\ref{tab:intervall_merkhilfen} bestimmt werden (im Beispiel kleine Sekunde). Bei der Annäherung (vorlaufende Welle) würde die Frequenz $f_{B_v}$ vom Beobachter gemessen, beim Entfernen (nachlaufende Welle) die Frequenz $f_{B_n}$. Gemäss Tabelle~\ref{tab:intervall} entspricht dies einem Frequenzverhältnis von:
\begin{eqnarray}
\textnormal{kleine Sekunde} & = & \frac{256}{243} = \frac{f_{B_v}}{f_{B_n}} \label{eq:kleine_sekunde}
\end{eqnarray}

\begin{table}
\caption{Merkhilfen, Intervall. Quelle \url{http://de.wikipedia.org/wiki/Intervall_\%28Musik\%29}}\label{tab:intervall_merkhilfen}
\includegraphics[page=3, viewport=32 131 553 500, clip, width=\linewidth]{../wikipedia/intervall_musik}
\end{table}

\begin{table}
\caption{Intervall. Quelle \url{http://de.wikipedia.org/wiki/Intervall_\%28Musik\%29}}\label{tab:intervall}
\includegraphics[page=2, viewport=57 428 448 800, clip, width=\linewidth]{../wikipedia/intervall_musik}
\end{table}

Falls Sie musisch nicht begabt sind, ist es auch möglich mit einem Audioprogramm das Spektrum des Klangs vor und nach dem passieren der Hupe anzuzeigen und das Verhälnis der Frequenz von zwei gleichen Maxima zu bilden (Abbildung~\ref{abb:spektrum_kommend} und \ref{abb:spektrum_gehend}). Dies ergibt im Beispiel:
\begin{eqnarray}
\frac{2882\,\textnormal{Hz}}{2732\,\textnormal{Hz}} & \approx & \frac{256}{243}
\end{eqnarray}

\begin{figure}
\includegraphics[width=\linewidth]{../bilder/hupe_kommend}
\caption{Hupe bewegt sich in Richtung Beobachter: Frequenz der 5. Spitz: 2882\,Hz. Erstellt mit Audacity (\url{http://audacity.sourceforge.net/})}\label{abb:spektrum_kommend}
\end{figure}

\begin{figure}
\includegraphics[width=\linewidth]{../bilder/hupe_gehend}
\caption{Hupe bewegt sich vom Beobachter weg: Frequenz der 5. Spitz: 2732\,Hz. Erstellt mit Audacity (\url{http://audacity.sourceforge.net/})}\label{abb:spektrum_gehend}
\end{figure}

\subsection{Geschwindigkeit berechnen}
Gleichung aufstellen für das Frequenzverhältnis (Gleichung~\ref{eq:kleine_sekunde}) und lösen nach $v_Q$:
\begin{eqnarray}
\frac{f_{B_v}}{f_{B_n}} & = & \frac{\overbrace{\frac{c f_Q}{c-v_Q}}^{\textnormal{Gleichung (\ref{eq:doppler_quelle_kommt})}}}{\underbrace{\frac{c f_Q}{c+v_Q}}_{\textnormal{Gleichung (\ref{eq:doppler_quelle_geht})}}} = \frac{c f_Q (c+v_Q)}{c f_Q (c-v_Q)} = \frac{c+v_Q}{c-v_Q}\label{eq:beispiel}
\end{eqnarray}

Die Gleichung~(\ref{eq:beispiel}) nach $v_Q$ lösen (mit $p=\frac{f_{B_v}}{f_{B_n}}$):
\begin{eqnarray}
\frac{f_{B_v}}{f_{B_n}} = p & = & \frac{c+v_Q}{c-v_Q}\\
p (c-v_Q) & = & c+v_Q\\
p c-p v_Q & = & c+v_Q\\
p c-c & = & v_Q+p v_Q\\
c(p-1) & = & v_Q(1+p)\\
\frac{c(p-1)}{1+p} & = & v_Q\label{eq:beispiel_v_Q}
\end{eqnarray}

Einsetzen der Werte ergibt:
\begin{eqnarray}
\frac{c(p-1)}{1+p} = \frac{344\,\textnormal{m/s}\cdot(\frac{256}{243}-1)}{1+\frac{256}{243}} = 9.0\,\textnormal{m/s} = 32\,\textnormal{km/h}
\end{eqnarray}

\subsection{Feuerwehr}
Die Frequenzänderung ist eine grosse Sekunde ($p=\frac{10}{9}$), Maxima im Spektrum z.\,B. $p=\frac{1355}{1218}$
\begin{eqnarray}
p = \frac{344\,\textnormal{m/s}\cdot(\frac{10}{9}-1)}{1+\frac{10}{9}} = 18.3\,\textnormal{m/s} = 66\,\textnormal{km/h}
\end{eqnarray}

\subsection{Videoquellen}
\begin{description}
\item[Feuerwehr] Ein Fahrzeug der Feuerwehr fährt mit eingeschaltetem Martinshorn\footnote{Umgangssprachlicher Begriff für das Folgetonhorn. Markenrechtlich geschützer Name der Deutschen Signal-Instrumenten-Fabrik Max B. Martin} am Beobachter vorbei. Originaltitel: Fire Engine siren demonstrates the Doppler Effect

\url{http://www.youtube.com/watch?v=imoxDcn2Sgo}
\item[Ethan] Velofahrer fährt mit einem Gashorn am Beobachter vorbei. Originaltitel: doppler effect experiment

\url{http://www.youtube.com/watch?v=9jVIP_a-RM8}
\end{description}

\newpage
\section{Ruhende Quelle}
\subsection{Herleitung}
\paragraph{Idee} Das nächste Maximum (ausgezogene Kreise) bewegt sich mit $c$ auf den Beobachter zu, welcher sich mit $v_B$ auf diesen zubewegt (Abbildung~\ref{abb:bewegter_beobachter}).

\begin{figure}
\input ../bilder/bewegter_beobachter.pdf_t
\caption{Beobachter bewegt sich mit der Geschwindigkeit $v_B$ auf die Quelle zu, Quelle ruht und sendet ein Signal mit der Wellenlänge $\lambda_Q$ (Frequenz $f_Q$) aus.}\label{abb:bewegter_beobachter}
\end{figure}

\paragraph{Welche Zeit wird benötigt bis sie sich treffen?}

Die benötigte Zeit bis sie sich treffen, entspricht der Periodendauer ($T_B$) der Welle aus der Sicht des Beobachters.
\begin{eqnarray}
v & = & \frac{s}{\Delta t}\\
\underbrace{s_{1,2}}_{\lambda_Q} & = & v \underbrace{t}_{T_B} \label{eq:s_2}
\end{eqnarray}
Die Strecke setzt sich aus 2 Strecken zusammen, diejenige welche das Wellenmaximum und die welche vom Beobachter zurücklegt wird.
\begin{eqnarray}
\lambda_Q & = & c T_B + v_B T_B\\
 & = & T_B (c+v_B)\\
 & = & \frac{1}{f_B}(c+v_B)\label{eq:lambda_Q}
\end{eqnarray}

Gleichung~(\ref{eq:lambda_Q}) nach $f_B$ auflösen und $\lambda_Q$ durch $f_Q$ ausdrücken (Gleichung~(\ref{eq:lambda}) verwenden):
\begin{eqnarray}
\frac{c}{f_Q} & = & \frac{1}{f_B}(c+v_B)\\
f_B \frac{c}{f_Q} & = & c+v_B\\
f_B & = & f_Q\frac{c+v_B}{c}\label{eq:doppler_beobachter_kommt}
\end{eqnarray}

\paragraph{Beobachter bewegt sich von der Quelle weg} Es ändert sich wiederum das Vorzeichen:
\begin{eqnarray}
f_B & = & f_Q\frac{c-v_B}{c}\label{eq:doppler_beobachter_geht}
\end{eqnarray}

\subsection{Übersicht}
Die Gleichungen~(\ref{eq:doppler_beobachter_kommt}) und (\ref{eq:doppler_beobachter_geht}) lassen sich wie folgt zu einer zusammenfassen (oberes Vorzeichen für Annäherung):
\begin{eqnarray}
f_B & = & f_Q\frac{c \pm v_B}{c}\label{eq:doppler_beobachter}
\end{eqnarray}

Das selbe ist mit den Gleichungen~(\ref{eq:doppler_quelle_kommt}) und (\ref{eq:doppler_quelle_geht}) für den ruhenden Beobachter möglich (oberes Vorzeichen für Annäherung):
\begin{eqnarray}
f_B & = & f_Q \frac{c}{c \mp v_Q}\label{eq:doppler_quelle}
\end{eqnarray}

\subsubsection{Kombination}
Die Gleichungen~(\ref{eq:doppler_beobachter}) und (\ref{eq:doppler_quelle}) können zu einer kombiniert werden (oberes Vorzeichen für Annäherung):
\begin{eqnarray}
f_B & = & f_Q\frac{c \pm v_B}{c \mp v_Q}\label{eq:doppler}
\end{eqnarray}
Überprüfung leicht möglich durch setzen von $v_B=0$ bzw. $v_Q=0$.

\section{Aufgaben}
\subsection{Signalhorn}
Die Frequenz einer Autohupe beträgt 400\,Hz. Ein Hupsignal ertönt, wenn das Auto mit einer Geschwindigkeit von $v_Q=34$\,m/s (ca. 122\,km/h) durch die ruhende Luft hin zu einem ruhenden Empfänger fährt. Finden Sie:
\begin{enumerate}
\item Die Wellenlänge des Schalls, die den Empfänger erreicht.
\item Die Empfangene Frequenz
\item Finden Sie die Wellenlänge des Schalls, die den Empfänger erreicht und die empfangene Frequenz, wenn das Auto steht und hupt, der Empfänger sich aber mit einer Geschwindigkeit von $v_B=34$\,m/s zum Auto hinbewegt.
\end{enumerate}

\subsection{Astronomie}\label{sec:rotverschiebung}
Das Licht weit entfernter Galaxien ist zum Roten verschoben. Was folgern Sie daraus? Sehen Sie sich dazu auch Abbildung~\ref{abb:spektrumlicht} an.

\begin{figure}
\includegraphics[width=\linewidth]{../bilder/spektrum_licht}
\caption{Der sichtbare Bereich der elektromagnetischen Strahlung. Quelle: \url{http://de.wikipedia.org/wiki/Licht}}\label{abb:spektrumlicht}
\end{figure}

\subsection{Startender Airbus A380}
Ein Airbus A380 startet, Sie stehen in der Verlängerung der Startpiste und der Airbus fliegt direkt über Sie. Sie wissen, dass die Startgeschwindigkeit des A380 260\,km/h ist. Welches Intervall (Frequenz Verhältnis) hören Sie?

Die Frequenzverhältnisse (Proportionen) können Sie z.\,B. bei \hyperref{http://de.wikipedia.org/wiki/Intervall_(Musik)}{}{}{Wikipedia} nachsehen oder in der Tabelle~\ref{tab:intervall}.

\subsection{Radar der Polizei}
Das Radargerät sendet elektromagnetische Wellen aus, die sich mit Lichtgeschwindigkeit ($c=3\cdot10^8$\,m/s) ausbreiten. Der elektrische Strom in der Antenne der Radareinheit schwingt mit der Frequenz $f_{Q_\textnormal{Polizei}}=1.5\cdot10^9$\,Hz. Die Wellen werden an einem fahrenden Auto reflektiert, welches sich von dem Polizeiauto mit einer Geschwindigkeit von $v=50$\,m/s wegbewegt. Berechnen Sie den Frequenzunterschied $\Delta f$ zwischen der ausgesendeten Frequenz $f_Q$ und der empfangenen Frequenz $f_{B_\textnormal{Polizei}}$. Gehen Sie wie folgt vor:
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie die Frequenz ($f_{B_\textnormal{Auto}}$) die beim Auto empfangen wird.
\item Das Auto reflektiert die soeben berechnete Frequenz wieder ($f_{Q_\textnormal{Auto}}=f_{B_\textnormal{Auto}}$). Welche Frequenz ($f_{B_\textnormal{Polizei}}$) misst nun die Polizei?
\item Spielt es eine Rolle ob Sie das Polizeiauto oder das andere Auto als ruhend annehmen? Wenn nicht, wieso?
\item Der Unterschied der Frequenz ist sehr gering. Weshalb kann der Unterschied trotzdem sehr genau gemessen werden?
\end{enumerate}

\subsection{Verkehrssünder}
Auch Lichtwellen können den Dopplereffekt zeigen (siehe Aufgabe~\ref{sec:rotverschiebung}). Wenn die Geschwindigkeit des Beobachters im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit klein ist, gelten näherungsweise dieselben Gleichungen wie beim akustischen Dopplereffekt.

Verwenden Sie für die Wellenlänge des roten Lichts 620\,nm, für die des gelben Lichts 600\,nm.
\begin{enumerate}
\item Wie schnell müssten Sie mit Ihrem neuen Ferrari auf ein rotes Lichtsignal zufahren, damit es Ihnen gelb erscheint?
\item Ist diese Geschwindigkeit im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit wirklich noch klein?
\end{enumerate}

\subsection{Grenzen des Dopplereffekt}
Bis zu welcher Geschwindigkeit können Sie eine Frequenzverschiebung berechnen? Wieso ist dies so? Versuchen Sie die Wellenausbreitung in einem nicht mehr berechenbaren Fall aufzuzeichnen.

\section{Lösungen}
\subsection{Signalhorn}
\paragraph{1. und 2.}
\paragraph{Überlegungen, Abschätzung} Die Quelle (Auto) kommt auf den Emp\-fän\-ger zu $\Rightarrow$ Die Hupe ertönt höher $\Rightarrow$ Frequenz ist höher $\Rightarrow$ Wellenlänge ist kleiner.

\paragraph{Gegeben}
\begin{eqnarray*}
f_Q & = & 400\,\textnormal{Hz Frequenz der Hupe}\\
v_Q & = & 34\,\textnormal{m/s Geschwindigkeit des Autos (Hupe)}\\
c & = & 344\,\textnormal{m/s Schallgeschwindigkeit}\\
v_B & = & 0\,\textnormal{m/s Geschwindigkeit des Empfängers}
\end{eqnarray*}

\paragraph{Gesucht}
\begin{eqnarray*}
\lambda_B &: & \textnormal{Wellenlänge aus Sicht des Empfängers}
\end{eqnarray*}

Mit der Gleichung~(\ref{eq:doppler}) kann die Frequenz beim Empfänger ($f_B$) berechnet werden. Aus dem Zusammenhang $\lambda_B f_B = c$ folgt:
\begin{eqnarray}
\lambda_B & = & \frac{c}{f_B}\label{eq:l=c/f}
\end{eqnarray}
Für die nächste Aufgabe muss $f_B$ berechnet werden, daher wird dieser Wert berechnet anstelle nur die Gleichung (\ref{eq:l=c/f}) in die Gleichung~(\ref{eq:doppler}) einzusetzen:
\begin{eqnarray*}
f_B & = & f_Q\frac{c \pm v_B}{c \mp v_Q} \overset{v_B=0}{=} f_Q\frac{c}{c \mp v_Q}
\end{eqnarray*}
Auf Grund der Abschätzung ist bekannt, dass die Hupe höher ertönen muss, d.\,h. $f_B>f_Q$ dies ist der Fall falls $\frac{c}{c \mp v_Q} > 1$ ist, daraus folgt $c < c \mp v_Q$ sein (Nenner muss kleiner als Zähler sein). Das obere Vorzeichen muss gewählt werden:
\begin{eqnarray*}
f_B & = & f_Q\frac{c}{c - v_Q} = 400\,\textnormal{Hz}\frac{344\,\textnormal{m/s}}{344\,\textnormal{m/s}-34\,\textnormal{m/s}} = 443.871\,\textnormal{Hz} \approx 444\,\textnormal{Hz}
\end{eqnarray*}
die Lösung der 2. Aufgabe. Für die 1. Aufgabe folgt mit der Gleichung~(\ref{eq:l=c/f}):
\begin{eqnarray}
\lambda_B & = & \frac{c}{f_B} = \frac{344\,\textnormal{m/s}}{443.871\,\textnormal{Hz}} = 0.775 \frac{\textnormal{m}}{\textnormal{s\,Hz}} = 0.775 \frac{\textnormal{m}}{\textnormal{s}\frac{1}{\textnormal{s}}} = 0.775\,\textnormal{m}
\end{eqnarray}
Zum Vergleich, die Wellenlänge der Hupe beträgt:
\begin{eqnarray}
\lambda_B & = & \frac{344\,\textnormal{m/s}}{400\,\textnormal{Hz}} = 0.86\,\textnormal{m}
\end{eqnarray}

\paragraph{3.}
\paragraph{Überlegungen, Abschätzung} Der Empfänger nähert sich der Quelle. Die Hupe ertönt ebenfalls höher $\Rightarrow$ Frequenz ist höher $\Rightarrow$ Wellenlänge ist kleiner.
\paragraph{Gegeben}
\begin{eqnarray*}
f_Q & = & 400\,\textnormal{Hz Frequenz der Hupe}\\
v_Q & = & 0\,\textnormal{m/s Geschwindigkeit des Autos (Hupe)}\\
c & = & 344\,\textnormal{m/s Schallgeschwindigkeit}\\
v_B & = & 34\,\textnormal{m/s Geschwindigkeit des Empfängers}
\end{eqnarray*}

\paragraph{Gesucht}
\begin{eqnarray*}
\lambda_B &: & \textnormal{Wellenlänge aus Sicht des Empfängers}\\
f_B &: & \textnormal{Frequenz aus Sicht des Empfängers}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
f_B & = & f_Q\frac{c \pm v_B}{c \mp v_Q} \overset{v_Q=0}{=} f_Q\frac{c \pm v_B}{c}
\end{eqnarray*}
Die Hupe muss höher ertönen, das obere Vorzeichen muss gewählt werden:
\begin{eqnarray*}
f_B & = & f_Q\frac{c + v_B}{c} = 400\,\textnormal{Hz} \frac{344\,\textnormal{m/s} + 34\,\textnormal{m/s}}{344\,\textnormal{m/s}} = 439.535\,\textnormal{Hz} \approx 440\,\textnormal{Hz}
\end{eqnarray*}
Die Wellenlänge des Schalls, die den den Empfänger erreicht ist die selbe die die Quelle aussendet, da sich die Wellen der ruhenden Quelle in der ebenfalls ruhenden Luft ausbreiten. Die Wellenlänge ändert sich bei einer ruhenden Quelle nicht (vergleiche Abbildung~\ref{abb:bewegter_beobachter}) und beträgt somit:
\begin{eqnarray}
\lambda_B & = & \frac{344\,\textnormal{m/s}}{400\,\textnormal{Hz}} = 0.86\,\textnormal{m}
\end{eqnarray}
allerding erscheint sie dem bewegtem Empfänger kürzer:
\begin{eqnarray}
\lambda_B & = & \frac{344\,\textnormal{m/s}}{440\,\textnormal{Hz}} = 0.783\,\textnormal{m}
\end{eqnarray}

\subsection{Astronomie}\label{sec:rotverschiebung}
Nach der Abbildung~\ref{abb:spektrumlicht} ist Rot die Farbe mit der längsten Wellenlänge. Leuchtet ein Stern z.\,B. Grün und er erscheint uns aber Gelb, also in Richtung Rot verschoben, wurde die Wellenlänge seines ausgestrahlten Lichts grösser. Die Wellenlänge erscheint dem Beobachter grösser wenn sich die Quelle (Stern) vom Beobachter wegbewegt.

Da das Licht weit entfernter Galaxien zum Roten verschoben ist müssen sich diese alle von der Erde entfernen, d.\,h. das Universum dehnt sich aus.

\paragraph{Messung} Sterne senden nicht eine Farbe aus sondern ein ganzes Spektrum. Die Sonne, welche auch ein Stern ist, sendet alle Farben aus und erscheint daher Weiss. Auf Grund der Art und Weise wie das Licht in der Sonne entsteht fehlen einige schmale Bereiche im Spektrum (Spektrallinien). Bei den anderen Sternen fehlen diese ebenfalls, können die Linien einander zugeordnet werden, wird die Rotverschiebung ersichtlich (Abbildung~\ref{abb:rotverschiebung}).

\begin{figure}
\includegraphics[angle=270, width=\linewidth]{../bilder/redshift}
\caption{Supergalaxienhaufen (BAS11) unten im Vergleich zur Sonne oben. Quelle: \url{http://de.wikipedia.org/wiki/Rotverschiebung}}\label{abb:rotverschiebung}
\end{figure}

\subsection{Startender Airbus A380}
\paragraph{Abschätzung}
Das Intervall muss sicher grösser sein als eine kleine Sekunde (Beispiel in der Stunde: Intervall der Gashupe des Velofahrers).

\paragraph{Gegeben}
\begin{eqnarray*}
v_Q & = & 260\,\textnormal{km/h Geschwindigkeit der Quelle (Airbus)}\\
v_B & = & 0\,\textnormal{m/s Geschwindigkeit des Empfänger}\\
c & = & 344\,\textnormal{m/s Schallgeschwindigkeit}
\end{eqnarray*}
\paragraph{Gesucht} Intervall ($p$), d.\,h. das Frequenzverhältnis zwischen der Frequenz beim auf Sie zu fliegen ($F_{Q_v}$) und beim von Ihnen weg fliegen ($f_{Q_n}$).
\begin{eqnarray}
p & = & \frac{F_{Q_v}}{f_{Q_n}}\label{eq:airbus_p}
\end{eqnarray}

Die Frequenz beim auf Sie zufliegen beträgt:
\begin{eqnarray}
f_{B_v} & = & f_Q\frac{c}{c - v_Q}\label{eq:airbus_fBv}
\end{eqnarray}
und beim wegfliegen:
\begin{eqnarray}
f_{B_n} & = & f_Q\frac{c}{c + v_Q}\label{eq:airbus_fBn}
\end{eqnarray}
Einsetzen von Gleichung~(\ref{eq:airbus_fBv}) und (\ref{eq:airbus_fBn}) in (\ref{eq:airbus_p}) ergibt:
\begin{eqnarray}
p & = & \frac{F_{Q_v}}{f_{Q_n}} = \frac{f_Q\frac{c}{c - v_Q}}{f_Q\frac{c}{c + v_Q}}\\
 & = & \frac{\frac{c}{c - v_Q}}{\frac{c}{c + v_Q}} = \frac{c + v_Q}{c - v_Q}\label{eq:airbus_intervall}
\end{eqnarray}
Die Geschwindigkeiten müssen in der Gleichen Einheit vorliegen, die des Airbus in m/s beträgt:
\begin{eqnarray*}
v_Q & = & 260\,\textnormal{km/h} \cdot \frac{1000\,\textnormal{m}}{\textnormal{km}} \cdot \frac{\,\textnormal{h}}{3600\,\textnormal{s}} = 72.2\,\textnormal{m/s}\label{eq:airbus_v}
\end{eqnarray*}
Einsetzen der Werte ergibt:
\begin{eqnarray}
p & = & \frac{c + v_Q}{c - v_Q} = \frac{344\,\textnormal{m/s} + 72.2\,\textnormal{m/s}}{344\,\textnormal{m/s} - 72.2\,\textnormal{m/s}} = 1.53
\end{eqnarray}
Das Intervall liegt zwischen einer Quinte ($\frac{3}{2}$) und einer kleine Sexte ($\frac{8}{5}$).

\subsection{Radar der Polizei}
\paragraph{1.}
\paragraph{Gegeben}
\begin{eqnarray*}
v_B & = & v_{\textnormal{Auto}} = 50\,\textnormal{m/s Geschwindigkeit des Empfänger (Auto)}\\
v_Q & = & 0\,\textnormal{m/s Geschwindigkeit der Quelle (stehendes Polizeiauto)}\\
f_{Q_\textnormal{Polizei}} & = & 1.5\cdot10^9\,\textnormal{Hz Frequenz des ausgesendeten Radarsignals}\\
c & = & 3\cdot10^{8}\,\textnormal{m/s Lichtgeschwindigkeit}
\end{eqnarray*}
\paragraph{Gesucht}
\begin{eqnarray*}
f_{B_\textnormal{Auto}} & : & \textnormal{Empfangene Frequenz beim Auto}
\end{eqnarray*}
Diese ist gegeben durch:
\begin{eqnarray}
f_{B_\textnormal{Auto}} & = & f_{Q_\textnormal{Polizei}}\frac{c \pm v_B}{c \mp v_Q} = f_{Q_\textnormal{Polizei}}\frac{c - v_{\textnormal{Auto}}}{c}\label{eq:radar:f_auto}
\end{eqnarray}

\paragraph{2.}
\paragraph{Gegeben}
\begin{eqnarray*}
v_Q & = & v_{\textnormal{Auto}} = 50\,\textnormal{m/s Geschwindigkeit der Quelle (fahrendes Auto)}\\
v_B & = & 0\,\textnormal{m/s Geschwindigkeit des Empfänger (stehendes Polizeiauto)}\\
f_{Q_\textnormal{Auto}} & = & f_{B_\textnormal{Auto}}\,\textnormal{Frequenz des reflektierten Radarsignals (Gleichung~(\ref{eq:radar:f_auto}}))\\
c & = & 3\cdot10^{8}\,\textnormal{m/s Lichtgeschwindigkeit}
\end{eqnarray*}
\paragraph{Gesucht}
\begin{eqnarray*}
f_{B_\textnormal{Polizei}} & : & \textnormal{Empfangene Frequenz beim Polizeiauto}
\end{eqnarray*}
Diese ist gegeben durch:
\begin{eqnarray}
f_{B_\textnormal{Polizei}} & = & f_{Q_\textnormal{Auto}}\frac{c \pm v_B}{c \mp v_Q} = f_{Q_\textnormal{Auto}}\frac{c}{c + v_{\textnormal{Auto}}}\\
 & \overset{(\ref{eq:radar:f_auto})}{=} & f_{Q_\textnormal{Polizei}}\frac{c - v_{\textnormal{Auto}}}{c}\,\cdot\,\frac{c}{c + v_{\textnormal{Auto}}}\\
& = & f_{Q_\textnormal{Polizei}}\frac{c - v_{\textnormal{Auto}}}{c + v_{\textnormal{Auto}}}\label{eq:radar:f_b_polizei}
\end{eqnarray}
\paragraph{Lösung der Aufgabe}
\paragraph{Gesucht}
\begin{eqnarray*}
\Delta f & = & f_{Q_\textnormal{Polizei}} - f_{B_\textnormal{Polizei}} 
\end{eqnarray*}
Mit Gleichung~(\ref{eq:radar:f_b_polizei}) folgt:
\begin{eqnarray}
\Delta f & = & f_{Q_\textnormal{Polizei}} - f_{Q_\textnormal{Polizei}}\frac{c - v_{\textnormal{Auto}}}{c + v_{\textnormal{Auto}}} = f_{Q_\textnormal{Polizei}}\left(1-\frac{c - v_{\textnormal{Auto}}}{c + v_{\textnormal{Auto}}}\right)\\
 & = & 1.5\cdot10^9\,\textnormal{Hz}\left(1-\frac{3\cdot10^{8}\,\textnormal{m/s} - 50\,\textnormal{m/s}}{3\cdot10^{8}\,\textnormal{m/s} + 50\,\textnormal{m/s}}\right)\\
 & = & 500\,\textnormal{Hz}
\end{eqnarray}

\paragraph{3.} Nein, durchrechnen ergibt genau die gleiche Gleichung. In der Gleichung für den Dopplereffekt~(\ref{eq:doppler}) wird ein Faktor berechnet, welcher mit der Senderfrequenz multipliziert wird. Bei einer erneuten Anwendung der Gleichung kommt ein weiterer Faktor dazu. Bei einer Multiplikation spielt es keine Rolle mit welchem Faktor zuerst multipliziert wird.

\paragraph{4.} Die empfangene Frequenz kann mit der gesendeten überlagert werden. Die Wellen interferieren und erzeugen eine Welle, deren Amplitude mit der Frequenz $\Delta f$ schwingt, die man als Schwebungsfrequenz bezeichnet.

\subsection{Verkehrssünder}
\paragraph{Gegeben}
\begin{eqnarray*}
v_Q & = & 0\,\textnormal{m/s Geschwindigkeit des Lichsignals}\\
\lambda_Q & = & 620\,\textnormal{nm Wellenlänge des ausgesendeten roten Lichts}\\
\lambda_B & = & 600\,\textnormal{nm Wellenlänge des empfangenen gelben Licht}\\
c & = & 3\cdot10^{8}\,\textnormal{m/s Lichtgeschwindigkeit}
\end{eqnarray*}
\paragraph{Gesucht}
\begin{eqnarray*}
v_B & : & \textnormal{Geschwindigkeit Ihres Ferrari}
\end{eqnarray*}
Gleichung~(\ref{eq:doppler}) nach $v_B$ auflösen:
\begin{eqnarray*}
f_B & = & f_Q\frac{c \pm v_B}{c \mp v_Q} = f_Q\frac{c + v_B}{c}\\
\frac{f_B c}{f_Q} & = & c + v_B\\
v_B & = & \frac{f_B c}{f_Q} - c = c\left(\frac{f_B}{f_Q}-1\right)\\
 & \overset{(\textnormal{mit }f=\frac{c}{\lambda})}{=} & c\left(\frac{\frac{c}{\lambda_B}}{\frac{c}{\lambda_Q}}-1\right) = c\left(\frac{\lambda_Q}{\lambda_B}-1\right)\\
 & = & 3\cdot10^{8}\,\textnormal{m/s}\underbrace{\left(\frac{620\,\textnormal{nm}}{600\,\textnormal{nm}}-1\right)}_{=0.0333} = 10^7\,\textnormal{m/s}
\end{eqnarray*}
$10^7$\,m/s $\ll$ $3\cdot10^8$\,m/s bzw. der Ausdruck in den Klammern (0.0333) gibt direkt den Anteil an der Lichtgeschwindigkeit an, dieser ist viel keiner als 1.

\subsection{Grenzen des Dopplereffekt}
Bis zur Wellenausbreitungsgeschwingikeit $c$ ist eine Frequenzänderung bestimmbar. Sie können sich dies wie folgt überlegen:
\begin{description}
\item[Ruhender Beobachter] Die Quelle nähert sich mit einer Geschwindigkeit welche höher ist als die Schallgeschwindigkeit. Die Quelle kann keine Schallwellen mehr nach vorne in Richtung des Beobachters aussenden, da sich diese Schallwellen dann schneller als die Schallgeschwindigkeit $c$ ausbreiten müssten. Der Beobachter hört die sich nähernde Quelle gar nicht und kann somit auch keine Frequenz der Quelle bestimmen.
\item[Ruhende Quelle] Der Beobachter entfernt sich mit einer Geschwindigkeit welche höher ist als die Schallgeschwindigkeit. Der Beobachter kann die Quelle ebenfalls gar nicht hören.
\item[Mathematisch] Einsetzen einer Geschwindigkeit die höher ist als $c$ in die Gleichung~(\ref{eq:doppler}), ergibt eine negative Frequenz. Eine negative Frequenz ist physikalisch unmöglich.
\end{description}
Die Schallwellen breiten sich bei einer Geschwindigkeit der Quelle die grösser als $c$ ist wie in Abbildung~\ref{abb:machkegel} dargestellt aus.
\begin{figure}
\centering
\input ../bilder/machkegel.pdf_t
\caption{Eine Schallquelle bewegt sich mit einer Geschwindigkeit $v_Q$, die grösser ist als die Wellengeschwindigkeit $c$. Die Einhüllende der Wellenfronten bildet einen Kegel mit der Quelle in der Spitze.}\label{abb:machkegel}
\end{figure}

\cleardoublepage
\appendix
\section{Unterrichtsablauf}

\subsection{1. Stunde (bewegte Quelle)}
\paragraph{Beginn} 07:45
\paragraph{Ende} 08:25
\paragraph{Ziele}
\begin{itemize}
 \item Frequenz- bzw. Wellenlängeänderung bei einer bewegter Quelle
 \begin{itemize}
  \item Qualitativ
  \item Quantitativ
  \item Formel verstehen (wird hergeleitet)
 \end{itemize}
\end{itemize}

\subsubsection{Einstieg 0.5' 07:45}
\paragraph{Um was geht es heute?} Dopplereffekt, dies wissen die Schüler bereits.

\subsubsection{Folie: Christian Doppler 1' 07:46}
Biographie liegt auf, kann in der Pause genommen werden.

Abbildung~\ref{abb:stamp_christian_doppler}: Christian Andreas Doppler (* 29. November 1803 in Salzburg; † 17. März 1853 in Venedig), österreichischer Mathematiker und Physiker.

\subsubsection{Fragen 2' 07:47}
\paragraph{Was stellt Ihr euch unter dem Dopplereffekt vor?} Vorbeifahrender Krankenwagen, Rennauto; Geschwindigkeitsmessung mit RADAR.

Auf Wandtafel notieren

\subsubsection{Film Feuerwehr 1' 07:49}
\paragraph{Was wurde gehört} Beobachtung: Klang der Sirene ist höher wenn sie auf den Beobachter zu kommt, als wenn sie sich entfernt.

Auf Wandtafel notieren.

\paragraph{1. Experimentelle Überprüfung} 1845 mit Musiker auf offenen Eisenbahnwagen und Musiker neben den Schienen. Eisenbahn war damals das schnellste was es gab.

\subsubsection{Wasserwanne 5' 07:50}
\paragraph{Vorführen} Bewegte Quelle vorführen.

\paragraph{Wieso ist das so?}
Abbildung~\ref{abb:bewegte_quelle} bis \ref{abb:bewegte_quelle_lambda} auflegen.

\subsubsection{Video Ethan 0.5' 07:55}
\paragraph{Motivation} Ziel Geschwindigkeit von Ethan berechnen.
\paragraph{Geschwindigkeit schätzen} Werte auf Tafel notieren.

\subsubsection{Herleitungen der Gleichung 10' 07:56}
Gemäss Abschnitt~\ref{sec:herleitung_bewegte_quelle} an der Wandtafel

\subsubsection{Was ist bekannt? 5' 08:06}
Intervall, was erhalten Sie?

Tabellen~\ref{tab:intervall} auflegen.

Evtl. Ausschnitt abspielen.

\subsubsection{Geschwindigkeit berechnen 5' 08:11}
Frequenzverhältnis bilden und nach $v_Q$ auflösen.

\subsubsection{Intervall bei der Feuerwehr bestimmen 2' 08:16}
Vorspielen des Film.

Vorspielen des Ausschnitt.

\subsubsection{Aufgaben lösen 08:18}
Restliche Zeit

\newpage
\subsection{2. Stunde (ruhende Quelle)}
\paragraph{Beginn} 08:35
\paragraph{Ende} 09:15
\paragraph{Ziele}
\begin{itemize}
 \item Frequenz- bzw. Wellenlängeänderung bei einer ruhender Quelle
 \begin{itemize}
 \item Qualitativ
 \item Verstehen des Unterschieds: ruhende Quelle $\Leftrightarrow$ ruhender Empfänger/Beobachter
 \item Quantitativ
 \end{itemize}
 \item Beide Fälle zu einer allgemein Formel zusammenführen.
\end{itemize}

\subsubsection{Unterschied? 2' 8:35}
\paragraph{Wie sieht es Qualitativ aus? Was hören Sie?}
Keine Änderung

\paragraph{Gibt es überhaupt eine Änderung? Worin besteht sie?} 
Die Schallenwellen breiten sich in der Luft aus. Die Luft bewegt sich nun gegenüber dem Beobachter. Die Wellenlänge ist immer die selbe (Abstand vom Maximum zum Maximum der Welle).

\subsubsection{Wasserwellen zeigen 0.5' 08:37}
\paragraph{Was sehen Sie, fällt Ihnen auf?} Abbildung~\ref{abb:bewegter_beobachter} auflegen.

\subsubsection{Herleitung 5'}
Abbildung~\ref{abb:bewegter_beobachter} auflegen.

\subsubsection{Zusammenfassen mit $\pm$ 2' 08:38}
Für ruhende und bewegte Quelle.

\subsubsection{Kombination 2' 08:40}
\paragraph{Überprüfen erklären.} Jeweils $v_Q$ oder $v_B = 0$ setzen

\paragraph{Welche Vorzeichen wann?} Überlegen ob $f_B$ grösser oder kleiner wird.

\subsubsection{Aufgaben lösen 08:42}

\begin{figure}
\includegraphics[width=\linewidth]{../bilder/stamp_doppler}
\caption{Briefmarke: Christian  Doppler (1803-1853), Österreich, 1992. Quelle: \url{http://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/gif/stamps/stamp_doppler.jpg}}\label{abb:stamp_christian_doppler}
\end{figure}

\begin{figure}
\includegraphics[width=\linewidth]{../bilder/doppler}
\caption{Christian  Doppler (1803-1853). Quelle: \url{http://www.physics.ubc.ca/~outreach/phys420/p420_03/marissa/Doppler.jpg}}\label{abb:christian_doppler}
\end{figure}
\end{document}