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pdftitle = {Pilot Ballon},%
pdfsubject = {Pilot Ballon, Pilot Balloon, Physic Lab, Umweltnaturwissenschaften 8. Semester, Master},%
pdfauthor = {Thomas Kuster und André Welti (8. Semester, D-UWIS)},%
pdfkeywords = {Pilot Ballon, Pilot Balloon, Physic Lab, Umweltnaturwissenschaften 8. Semester, Master, Atmosphäre und Klima},%
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}

\date{\today}
\author{Thomas Kuster, André Welti}

\title{Pilotballon}

\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents

\section{Einführung}
Ein Pilotballon ist ein kleiner, frei fliegender Ballon, dessen Abdrift durch Peilung gemessen wird. So lassen sich bei bekannter Steiggeschwindigkeit die Richtung und Geschwindigkeit des Höhenwindes berechnen.

\section{Theorie}
\subsection{Vertikalgeschwindigkeit}
Die Kraft welche auf Grund des Strömungswiderstand auf den Ballon wirkt ist:
\begin{eqnarray}
F_D & = & \frac{\varrho v^2 A D_C}{2} \label{gl:FD}
\end{eqnarray}
mit:
\begin{eqnarray*}
F_D & : & \textnormal{Widerstandskraft [N]}\\
\varrho & : & \textnormal{Dichte der Luft [kg\,m$^{-3}$]}\\
v & : & \textnormal{Geschwindigkeit [m\,s$^{-1}$]}\\
A & : & \textnormal{Querschnittsfläche [m$^2$]}\\
D_C = 0.25 & : & \textnormal{Strömungswiderstandskoeffizient []}
\end{eqnarray*}
Ebenso wirkt eine Auftriebskraft von:
\begin{eqnarray}
F_B & = & V \varrho g \label{gl:FB}
\end{eqnarray}
mit:
\begin{eqnarray*}
F_B & : & \textnormal{Auftriebskraft [N]}\\
V & : & \textnormal{Ballonvolumen [m$^{3}$]}\\
\varrho & : & \textnormal{Dichte der Luft [kg\,m$^{-3}$]}\\
g & : & \textnormal{Erdbeschleunigung [m\,s$^{-2}$]}
\end{eqnarray*}
und eine Gewichtskraft:
\begin{eqnarray}
F_G & = & m_B g \label{gl:FG}
\end{eqnarray}
mit:
\begin{eqnarray*}
F_G & : & \textnormal{Gewichtskraft [N]}\\
m_B & : & \textnormal{Masse Ballon, inkl. Band und Verschluss [kg]}\\
g & : & \textnormal{Erdbeschleunigung [m\,s$^{-2}$]}
\end{eqnarray*}
Gleichsetzen aller angreifenden Kräfte ergibt:
\begin{eqnarray}
F_G  + F_D & = & F_B\\
m_B g + \frac{1}{2} \varrho v^2 A D_C & = & V \varrho g\\
m_B g + \frac{1}{2} \varrho v^2 (\frac{3}{4}V)^{\frac{2}{3}} D_C & = & V \varrho g \label{gl:kraefteggw}
\end{eqnarray}
Die Gleichung~(\ref{gl:kraefteggw}) nach $v$ lösen ergibt:
\begin{eqnarray}
v & = & \sqrt{\frac{V \varrho g- m_B g}{\frac{1}{2} \varrho (\frac{3}{4}V)^{\frac{2}{3}} D_C}} \label{gl:vh}
\end{eqnarray}
Die Dichte und der Druck sind Funktionen der Höhe und Temperatur. Das Ballonvolumen ist eine Funktion des Drucks. Die Druckveränderung im Ballon ist vernachlässigbar klein im Verhältnis zur Druckänderung der umgebenden Atmosphäre.

\subsubsection{Dichte als Funktion der Höhe}
\begin{eqnarray}
\varrho(h) & = & \varrho_0 \left( 1- \frac{a \Delta h}{T(h_0)} \right)^{\frac{M g}{R a}-1} \label{gl:rhoh}
\end{eqnarray}
mit:
\begin{eqnarray*}
a & = & 0.006 \textnormal{\,K\,m$^{-1}$ \quad Temperaturgradient}\\
M & = & 0.02896 \textnormal{\,kg\,mol$^{-1}$ \quad Molaremasse der Luft}\\
g & = & 9.807 \textnormal{\,m\,s$^{-2}$ \quad Erdbeschleunigung}\\
R & = & 8.314 \textnormal{\,J\,K$^{-1}$\,mol$^{-1}$ \quad Gaskonstante}\\
T(h_0) & = & 273+20 \textnormal{\,K \quad Temperatur am Boden}\\
\varrho_0 & = & 1.23 \textnormal{\,kg\,m$^{-3}$ \quad Dichte der Luft am Boden}
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Druck als Funktion der Höhe}
\begin{eqnarray}
p(h) & = & p_0 \left( 1- \frac{a \Delta h}{T(h_0)} \right)^{\frac{M g}{R a}} \label{gl:ph}
\end{eqnarray}
mit:
\begin{eqnarray*}
p_0 & = & 95300 \textnormal{\,Pa \quad Luftdruck am Boden}
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Ballonvolumen als Funktion der Höhe}
Aus Gleichung~(\ref{gl:expreg}) und Gleichung~(\ref{gl:ph}) folgt:
\begin{eqnarray}
V(h) & = & V_0 \frac{m^{p(h)}}{m^{p_0}} = V_0 \frac{m^{p_0 \left( 1- \frac{a \Delta h}{T(h_0)} \right)^{\frac{M g}{R a}}}}{m^{p_0}} \label{gl:Vh}
\end{eqnarray}
mit:
\begin{eqnarray*}
V_0 & = & \frac{4}{3} \pi 0.3^3 \textnormal{\,m$^3$}\\
m & = & 1.000002553 \textnormal{ Regressionsparameter}
\end{eqnarray*}
Der Durchmesser ($r=\frac{0.6}{2}$\,m) des gefüllten Ballons wurde vor dem Start grob gemessen.

\subsubsection{Höhe als Funktion der Zeit}
Einsetzen der Gleichungen~(\ref{gl:rhoh}) und (\ref{gl:Vh}) in Gleichung~(\ref{gl:vh}) ergibt sich die Vertikalgeschwindigkeit in Abhängikeit der Höhe. Durch numerisches aufintegrieren von unten nach oben wurde die Höhe zu jeder Minute berechnet, mit einem Maple-Skript (Anhang~\ref{lst:maple}).

Nach 17 Minuten steigt der Ballon nicht mehr weiter auf da er die maximale Steighöhe (1826\,m) erreicht hat (dies führt zu imaginären Werten in der Berechnung). Dies ist in Abbildung~\ref{abb:ballonhoehe} dargestellt.

\begin{figure}
\centering
\caption{Veränderung der Ballonhöhe mit der Zeit}\label{abb:ballonhoehe}
\includegraphics[page=5, viewport=60 610 230 775, clip, width=\linewidth]{../messungen/pilotballon.pdf}
\end{figure}

\subsubsection{Kartesische Koordinaten berechnen}\label{sec:kart}
Mit der Höhe und dem Höhenwinkel ($\vartheta$) kann der Abstand ($r$) berechnet wie folgt berechnet werden:
\begin{eqnarray*}
r & = & \frac{h}{\sin{\vartheta}}
\end{eqnarray*}
Mit den nun gegeben Werten Azimut ($\phi$), Höhenwinkel ($\vartheta$) und Abstand ($r$) lassen sich die kartesischen Koordinaten ($x,y,z$) berechnen.

\subsubsection{Hodograph}
Mit den in \ref{sec:kart} berechneten Werten, kann die jeweilige vektorielle Geschwindigkeit berechnet werden und der Hodograph (Abbildung~\ref{abb:hodograph}) dazu.
\begin{figure}
\centering
\caption{Hodograph, 1 Minutenintervalle, Nachmittag, 11.04.2007}\label{abb:hodograph}
\includegraphics[page=6, viewport=60 610 240 775, clip, width=\linewidth]{../messungen/pilotballon.pdf}
\end{figure}

\section{Resultate und Diskussion}
\subsection{Zusammenhang zwischen Druck und Ballonvolumen}
Der Ballon wird mit Druckluft befüllt. Anschliessend wird der Druck der Luft im Ballon gegenüber dem Druck der Aussenluft gemessen. Dazu steht ein Wassersäulenbarometer zur Verfügung.

Um das Volumen des Ballons bestimmen zu können, wird in drei Raumrichtungen der Durchmesser gemessen. Die ersten beiden Durchmesser werden jeweils mit der Öffnung nach unten gemessen. Der erste Druchmesser liegt in der Ebene der \glqq{}Naht\grqq{}\footnote{Die Stelle an der der leere Ballon gefaltet ist, ist auch nach dem aufblasen leicht sichtbarer}, der zweite senkrecht dazu. Der letzte Durchmesser beginnt bei der Öffnung.

Gemessen wird jeweils der Schatten welcher der Ballon an eine Wand projeziert. Als Lichtquelle dient eine Lampe (punktförmige Lichtquelle).

Nach dem Messen der Durchmesser wird etwas Luft aus dem Ballon gelassen und wiederum die Durchmesser und der Druck gemessen. Nach der zehnten Messung wird der Ballon wieder gefüllt. Insgesamt wird der Ballon drei mal aufgeblasten, wodurch am Schluss 30 Drücke und die dazugehörigen Volumen zur Verfügung stehen.

Beim Auswerten der Daten zeigt sich ein logarithmischer Zusammenhang zwischen Druck und Volumen (Abbildung~\ref{abb:pvsV}). Mittelts einer exponentiellen Regression ergibt sich eine Formel für den Zusammenhang zwischen Druck und Volumen.
\begin{figure}
\caption{Druckabhängiges Ballonvolumen}\label{abb:pvsV}
\includegraphics[page=3, viewport=60 610 225 775, clip, width=\linewidth]{../messungen/pilotballon.pdf}
\end{figure}

\begin{eqnarray}
V(p) & = & bm^p = 0.030022980 \cdot 1.000002553^p \label{gl:expreg}
\end{eqnarray}

\subsection{Vorbereitung auf dem Dach}\label{sec:vorbereitung}
Der Theodolit wird aufgestellt, horizontal ausnivelliert und nach Norden ausgerichtet. Damit der Theodolit nach Norden ausgerichtet werden kann wird auf ihm ein Kompass montiert. Die Ausrichtung wird mit einem Blick auf die ETH-Sternwarte grob kontrolliert (dieses Gebäude ist exakt Nord-Süd ausgerichtet).

Damit die Entfernung des Ballons nach dem Start abgeschätzt werden kann, wird ein 10 Meter langes, gelbes Plastikabsperrband vor dem Start an den Ballon gehängt. Das Band wird alle 2 Meter mit einer Markierung versehen.

Der Theodolit hat zwei Okluare, in welchen jeweils ein Kreis sichtbar ist. Damit nach dem Start die grösse des Ballons abgeschätzt werden kann wird der Öffungswinkel $\alpha$ des sichtbaren Kreis gemessen. Dazu wird die Länge des in 10 Meter Abstand senkrecht gehaltenen Doppelmeters im Kreis abgelesen (Abbildung~\ref{abb:theodolitwinkel}). Im grossem Okular erscheint der Doppelmeter nicht scharf, daher wird nach dem abschützen der Länge am Doppelmeter zwei gut sichtbare Klebebandmarkierungen angebracht und die Schätzung damit überprüft. Mit:
\begin{eqnarray}
\frac{\alpha}{2} = \arctan{\frac{d/2}{l}}
\end{eqnarray}
können die Öffnungswinkel berechnet werden, siehe Tabelle~\ref{tab:winkel}.

\begin{figure}
\input theodolitwinkel.pdf_t
\caption{Öffnungswinkel des Theodiliten bestimmen}\label{abb:theodolitwinkel}
\end{figure}

\begin{table}
\centering
\caption{Öffnungswinkel der Theodolitokulare}\label{tab:winkel}
\begin{tabular}{lrr}
Okular & Kreisgrösse in 10\,m [m] & halber Öffnungswinkel $\alpha/2$ [°]\\
\hline
Klein & 1 & 2.86\\
Gross & 0.1 & 0.286 
\end{tabular}
\end{table}

Der Ballon das Band mit den Markierungen und das Verschlussstück werden vor dem befüllen gewogen, die Werte stehen in Tabelle~\ref{tab:massen}.
\begin{table}
\centering
\caption{Masse des Ballons}\label{tab:massen}
\begin{tabular}{lr}
Gegenstand & Masse [g]\\
\hline
Ballon & 47\\
Verschluss & 4\\
Band & 60\\
\hline
Total & 111
\end{tabular}
\end{table}

\subsection{Füllen des Ballons}
Auf das Dach des CHN führt eine Heliumleitung an welche das \glqq{}Füllgerät\grqq{} angeschlossen wird. Das vorgesehene Gerät lässt sich nicht anschliessen (Anschluss passt nur auf Gasflasche), in der Plastiktruhe befindet sich aber eine Vorrichtung um Wetterballone zu füllen, diese kann gut verwendet werden um den Pilotballon zu füllen. Die Auftriebskraft des Ballons wird, nach dem montieren des Verschlusses und dem Band, mit einem 150\,g Massestück, grob überprüft. Es stellte sich heraus, dass der Auftrieb zu klein ist. Der Ballon wird nochmals nachgefüllt und nach dem erneuten verschliessen stimmt der Auftrieb.

\subsection{Starten des Ballons}
Die Uhr welche jede Minuten ein Signalton von sich gibt wird gestartet und bei einem Signalton der Ballon.

Der Ballon wird im kleinem Okular verfolgt. Jede Minute wird der Azimut und die Höhe abgelesen. Damit der Abstand berechnet werden kann wird abgeschätzt welcher Anteil des Bandes dem Radius des Kreises im Okular entspricht. Es steht keine andere Möglichkeit zur Verfügung, da die Markierungen auf dem Band, wegen der Reflektion, nicht sichtbar sind.

Nach der dritten Messung wird auf das grössere Okular gewechselt, da der Ballon ansonsten nicht mehr sichtbar ist. Nach der 28 Messung kann die Länge des nun sehr klein erscheinden Bandes nicht mehr gut als Anteil des Kreisradius abgeschützt werden. Der Kreis im Okular hat vier Striche welche am Kreis beginnen und gegen die Mitte zeigen, dadruch kann die Länge des Bandes als Anteil des Kreises mit Radius Kreisradius minus Strichlänge abgeschätzt werden.

Es stellt sich heraus, dass die Entfernung nur sehr schlecht geschätzt werden kann, dadurch ergeben sich die diskreten Werte in der Tabelle~\ref{abb:tab:geschaetzt} bei der Entfernung.

\subsection{Auswertung}
Die gemessen Winkel und die Abstandsschätzung werden in eine Tabelle eingetragen. Die Abstandschätzung wird mit der Messung in \ref{sec:vorbereitung} auf eine Distanz umgerechnet. Die nun vorliegenden Polarkoordinaten werden in kartesische Koordinaten transformiert. Mit den kartesische Koordinaten werden nun die horizontalen Windgeschwindigkeiten, Windrichtung und die absolute vertikale Windgeschwindigkeit des Ballons berechnet. Da der Ballon Auftrieb hat, ist die vertikale Windgeschwindigkeit geringer als die vertikale Geschwindigkeit des Ballons.

\section{Diskussion}
Die Abstandsschätzung ist sehr schlecht. Deshalb verfolgen wir einen anderen Ansatz. Mit der Vertikalgeschwindigkeit als Funktion der Höhe kann die Höhe des Ballons berechnet werden. Mit den beiden gemessenen Winkeln und der Höhe kann die Position des Ballons viel genauer bestimmt werden.


\section{Schlussfolgerungen}


\appendix{}
\section{Berechnungen, Daten}

Alle Berechnungen werden in einer Tabellenkalkulation durchgeführt (Abbildung~\ref{abb:tab:pvsV} bis \ref{abb:tab:geschaetzt}) bis auf die Berechung der Höhe mit dem Maple Skript~(\ref{lst:maple}). Die Originaldateien sind in diesem PDF angehängt.
\begin{description}
 \item[OpenOffice 2.0.4] \textattachfile{../messungen/pilotballon.ods}{\tt pilotballon.ods} (Original)
 \item[Excel] \textattachfile{../messungen/pilotballon.xls}{\tt pilotballon.xls} (Kopie)
\item[Maple] \textattachfile{../messungen/ballongeschwindigkeit.m}{\tt ballongeschwindigkeit.m} (Skript), \textattachfile{../messungen/maple_output.txt}{\tt maple\_output.txt} (Output)
\item[\LaTeX{}] \textattachfile{pilotballon.tex}{\tt pilotballon.tex}
\end{description}

\subsection{Maple-Skript zur Berechnung der Höhe}\label{lst:maple}
\lstset{% general command to set parameter(s)
language=C,
extendedchars=true,
inputencoding=utf8, % welcher zeichensatz
numbers=left,
numberstyle=\small,
postbreak=\space,
breakindent=1em,
breaklines=true,
basicstyle=\ttfamily, %\small
morekeywords={for, from, by, to, do, od, print},
keywordstyle=\color{blue},
stringstyle=\color{red},
morecomment=[l]{\#},
commentstyle=\color[gray]{0.4}, % white comments
showstringspaces=false % no special string spaces
}
\lstinputlisting[label=lst:maple,caption=Berechung]{../messungen/ballongeschwindigkeit.m}


\begin{table}
\centering
\caption{Brechnung der Druckabhängigkeit des Volumens}\label{abb:tab:pvsV}
\includegraphics[page=1, viewport=30 541 475 780, clip, angle=90, height=\textheight]{../messungen/pilotballon.pdf}
\end{table}

\begin{table}
\centering
\caption{Brechnung der Koordinaten mit berechneter Höhe}\label{abb:tab:berechung}
\includegraphics[page=4, viewport=35 525 465 778, clip, angle=90, height=\textheight]{../messungen/pilotballon.pdf}
\end{table}

\begin{table}
\centering
\caption{Brechnung der Koordinaten mit geschätzten Abständen}\label{abb:tab:geschaetzt}
\includegraphics[page=7, viewport=35 565 510 778, clip, angle=90, height=\textheight]{../messungen/pilotballon.pdf}
\end{table}

\end{document}