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\newcommand{\titelname}{Energietechnik und Umwelt, Kolloquium 6: Kreisprozess}

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pdfauthor = {Roman Schenk, Thomas Kuster (6. Semester, D-UWIS)},%
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\date{\today{}}
\author{Roman Schenk, Thomas Kuster}
\title{UWIS, \titelname{}}

\begin{document}
\markright{UWIS, \titelname{}}
\pagestyle{myheadings}
\maketitle

\section*{Aufgabe a)}
Mit einem idealen Gas wird ein rechtsläufiger Kreisprozess durchgeführt, der sich aus Isobaren ($p =$ konstant) und Isochoren ($V =$ konstant) gemäss nachfolgender Grafik zusammensetzt.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{grafik.jpg}
\end{figure}

Die Zustandsgrössen der Eckpunkte im p,V-Diagramm sind:
\begin{itemize}
\item $p_1$ = 7.5 bar, $p_2$ = 10 bar, $V_2$ = 1l = $10^{-3}\,m^3$, $V_3$ = 1,5l = $1.5\cdot10^{-3}m^3$
\item Die Gasmenge beträgt $\nu$ = 0.3 mol
\item Das Gas bestehe aus zweiatomigen, starren Molekülen, mit folgenden molaren Wärmekapazitäten: isobar: $c_p$ = 29.10 J/molK, isochor: $c_V$ = 20.79 J/molK
\item Für die molare Gaskonstante (in [J/molK] idealer Gase gilt die Beziehung $R_m$ = $c_p$-$c_V$
\end{itemize}

\subsection*{Aufgabenstellung}
Charakterisieren Sie den Prozess bezüglich Energieumwandlung in einem Satz
\subsection*{Antwort}
%Nachdem das Benzin-Luft-Gemisch in den Zilinder eingespritzt wurde, wird dieses komprimiert, wobei die Temperatur ansteigt. Durch die kontrollierte Zündung des Gemisches steigt sowohl Temperatur als auch Druck
Wärmekraftmaschine mit folgenden Prozessen: Das Gas erwärmt sich isochor, damit steigt der Druck von $p_1$ nach $p_2$ (von 7.5 bar auf 10 bar), anschliessend dehnt es sich (unter weiterer Erwärmung, z.\,B. durch Zündung) bei gleichbleibendem Druck (isobar) von $V_2$ nach $V_3$ aus (von 1l auf 1.5l) und kühlt sich schliesslich wieder isochor ab, indem der Druck von $p_2$ auf den Ausgangsdruck $p_1$ sinkt, bevor es durch isobare Abkühlung wieder den Ausgangszustand von $V_2$, $p_1$ und $T_1$ einnimmt.
%Tut mir leid, für den Komplizierten Satz, aber es steht ausdrücklich 1 Satz für die Beschreibung des Kreisprozesses...

\section*{Aufgabe b)\label{sec:b}}
\subsection*{Aufgabenstellung}
Bestimmen Sie die Temperaturen $T_1$, $T_2$ und $T_3$
\subsection*{Antwort}
$$p_1=7.5\cdot10^5\,\textrm{Pa}$$
$$V_1=V_2$$
$$T_1=\frac{pV}{nR}=300.68\,\textrm{K}=27.33\textrm{°C}$$

$$p_2=10\cdot10^5\,\textrm{Pa}$$
$$V_2=1\,\textrm{l}=0.001\,m^3$$
$$T_2=\frac{pV}{nR}=400.91\,\textrm{K}=127.76\,\textrm{°C}$$

$$p_3=p_2$$
$$V_3=0.0015\,m^3$$
$$T_3=\frac{pV}{nR}=601.36\,\textrm{K}=328.21\,\textrm{°C}$$

$$p_4=p_1$$
$$V_4=V_3$$
$$T_4=\frac{pV}{nR}=451.02\,\textrm{K}=177.87\,\textrm{°C}$$

%$$\textrm{mit } pV = nRT \textrm{ ergibt sich durch Einsetzen und Umformen: }$$ 
%$$\frac{p_1V_2}{T_1} = nR = \frac{p_2V_2}{T_2}$$
%daraus berechnet man $T_1$:
%$$T_1 = \frac{p_1V_2}{nR}  = 300.84\,\textrm{K}$$
%$$T_2 = \frac{p_2}{p_1}T_1 = 401.12\,\textrm{K}$$
%$$T_3 = \frac{V_3}{V_2}T_2 = 601.68\,\textrm{K}$$
%$$T_4 = \frac{p_2}{p_1}T_3 = 451,26\,\textrm{K}$$
%$$\textrm{als Kontrolle berechnen wir aus $T_4$ wieder $T_1$: } \frac{V_1}{V_3}T_4 = 300.84\,\textrm{K}$$

\section*{Aufgabe c)}
\subsection*{Aufgabenstellung}
Welche Nutzarbeit A wird je Umlauf abgegeben?
\subsection*{Antwort}
%Als Nutzarbeit bezeichnet man die abgegebene Wärme: 
%$$Q_K = n\cdot c_V |T_3-T_4| = 938.17\,\textrm{J}$$
Die Nutzarbeit entspricht der Fläche innerhalb des durch den Kreizprozess beschreibenen Rechtecks mit den unter \nameref{sec:b} berechneten Eckpunkten. Die Fläche berechnet sich wie folgt:
\begin{eqnarray*}
A & = & (V_3-V_2)p_2-\underbrace{(V_4-V_1)}_{=V_3-V2}p1\\
 & = & (0.0015.0.001)(p_2-p_1)\\
 & = & 0.0015-0.001)(10\cdot10^5-7.5\cdot10^5)\\
 & = & 125\,\textrm{J}
\end{eqnarray*}

\section*{Aufgabe d)}
\subsection*{Aufgabenstellung}
Welche Wärme $Q_zu$ muss je Zyklus zugeführt werden?
\subsection*{Antwort}
Die Wärme $Q_{zu}$ muss jedem Zyklusdurchgang zugeführt werden, um das System von der tiefsten Zyklustemperatur auf die höchste zu erwärmen. Diese Wärme $Q_{zu}$ berechnet sich aus:
\begin{eqnarray*}
Q_{zu} & = & (T_2-T_1)c_V n+(T_3-T_2)c_p n\\
 & = &\left(\underbrace{(400.91-300.68)\cdot20.79}_{20839}+\underbrace{(601.36-400.91)\cdot29.10}_{58330}\right)\cdot0.3\\
 & = & 2375\,\textrm{J}
\end{eqnarray*}

\section*{Aufgabe e)}
\subsection*{Aufgabenstellung}
Wie gross ist der thermische Wirkungsgrad $\eta_{th}$ des Kreisprozesses?
\subsection*{Antwort}
Effektiver-Wirkungsgrad: 
$$\eta_E=\frac{|A|}{Q_{zu}}=\frac{125}{2375}=0.0526=5.26\%$$

Carnot-Wirkungsgrad:%Was meinst du damit??
$$\eta_{max}=\frac{T_W-T_K}{T_W}=\frac{T_3-T_1}{T_3}=0.5=50\%$$
\end{document}