\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{ngerman}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphics}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{color}               % farbe

\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}

\usepackage[pdftex]{hyperref,graphicx,color} % pdflinks
\pdfoutput=1

\newcommand{\titelname}{Energietechnik und Umwelt, Kolloquium 3}
\newcommand{\authorname}{Thomas Kuster, Roman Schenk}

\hypersetup
{%
pdftitle = {\titelname{}},%
pdfsubject = {\titelname{}, Umweltnaturwissenschaften 6. Semester},%
pdfauthor = {\authorname{} (6. Semester, D-UWIS)},%
pdfkeywords = {\titelname{}},%
colorlinks = {true},%
linkcolor = {blue}
}

\setlength{\parindent}{0pt} %kein einzug links nach einem abschnitt

\date{\today{}}
\author{\authorname{}}
\title{UWIS, \titelname{}}

\begin{document}
\markright{UWIS, \titelname{}}
\pagestyle{myheadings}
\maketitle

\section{Vergleich zweier Energiesysteme}
\subsection{Grafik}
\begin{tabular}{lrrr}
 & $\eta$\,[ ] & $JAZ$\,[ ] & $ERZ$\,[a]\\
\hline
Heizung mit Öl & 0.80 & - & 0.5\\
Wärmepumpe & - & 3.0 & 2.0\\
Kraftwerk & 0.40 & - & 1.0
\end{tabular}

\begin{eqnarray*}
\dot{E}_{\rm{H}} & = & \textrm{jährlicher Heizenergiebedarf}\\
\dot{E}_{\rm{B}} & = & \textrm{jährlicher Brennstoffbedarf}
\end{eqnarray*}

Ölheizung
\begin{eqnarray*}
\dot{E}_{\rm{H}} & = & \dot{E}_{\rm{B}} \eta_{\rm{H}}\\
\dot{E}_{\rm{B}} & = & \frac{\dot{E}_{\rm{H}}}{\eta_{\rm{H}}}\\
E_{\rm{Herstellung}} & = & \dot{E}_{\rm{H}} \cdot ERZ_{\rm{H}}\\
E_{\rm{tot}}(t) & = & E_{\rm{Herstellung}} + \dot{E}_{\rm{B}} t\\
E_{\rm{tot}}(t) & = & \dot{E}_{\rm{H}} \cdot ERZ_{\rm{H}} + \frac{\dot{E}_{\rm{H}}}{\eta_{\rm{H}}} t\\
E_{\rm{tot}}(t) & = & \dot{E}_{\rm{H}} \left( ERZ_{\rm{H}} + \frac{t}{\eta_{\rm{H}}} \right)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray}
n_{\rm{H}} & = & \frac{E_{\rm{tot}}(t)}{\dot{E}_{\rm{H}}} =  ERZ_{\rm{H}} + \frac{t}{\eta_{\rm{H}}} \label{H}
\end{eqnarray}

Wärmepumpe
\begin{eqnarray*}
\dot{E}_{\rm{H}} & = & \dot{E}_{\rm{e}} JAZ \Rightarrow \dot{E}_{\rm{e}} = \frac{\dot{E}_{\rm{H}}}{JAZ}\\
E_{\rm{tot}}(t) & = & \dot{E}_{\rm{H}} ERZ_{\rm{WP}} + \underbrace{\dot{E}_{\rm{e}} t}_{E_{\rm{e}}(t)}\\
E_{\rm{e}}(t) & = & \dot{E}_{\rm{e}} \left( ERZ_{\rm{KW}} + \frac{t}{\eta_{\rm{KW}}} \right)\\
E_{\rm{tot}}(t) & = & \dot{E}_{\rm{H}} ERZ_{\rm{WP}} + \underbrace{\dot{E}_{\rm{e}}}_{\frac{\dot{E}_{\rm{H}}}{JAZ}} \left( ERZ_{\rm{KW}} + \frac{t}{\eta_{\rm{KW}}} \right)\\
E_{\rm{tot}}(t) & = & \dot{E}_{\rm{H}} \left( ERZ_{\rm{WP}} + \frac{1}{JAZ} \left( ERZ_{\rm{KW}} + \frac{t}{\eta_{\rm{KW}}} \right) \right)\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray}
n & = & ERZ_{\rm{WP}} + \frac{1}{JAZ} \left( ERZ_{\rm{KW}} + \frac{t}{\eta_{\rm{KW}}} \right) \label{WP}
\end{eqnarray}

Abbildung \ref{Grafik} zeigt einen Plot von (\ref{H}) und (\ref{WP}).

% links unten rechts oben 
\begin{figure}
\includegraphics[viewport = 60 90 650 510,clip,width=\linewidth]{grafik.pdf}
\caption{Grafik} \label{Grafik}
\end{figure}

\subsection{Ab welcher Lebensdauer ist die Wärmepumpe besser als die Ölheizung}
Folgt aus der Grafik, bzw. durch Gleichsetzen von (\ref{H}) und (\ref{WP}).
\begin{eqnarray*}
ERZ_{\rm{H}} + \frac{t}{\eta_{\rm{H}}} & = & ERZ_{\rm{WP}} + \frac{1}{JAZ} \left( ERZ_{\rm{KW}} + \frac{t}{\eta_{\rm{KW}}} \right)\\
\frac{t}{\eta_{\rm{H}}} - \frac{t}{\eta_{\rm{KW}} JAZ} & = & ERZ_{\rm{WP}} + \frac{ERZ_{\rm{KW}}}{JAZ} - ERZ_{\rm{H}}\\
t & = & \frac{ ERZ_{\rm{WP}} + \frac{ERZ_{\rm{KW}}}{JAZ} - ERZ_{\rm{H}} }{ \frac{1}{\eta_{\rm{H}}} - \frac{1}{\eta_{\rm{KW}} JAZ} }\\
t & = & 4.4\,\rm{a}
\end{eqnarray*}

\subsection{Einsparung nach Ablauf der Lebensdauer}
$t = 20\,\rm{a}$ in (\ref{H}) und (\ref{WP}) einsetzen, ergibt den aufsummiertem Gesamtenergieaufwand bezogen auf den jährlichen Heizenergiebedarf nach 20 Jahren.

\begin{tabular}{lrcr}
Ölheizung: & $n_{\rm{H}}$ & = & 25.5\\
Wärmepumpe: & $n_{\rm{WP}}$ & = & 19.0
\end{tabular}

Einsparung in \% gegenüber einer Ölheizung

$$
1-\frac{19.0}{25.5}=25.5\%
$$

\subsection{Welche JAZ muss die Wärmepunpe aufweissen}
$t = 20\,\rm{a}$ in (\ref{H}) und (\ref{WP}) einsetzen, dann $JAZ$ berechnen.

\begin{eqnarray*}
ERZ_{\rm{H}} + \frac{20}{\eta_{\rm{H}}} & = & ERZ_{\rm{WP}} + \frac{1}{JAZ} \left( ERZ_{\rm{KW}} + \frac{20}{\eta_{\rm{KW}}} \right)\\
ERZ_{\rm{H}} + \frac{20}{\eta_{\rm{H}}} - ERZ_{\rm{WP}} & = & \frac{1}{JAZ} \left( ERZ_{\rm{KW}} + \frac{20}{\eta_{\rm{KW}}} \right)\\
JAZ & = & \frac{ERZ_{\rm{KW}} + \frac{20}{\eta_{\rm{KW}}}}{ERZ_{\rm{H}} + \frac{20}{\eta_{\rm{H}}} - ERZ_{\rm{WP}}}\\
JAZ & = & 2.08
\end{eqnarray*}

\end{document}