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{%
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\bibliographystyle{dinat}
% abbrvdin.bst: Alphabetisch sortiertes Literaturverzeichnis mit abgekürzten Verfasservornamen und Zeitschriftentiteln. Numerische Einordnungsmarken. 
% alphadin.bst: Alphabetisch sortiertes Literaturverzeichnis mit Einordnungsmarken aus Verfasser und Erscheinungsjahrkürzeln. 
% plaindin.bst: Alphabetisch sortiertes Literaturverzeichnis mit numerischen Einordnungsmarken. 
% unsrtdin.bst: Literaturverzeichnis in Zitierfolge mit numerischen Einordnungsmarken. 

%\setlength{\parindent}{0pt} %kein einzug links nach einem abschnitt

% define the title
\author{Thomas Kuster}

\title{\huge Permeabilitätsmessungen\\[1em]
\includegraphics[width=\textwidth]{../fotos/dscn0251.jpg}\\[1cm]
\Large Semesterarbeit im technischen Modul im Rahmen des Bachelorstudiums Umweltnaturwissenschaften an der ETH Zürich\\[1cm]
\normalsize \textbf{Betreuer:}\\
Martin Herfort\\
Geologisches Institut}

\date{\today}

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\pagestyle{headings}

\begin{document}

\addtolength{\hoffset}{1.2cm}
\maketitle
\thispagestyle{empty}
\newpage
\addtolength{\hoffset}{-1.2cm}

\vspace*{\fill}
{\par \setlength{\parindent}{0pt} %kein einzug links in diesem abschnitt
Foto Titelseite: Versuchsaufbau mit fallendem hydraulischen Potential.

\medskip
Dank: Meiner Frau Bettina Kuster für die Geduld, Roman Schenk für die Tipps zur Strukturierung, Martin Herfort für die Korrekturhinweise und David Knoll für das Korrekturlesen.
% TODO
}
\cleardoublepage

% Abstract
\begin{abstract}
Kenntnis der Permabilität ist wichtig, um die Grundwasserleitfähigkeiten von Gesteinen zu verstehen. Es gibt verschiedene Arten von Versuchsaufbauten, um diese gesteinsspezifische Konstante zu messen. Der Aufbau mit konstantem hydraulischem Potential und fallendem hydraulischem Potential wird erläutert.

Mit fallendem hydraulischen Potential wurden zwei Proben gemessen. Analyse und Vergleich der Messungen ergab, dass Permeabilitätsmessungen bei gut durchlässigen Proben, mit dem verwendeten einfachen Versuchsaufbau, sehr genau gemessen werden können. Bei geringerer Durchlässigkeit versagt der Versuchsaufbau.
\end{abstract}
\cleardoublepage

%\setcounter{tocdepth}{2}
\tableofcontents
\newpage

\listoffigures
\listoftables
\cleardoublepage

\section{Einfühung}
% Problemstellung usw.
Die Permeabilität, im Deutschen auch Durchlässigkeit, ist eine wichtige gesteinsspezifische Konstante. Die Permeabilität bezeichnet das hydraulische Vermögen ein Fluid zu leiten, sie ist unabhängig von den Fluideigenschaften (insbesondere der Viskosität).

Kenntnis der Permabilität ist wichtig, um die Grundwasserleitfähigkeiten von Gesteinen zu verstehen. Die in dieser Arbeit untersuchten Proben sind Carbonatgesteine (fossile Korallenriffe),
% aus ??? TODO woher sind die dinger.
die entnommen wurden, um die Salzwasserintrusion im Grundwasser genauer zu untersuchen.
%(saltwater intrusion) Vordringen des Salzwassers;
%Phänomen, das auftritt, wenn ein Salzwasserkörper in einen Süßwasserkörper eindringt. Dies kann sowohl in Oberflächen- als auch in Grundwasser auftreten.
% http://www.wasser-wissen.de/abwasserlexikon/s/salzwasserintrusion.htm

\section{Theorie \label{sec:theorie}}
%Methode
\subsection{Gesetz von Darcy\label{sec:darcy}}
Henry Darcy publizierte 1856 einen Bericht, in welchem er ein Laborexperiment vorstellte, welches er entwickelt hatte, um den Fluss von Wasser durch Sand zu analysieren. Die Resultate seiner Versuche können in einem empirischen Gesetz, welches nach ihm benannt ist, zusammengefasst werden.

Wird ein Hohlzylinder mit Innenquerschnitt $A$ mit einem Material (z.\,B. Sand) gefüllt, mit zwei Manometern versehen und an beiden Enden ein Anschlussschlauch angeschlossen, ergibt sich der Versuchsaufbau in Abbildung~\ref{abb:darcytheorie}.

\begin{figure}
\centering
\input darcytheorie.pdf_t
\caption{Versuchaufbau zur Erklärung der Theorie\label{abb:darcytheorie}}
\end{figure}

Nun wird das Fluid in den Zylinder gelassen. Sobald alle Poren mit dem Fluid gefüllt sind, entspricht der hinströmende Fluidfluss $Q$ genau dem ausfliessenden. Durch Setzen eines beliebigen Bezugspunktes ($z = 0$), erhält man die Manometermesshöhe $z_1$ und $z_2$ und  die Fluidhöhe $h_1$ und $h_2$. Der Abstand der Manometermessungen ist $\Delta l$.

Der spezifische Fluss $v$ durch den Zylinder beträgt:
\begin{eqnarray}
v & = & \frac{Q}{A}\label{gl:darcyv}
\end{eqnarray}
$v$ hat die Dimension einer Geschwindigkeit:
$$
\frac{[Q] = L^3/T}{[A] = L^2} = L/T
$$

Die Experimente von Darcy zeigten, dass $v$ proportional zu $\Delta h = h_0 - h_1$ ist (bei konstantem $\Delta l$) und reziprok proportional zu $\Delta l$ (bei konstantem $\Delta h$). Daraus folgt:
\begin{eqnarray}
v & \propto & - \Delta h \label{gl:darcyvorzeichen}\\
v & \propto & \frac{1}{\Delta l}
\end{eqnarray}
Das negative Vorzeichen in Gleichung (\ref{gl:darcyvorzeichen}) bringt zum Ausdruck, dass das Wasser immer von hohen zu niedrigen Standrohrspiegelhöhen fliesst. Darcy's Gesetz kann nun wie folgt geschrieben werden:
\begin{eqnarray}
v & = & - k_f\frac{\Delta h}{\Delta l}
\end{eqnarray}
oder in der differenziellen Form:
\begin{eqnarray}
v & = & - k_f\frac{\textrm{d} h}{\textrm{d} l}\label{gl:darcydgl0}
\end{eqnarray}
In Gleichung (\ref{gl:darcydgl0}) ist $h$ die Piezometerhöhe (auch Standrohrspiegelhöhe oder hydraulisches Potential, Englisch: hydraulic head), worunter die Summe aus Höhe über Bezugsniveau und Druckhöhe zu verstehen ist \cite[Seite 67]{Hoelting}. Einsetzen von Gleichung (\ref{gl:darcyv}) in Gleichung (\ref{gl:darcydgl0}) ergibt:
\begin{eqnarray}
\frac{Q}{A} & = & - k_f\frac{\textrm{d} h}{\textrm{d} l}\\
Q & = & - k_f\underbrace{\frac{\textrm{d} h}{\textrm{d} l}}_{=i}A\label{gl:darcydgl}
\end{eqnarray}
$i$ ist der hydraulische Gradient. Der Proportionalitätsfaktor $k_f$ wird als Durchlässigkeitsbeiwert oder Durchlässigkeitskoeffizient (Englisch: hydraulic conductivity früher oft auch coefficient of permeability) bezeichnet und hat die Einheit einer Geschwindigkeit [L/T]. % seite 27 freeze für englische begriffe

Das Gesetz von Darcy gilt für alle Fliessrichtungen. Solange der hydraulische Gradient $i$ und der Durchlässigkeitsbeiwert $k_f$ konstant gehalten werden, ist $v$ unabhängig vom Winkel $\theta$. \cite[Seite 15ff]{Freeze} und \cite[Seite 73ff]{Hoelting}.

\subsection{Durchlässigkeitsbeiwert und Permeabilität \label{sec:durchlaesigkeitpermeabilitaet}}
Es ist offensichtlich, dass der Durchlässigkeitsbeiwert nicht nur vom porösen Material abhängt, sondern auch vom Fluid. Würde der Versuch aus Abschnitt~(\ref{sec:darcy}) mit Wasser und dann zum Beispiel mit Öl durchgeführt, wäre der Durchfluss $Q$ bei Öl viel geringer. Das Ziel ist einen Parameter zu finden, der unabhängig vom verwendeten Fluid ist. Durch weitere experimentelle Beobachtungen folgt aus der Proportionalitätskonstanten~$k_f$, unter Ausschluss der Fluideigenschaften (Dichte~$\varrho$ und dynamische Viskosität~$\eta$), die Permeabilität~$K$ mit der Einheit [L$^2$]:
\begin{eqnarray}
k_f & = & K \frac{\varrho g}{\eta}\\
k_f & = & K \frac{g}{\nu}
\end{eqnarray}
Die Dichte $\varrho$ und die dynamische Viskosität $\eta$ sind temperaturabhängig und somit auch die kinematische Viskosität $\nu$. Bei 20°C ergeben sich mit der Fallbeschleunigung $g=9.81$\,m/s$^2$ \cite[Seite 188]{FuT} und $\nu=1.0068\cdot10^{-6}$\,m$^2$/s \cite[Seite 17]{Busch} folgende Umrechungsfaktoren:
\begin{eqnarray}
\frac{g}{\nu} & = & \frac{9.81\,\textrm{m/s$^2$}}{1.0068 \cdot 10^{-6}\,\textrm{m$^2$/s}} = 9.74 \cdot 10^{6}\,\textrm{m$^{-1}$s$^{-1}$}\\
k_f & = & 9.74 \cdot 10^{6}\,\textrm{m$^{-1}$s$^{-1}$}\cdot K\\
K & = & 1.026 \cdot 10^{-7}\,\textrm{ms} \cdot k_f
\end{eqnarray}
\cite[Seite 108f]{Matthess} und \cite[Seite 26f]{Freeze}

Früher wurde die Permabiltät, in Darcy, folgendermassen definiert:
Ein poröses Gestein hat die Permeabilität $K = 1$\,Darcy, wenn 1\,cm$^3$ eines Fluides mit einer dynamischen Viskosität $\eta =1$\,cP (Zentipoise) $= 10^{-3}$\,Pa$\cdot$s in $1$\,s ein Gesteinsstück von der Länge $l = 1$\,cm und einem Querschnitt von $A = 1$\,cm$^2$ bei einem Druckunterschied $\Delta p = 1$\,atm $= 1.01325\cdot10^5$\,Pa zwischen Eintritts- und Austrittsstelle durchfliesst. Damit lässt sich die Einheit Darcy bestimmen:
\begin{eqnarray}
K & = & \eta \cdot \frac{\dot{V}}{A} \cdot \frac{l}{\Delta p}\\
K & = & 10^{-3}\,\textrm{Pa}\cdot\textrm{s}\cdot \frac{1\,\textrm{cm$^3$/s}}{1\,\textrm{cm$^2$}} \cdot \frac{1\,\textrm{cm}}{1.01325\cdot10^{5}\,\textrm{Pa}}\\
K & = & 9.86923 \cdot 10^{-9}\,\textrm{cm$^2$} = 9.86923 \cdot 10^{-13}\,\textrm{m$^2$} = 1\,\textrm{Darcy}
\end{eqnarray}
\cite[Seite 75ff]{Hoelting}.
Weitere Umrechungsfaktoren für Einheiten der Permeabilität und Durchlässigkeitsbeiwerte sind in der Tabelle~\ref{tab:einheiten} aufgelistet \cite[Seite 29]{Freeze}.
\begin{table}
\centering
\caption{Umrechungsfaktoren für Einheiten der Permeabilität~$K$ und Durchlässigkeitsbeiwerte~$k$ \label{tab:einheiten}}
% leider mit einem wüsten hack \qquad um auch die letzte spalte in der mitte zu haben.
\begin{tabular}{lr@{\,$\cdot$\,}lr@{\,$\cdot$\,}lr@{\,$\cdot$\,}l}
 & \multicolumn{4}{c}{Permeabilität $K$} & \multicolumn{2}{c}{Durchlässigkeitsbeiwerte $k_f$}\\
Einheit & \multicolumn{2}{c}{cm$^2$} & \multicolumn{2}{c}{Darcy} & \multicolumn{2}{c}{m/s}\\
\hline
cm$^2$ & \multicolumn{2}{c}{1} & $1.01$ & $10^{8}$ & $\qquad \qquad 9.80$ & $10^{2} \qquad \qquad $\\
Darcy & $9.87$ & $10^{-9}$ & \multicolumn{2}{c}{1} & $9.66$ & $10^{-6}$\\
m/s & $1.02$ & $10^{-3}$ & $1.04$ & $10^{5}$ & \multicolumn{2}{c}{1}
\end{tabular}

Um $K$ in Darcy zu erhalten: $K$ in cm$^2$ mit $1.01\cdot10^{-8}$ multiplizieren.
\end{table}

\subsection{Gültigkeit des Gesetzes von Darcy}
Das Gesetz von Darcy gilt nicht mehr wenn sich das durchströmte Material ändert. Dies kann zum Beispiel durch Ablagerung oder Auswaschung des Fluids (Veränderung des Porenvolumen), Temperatur- oder Druckänderung (Volumenänderung) erfolgen \cite[Seite 110]{Matthess}. Das Fluid muss zudem laminar durch das Material fliessen. Es wird zwischen einem prä- und einem postlinearen Bereich unterschieden. Bei einem kleinem hydraulischen Gradient~$i$ im prälinearen Bereich können die Haftkräfte nicht mehr vernachlässigt werden und bei einem grossen $i$ im postlinearen Bereich wird die Strömung turbulent \cite[Seite 105ff]{Busch}.

\subsection{Permeabilitäts und Durchlässigkeitswerte}
Um die Plausibiltät der erhalten Werte abschätzen zu können, ist in Tabelle~\ref{tab:wertebereich} der Wertebereich und deren Einteilung abgebildet \cite[Seite 29]{Freeze} und \cite[Seite 78]{Hoelting}.

\begin{table}
\caption{Wertebereich von Permeabilität~$K$ und Durchlässigkeitsbeiwerte~$k$ \label{tab:wertebereich}}
\centering
\input wertebereich.pdf_t
\end{table}

\section{Methode}
Die vorliegenden Proben (Plugs) sind Festkörper und können daher nicht in einen Hohlzylinder gefüllt werden, wie dies Darcy mit dem Sand gemacht hatte (Abschnitt \ref{sec:darcy}). Die Proben werden daher in einen Schlauch mit dem Innendurchmesser des Aussendurchmessers der Probe gesteckt. Der Schlauch wird nun auf beiden Seiten mit einem Anschlussstück (Fitting) verschlossen. Da auf jeden Fall ein Umströmen der Probe verhindert werden muss, wird der Schlauch in einer Quetschvorrichtung zusammengedrückt.

Der Winkel ($\theta$) und die Fliessrichtung der Probe spielen, wie in Abschnitt~\ref{sec:darcy} gezeigt, keine Rolle. Es ist jedoch wichtig, dass die Probe voll\-ständig mit dem Fluid gesättigt ist (keine Luft mehr in den Poren). Deshalb wird die Probe von unten nach oben mit dem Fluid durchströmt. Nach dem ersten vollständigen Durchströmen der Probe (Fluid im abgehenden Schlauch) wird längere Zeit gewartet (über Nacht), damit eventuell noch in der Probe eingeschlossene Luft entweichen kann.
%% TODO ^^^^

Als Fluid wird Trinkwasser verwendet. Das Trinkwasser am Versuchstandort (Feldhofstrasse 20, 8610 Uster) wird mittels einer Entkalkungsanlage (Ionenaustauscher) behandelt. Die Versuche werden bei Zimmertemperatur durchgeführt, für die Dichte und Viskosität werden die Werte von Wasser bei 20°C verwendet.

\subsection{Konstantes hydraulisches Potential \label{sec:konstantespotential}}
Bei einem Versuchsaufbau wie in Abbildung~\ref{abb:darcytheorie} mit einem konstanten hydraulischen Gradient $i$, könnte durch messen des Durchflusses $Q$ nach Gleichung~(\ref{gl:darcydgl}) sofort der Durchlässigkeitsbeiwert $k$ bestimmt werden.
\begin{eqnarray}
Q & = & - k_f\underbrace{\frac{\textrm{d} h}{\textrm{d} l}}_{=i}A\\
k_f & = & -\frac{Q}{iA}
\end{eqnarray}
Der Fluss durch das Material kann z.\,B. durch Überlauf in einen Messbecher bestimmt werden.

Am Arbeitsplatz ist keine Wasserzufuhr und kein Abfluss vorhanden wodurch es nicht ohne weiteres möglich ist, diese Methode anzuwenden. Mit Hilfe einer kleinen Wasserpumpe könnte diese Methode trotzdem realisiert werden. Ein möglicher Versuchsaufbau ist in Abbildung~\ref{abb:skizzekonstant} skizziert.
\begin{figure}
\centering
\input skizzekonstant.pdf_t
\caption{Permeabilitätsmessung mit konstantem hydraulischem Potential \label{abb:skizzekonstant}}
\end{figure}

\subsection{Fallendes hydraulisches Potential \label{sec:fallendespotential}} % ??Druckgradient??}
Eine einfachere Methode ist die Veränderung des Potentials mit der Zeit zu messen. Dies kann durch ausfliessen lassen einer Bürette durch die Probe erreicht werden. Der entsprechende Versuchsaufbau ist in Abbildung~\ref{abb:skizzefallend} skizziert. Die Versuche in dieser Arbeit werden nach dieser Methode durchgeführt.
\begin{figure}
\centering
\input skizzefallend.pdf_t
\caption{Permeabilitätsmessung mit fallendem hydraulischem Potential \label{abb:skizzefallend}}
\end{figure}

Aufgrund des nicht mehr konstanten hydraulischen Gradienten~$i$, kann nun der Durchlässigkeitsbeiwert $k_f$ nicht mehr direkt mit der Gleichung (\ref{gl:darcydgl}) wie im Abschnitt~(\ref{sec:konstantespotential}) berechnet werden. Die Gleichung~(\ref{gl:darcydgl}) in der nicht differenziellen Form kann jedoch wie folgt umgeschrieben werden:
\begin{eqnarray}
Q & = & - k_f\frac{\Delta h}{\Delta l}A\\
Q = \frac{\Delta V}{\Delta t} & = & -k_f \frac{\Delta h}{\Delta l}A\label{gl:darcyfallend0}
\end{eqnarray}
Die Länge $\Delta l$ entspricht der Probenlänge $l$. Die Piezometerhöhendifferenz $\Delta h$ ist der Höhenunterschied zwischen dem Wasserstand in der Bürette und dem Überlauf (Uhrenglas). Beim Ausfliessenlassen der Bürette durch die Probe wird die Differenz mit der Zeit kleiner. $\Delta h$ kann daher als Funktion der Zeit $h(t)$ geschrieben werden, nach einem Versuch sind einige Werte von $h(t)$ bekannt, da diese Differenz von Zeit zu Zeit notiert wird. Der Innenquerschnitt der Bürette~$a$ ist ebenfalls bekannt, wodurch auch bekannt ist, welches Volumen~$\Delta V$ zwischen zwei Notationen (entspricht einem Zeitschritt $\Delta t$) durch die Probe geflossen ist. Aus Gleichung~(\ref{gl:darcyfallend0}) folgt daher, wobei $\Delta h$ die Differenzen der Piezometerhöhendifferenzen während eines Zeitschritts $\Delta t$ ist:
\begin{eqnarray}
\frac{\Delta V}{\Delta t} = \frac{a \Delta h}{\Delta t} & = & -\frac{k_fA}{l}h(t)\\
\frac{\Delta h}{\Delta t} & = & -\frac{k_fA}{al}h(t)
\end{eqnarray}
oder in der differenziellen Form:
\begin{eqnarray}
\dot{h}(t) & = & -\frac{k_fA}{al}h(t)\label{gl:darcydglfallend}
\end{eqnarray}
Die Gleichung (\ref{gl:darcydglfallend}) ist eine homogene lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung und wird durch Einsetzen des Ansatzes $h(t) = \exp{(c_1 t + c_2 )}$ gelöst:
\begin{eqnarray}
c_1 \exp{(c_1t+c_2)} & = & -\frac{k_fA}{al} \exp{(c_1t+c_2)} \label{gl:darcyansatz}
\end{eqnarray}
Koeffizienten von Gleichung (\ref{gl:darcydglfallend}) mit Gleichung (\ref{gl:darcyansatz}) vergleichen:
$$
c_1 = -\frac{k_fA}{al}
$$
führt zur folgenden Lösung der Differenzialgleichung:
\begin{eqnarray}
h(t) & = & \exp{\left(-\frac{k_fA}{al}t+c_2\right)} = c_3\exp{\left(-\frac{k_fA}{al}t\right)} \label{gl:darcylsg0}
\end{eqnarray}
Durch Einsetzen der Anfangsbedingung $h(t=0) = h_0$ in (\ref{gl:darcylsg0}) kann $c_3$ wie folgt berechnet werden:
\begin{eqnarray}
h_0 & = & c_3\exp{\left(-\frac{k_fA}{al}t\right)}\\
h_0 & = & c_3 \underbrace{\exp{\left(-\frac{k_fA}{al}t\right)}}_{=1}\\
h_0 & = & c_3
\end{eqnarray}
Wodurch die Lösung wie folgt geschrieben werden kann:
\begin{eqnarray}
h(t) & = & h_0 \exp{\left(-\frac{k_fA}{al}t\right)}\\
\ln{\left(\frac{h(t)}{h_0}\right)} & = & -\frac{k_fA}{al}t\\
\ln{\left(\frac{h_0}{h(t)}\right)} & = & \frac{k_fA}{al}t
\end{eqnarray}
Einfachheitshalber wird anstelle der Funktion $h(t)$ nur $h$ für den Messwert zum Zeitpunkt $t$ geschrieben:
\begin{eqnarray}
\ln{\left(\frac{h_0}{h}\right)} & = & \frac{k_fA}{al}t \label{gl:darcylsg}
\end{eqnarray}
Nun kann durch Ablesen der Piezometerhöhendifferenz zu zwei verschiedenen Zeitpunkten der Durchlässigkeitsbeiwert $k_f$ berechnet werden.

\subsection{Versuchsaufbau}
Der ganze Versuchsaufbau ist in der Ecke meines Bürotisches zu Hause in Uster aufgebaut und in Abbildung~\ref{abb:fotouebersichtversuch} zu sehen.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{../fotos/480_360/dscn0251.jpg}
\caption{Übersicht Versuchsaufbau \label{abb:fotouebersichtversuch}}
\end{figure}

\subsubsection{Übersicht}
Damit die Haltevorrichtung stabil steht, ist sie unter der Wanne eingeklemmt und die Wanne innen mit einem Kalkstein beschwert. Dadurch steht die Wanne ganz leicht schräg (in der Abbildung~\ref{abb:fotouebersichtversuch} ist die rechte Seite etwas tiefer). Die Bürette ist so montiert, dass sie über der Wanne hängt. Von der Bürette führt ein Schlauch unten in die Schlauchquetschvorrichtung (Abschnitt~\ref{sec:schlauchquetschvorrichtung}) und ein weiterer oben hinaus in das Uhrenglas. Ein Draht, der über dem Rand des Uhrenglases liegt, verhindert, dass das Wasser durch die Oberflächenspannung über den Glasrand steigen kann. Das zweite Uhrenglas unter der Zuleitung von der Bürette zur Quetschvorrichtung dient der Kontrolle, ob alle Verbindungen dicht sind.

\subsubsection{Schlauchquetschvorrichtung\label{sec:schlauchquetschvorrichtung}}
Die Probe wird in ein Schlauchstück mit einem Innendurchmesser, der genau dem Aussendurchmesser der Probe entspricht, gesteckt (Der Schlauch wird dazu mit einem Föhn\footnote{Haartrockner} erwärmt). Anschliessend werden auf beiden Seiten die Fittings, an welche ein Schlauch angeschlossen werden kann, hineingesteckt. Das Schlauchstück wird nun in ein Rohr mit einem Längsschlitz geschoben und dieses mittels zweier Rohrschellen, welche auf einem Blechwinkel befestigt sind, zusammengedrückt (Abbildung~\ref{abb:schlauchquetschvorrichtung}).

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{../fotos/480_360/dscn0253_bereich.jpg}
\caption{Schlauchquetschvorrichtung \label{abb:schlauchquetschvorrichtung}}
\end{figure}

\subsubsection{Notationen, eigene Definitionen}
Damit alle Versuche nachvollzogen werden können, wurden alle Schlauch\-stücke, in denen die Proben stecken, nummeriert und einige Definitionen, die im Anhang~\ref{sec:notationen} aufgeführt sind, eingeführt.

\subsection{Auswertung\label{sec:auswertung}}
Das Vorgehen bei den Versuchen wird möglichst genau im Laborjournal notiert. Eine Abschrift davon ist im Anhang \ref{sec:abschrift}. 

Die Auswertung erfolgt mit dem Statistik Programm R. Um alle bei einem Versuch gemachten Messdaten zur Verfügung zu haben, werden die Messwerte in einer Datei notiert. Folgendes Beispiel zeigt den Aufbau:
\lstinputlisting{../labor_journal/daten/versuch_2_1.dat}

Die erstellte R-Funktion \verb$einlesen.R$ (abgedruckt im Anhang~\ref{fkt:einlesen.R}) liest die Daten aus der Datei ein und stellt diese in R als Variablen in einer Liste zur Verfügung.

Anschliessend wird in der Funktion \verb$durchlaessigkeit.R$ (Anhang~\ref{fkt:durchlaessigkeit.R}) ein lineares Modell für die Gleichung (\ref{gl:darcylsg}):
\begin{eqnarray}
\ln{\left(\frac{h_0}{h}\right)} & = & \underbrace{\frac{k_fA}{al}}_{=c}t
\end{eqnarray}
aufgestellt und $c$ eingepasst (fit of the model).
 
Der gesuchte Durchlässigkeitsbeiwert~$k_f$ wird direkt wie folgt aus $c$ berechnet:
\begin{eqnarray}
\frac{k_fA}{al} = c\\
k_f = c\frac{al}{A}
\end{eqnarray}
Neben dem Durchlässigkeitsbeiwert $k_f$ ist auch die Angabe der Permeabilität $K$ in m$^2$ oder Darcy üblich (Abschnitt~\ref{sec:durchlaesigkeitpermeabilitaet}); diese Werte werden ebenfalls berechnet.

Die Funktion erstellt einen Plot, in den die wichtigsten Daten hineingeschrieben werden und gibt alle berechneten Daten inklusive dem Modell zurück. Darin sind auch die statistischen Werte das korrigierte R-Quadrat (Englisch: adjusted R-Squared) und die Macht des t-Test enthalten.
%% TODO stimmt das mit dem t-Test, sollte stimmen???

\section{Resultate, Ergebnisse}
\subsection{Versuch 1}
Die Probe (5/17o) war nicht messbar mit diesem Versuchsaufbau. Die Probe konnte nicht mit Wasser durchströmt werden. Auf Grund der Tropfenbildung zwischen Schlauch und Fitting muss darauf geschlossen werden, dass der Strömungswiderstand dort viel kleiner war.

\subsection{Versuch 2}
Die Probe (5/10o) konnte vier mal in leicht veränderter Versuchsanordnung gemessen werden. Die Abbildungen~\ref{abb:versuch_2_1} bis \ref{abb:versuch_2_4} zeigen die Ergebnisse. Bei allen vier Messungen sind die Messpunkte konkav\footnote{Werden zwei Messpunkte mit einer Geraden verbunden, liegen alle dazwischenliegenden Messpunkte oberhalb dieser Gerade} angeordnet.

Der Mittelwert der vier Messungen ergibt eine Permeabilität~$K$ von: $2.81\cdot10^{-13}\,$m$^2$ $ = 0.285\,$Darcy. Für diesen Wert ergibt sich nach Tabelle~\ref{tab:wertebereich} eine Klassifikation in sehr stark durchlässig.

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{../R_output/versuch_2_1.pdf}
\caption{Versuch 2, Messung 1 \label{abb:versuch_2_1}}
\end{figure}

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{../R_output/versuch_2_2.pdf}
\caption{Versuch 2, Messung 2 \label{abb:versuch_2_2}}
\end{figure}

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{../R_output/versuch_2_3.pdf}
\caption{Versuch 2, Messung 3 \label{abb:versuch_2_3}}
\end{figure}

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{../R_output/versuch_2_4.pdf}
\caption{Versuch 2, Messung 4 \label{abb:versuch_2_4}}
\end{figure}
% TODO Ergebniss
%Die Proben Das Ergebniss von 0.3 Darcy passt sehr gut zu den Proben

\section{Interpretation, Folgerung}
Permeabilitätsmessungen lassen sich mit einer sehr einfachen Apperatur sehr genau durchführen. Die korrigerten R-Quadrate waren jeweils sehr hoch, was auf eine sehr gute Übereinstimmung des Modells mit dem Experiment hindeutet.

Bei allen Proben handelt es sich um Carbonatgestein (Kalkstein), die Probe (5/10o) des zweiten Versuchs hat eine Permeabilität von $K=2.81\cdot10^{-13}\,$m$^2 = 0.285\,$Darcy. Die Werte für Kalkstein in der Tabelle~\ref{tab:wertebereich} decken diesen Wert ab.

Bei einer geringer Durchlässigkeit versagt der Versuchaufbau komplett und es können gar keine Werte gemessen werden. Eine der beiden Carbonatgesteinsproben konnte nicht gemessen werden. Damit kann mit der Tabelle~\ref{tab:wertebereich} grob abgeschätz werden, dass Proben ab der Einteilung durchlässig, mit der angewendeten Methode, nicht mehr gemessen werden können. Eventuell könnten diese Proben gemessen werden, wenn sie mit den Fittings zusammem in einem Schrumpfschlauch eingeschrumpft würden. Es kann jedoch nie ausgeschlossen werden, dass schlussendlich nicht die Permeabilität zwischen der Probe und der Wand gemessen wird.

\section{Ausblick}
Da durch das Schreiben der beiden R-Funktionen das Auswerten der Daten sehr schnell und einfach möglich ist, wäre es nun interessant viele Messungen an der selben Probe zu machen. Dabei könnten die Umgebungsbedingungen verändert werden um festzustellen, welchen Einfluss diese auf die Messungen haben.

Neben dem Verändern der Umgebungbedingungen könnte man auch das Fluid verändern und zum Beispiel untersuchen welche Eigenschaft der Salzgehalt auf den Durchlässigkeitsbeiwert hat und ob sich der Wert der Permabilität wirklich nicht verändert.

% wird nie zitiert, war aber eine wichtige gedankenstütze
\nocite{Bogomolow}
\cleardoublepage
%\bibliography{../unterlagen/buecher/buecher.bib}
\bibliography{../unterlagen/buecher/buecher}
\addcontentsline{toc}{section}{Literatur}

\cleardoublepage
\appendix

\section{R}
Die gemessenen Daten werden mit R (\url{http://www.r-project.org/}) ausgewertet. Die dazu erstellten Funktionen:

\subsection{\htmladdnormallink{{\tt einlesen.R}}{../R/einlesen.R} \label{fkt:einlesen.R}}
%\verbatiminput{../R/einlesen.R}
%\listinginput{1}{../R/einlesen.R}
\lstinputlisting{../R/einlesen.R}

\subsection{\htmladdnormallink{{\tt durchlaessigkeit.R}}{../R/durchlaessigkeit.R} \label{fkt:durchlaessigkeit.R}}
\lstinputlisting{../R/durchlaessigkeit.R}

\subsection{Anwendung (\htmladdnormallink{{\tt auswertung.R}}{../R/auswertung.R}) \label{fkt:auswertung.R}}
Die Auswertung ist mit folgenden Aufrufen möglich:
\lstinputlisting{../R/auswertung.R}

\newpage
\section{Material}
\subsection{Material von der ETH}
\begin{itemize}
\item 3 Schlauchstücke $l = 80$\,mm, $\durchmesser_{\textrm{aussen}} \approx 32$\,mm, $\durchmesser_{\textrm{innen}} \approx 32$\,mm
\item 2 Schlauchstücke (Silikon?), $\durchmesser_{\textrm{aussen}} = 8$\,mm, $\durchmesser_{\textrm{innen}} = 6$\,mm:
 \begin{itemize}
  \item $l = 80$\,mm
  \item $l = 26$\,mm
 \end{itemize}
\item 2 Büretten
 \begin{itemize}
  \item $V = 25$\,ml, mit Ventil
  \item $V = 10$\,ml
 \end{itemize}
\item 1 Schlauchquetschvorrichtung, Eigenbau
\item 2 Schlauchstücke à 300\,mm, $\durchmesser_{\textrm{aussen}} = 8$\,mm, $\durchmesser_{\textrm{innen}} = 5$\,mm
\item Stange $\durchmesser = 13$\,mm
\item 4 Proben (Plugs)
\item 1 Klemme
\item 1 Befestigungsstück, um die Klemme an der Stange zu befestigen
\item 1 Uhrenglas
\end{itemize}

\subsection{Eigenes Material}
\begin{itemize}
\item Alte Zinnwanne, um alles hineinzustellen
\item Haltevorrichtung für die Stange
\item Spritzen und dünne Schläuche, um die Anschlussschlauchstücke luftleer zu bekommen
\item Rundholz, um die Proben aus dem Schlauch zu stossen
\end{itemize}
%% TODO Spritzen wie das geht vorne beschrieben bei der Versuchsdurchführung

\newpage
\section{Laborjournal\label{sec:laborjournal}}
Im Unterabschnitt \ref{sec:abschrift} ist eine Abschrift des Laborjournals. Die Messdaten wurden in diesem Unterabschnitt nicht abgeschrieben. Für die Auswertung mussten die Messdaten in eine Textdatei geschrieben werden (Abschnitt \ref{sec:auswertung}). Diese Textdateien werden direkt in die Abschrift eingebunden.

Die im Laborjournal verwendeten Notationen sind im Unterabschnitt \ref{sec:notationen} aufgeführt.

\subsection{Notationen \label{sec:notationen}}
Damit alle Versuche nachvollzogen werden können, werden die Definitionen in der Tabelle \ref{tab:definitionen} eingeführt und alle Schlauchstücke, in welche die Porben gesteckt werden, nummeriert.

\begin{table}[hbt]
\centering
\caption{Definitionen \label{tab:definitionen}}
\begin{tabular}{lL{2cm}p{6.5cm}}
Ausdruck & Wo & Bedeutung\\
\hline
normal & hinter der Schlauchnummer & Schlauch wurde so eingebaut, dass die Schlauchnummer normal lesbar ist.\\
kopfüber & hinter der Schlauchnummer & Schlauch wurde so eingebaut, dass die Nummer auf dem Kopf steht.\\
europäisch & hinter der Probennummer & Die Probe wurde so eingebaut, dass der Kopf nach links gekippt werden muss, um die Probennummer normal lesen zu können (wie europäische Buchrücken)\\
ami & hinter der Probennummer & Die Probe wurde so eingebaut, dass der Kopf nach rechts gekippt werden muss, um die Probennummer normal lesen zu können (wie amerikanische Buchrücken)\\
üWB & hinter Längenangaben & Höhe über Wannenboden\\
UK & hinter Höhenangaben & Höhe der unteren Kante (Unterkant)\\
MK & hinter Höhenanhaben & Höhe bis zur mittleren Kante (Abbildung~\ref{abb:fitting})
\end{tabular}
\end{table}

\begin{figure}
\centering
\input skizzefitting.pdf_t
\caption{Fitting\label{abb:fitting}}
\end{figure}

Falls keine Einheiten angeben sind werden Einheiten gemäss Tabelle \ref{tab:verwendeteeinheiten} verwendet.

\begin{table}
\centering
\caption{Einheiten\label{tab:verwendeteeinheiten}}
\begin{tabular}{lp{9cm}}
Dimension & Einheit\\
\hline
Länge & mm\\
Volumen & ml\\
Zeit & HH:MM.SS (HH von 00 bis 23), Lokalzeit (MEZ oder MESZ), Zeitquelle: Funkuhr, DCF77 Signal\\
Datum & DD.MM.YYYY (europäisch)
\end{tabular}
\end{table}

Bei den Fotos wird nur eine Nummer angegeben. Diese Nummer entspricht dem Bildnamen welchen die Digitalkamera (Nikon Coolpix 550) automatisch vergibt (\verb$dscn[nummer].jpg$). Der Zähler wird nie zurück gesetzt (da jedoch schon mehr als 10\,000 Fotos gemacht wurden, gibt es bereits ältere Fotos mit dem gleichen Dateinamen). Alle Fotos sind im Abschnitt \ref{sec:fotos} abgebildet.

Als Fitting werden die zwei Schlauchanschlussstücke, die in den grossen Schlauch mit der Probe gesteckt werden, bezeichnet (Abbildung~\ref{abb:fitting}).

\subsection{Abschrift\label{sec:abschrift}}
\newcommand{\oldparindent}{\parindent}
\setlength{\parindent}{0pt} %kein einzug links nach einem abschnitt
\subsubsection{Versuch 1, Probe: 5/17o}
\paragraph{Datum: 02.12.2005}\mbox{}

Versuch einer improvisierten Messung. Stativ für Stange fehlt. Die Stange wurde in ein Loch des Kalksandsteins gestellt $\Rightarrow$ Bürette hängt schräg.

Der Aufbau ist in Abbildung~\ref{abb:skizzefallend} skizziert.

Die Probe wurde trocken eingebaut. Es wird seit $\approx$ 16:30 versucht die Probe von unten mit Wasser zu sättigen (Ventil offen).

16:45 \glqq{}Schlauchquetscher\grqq{} tropf.

Rohrschellen werden eine Position höher montiert (2. und 4. oberstes Loch), um zu sehen ob eventuell nur der Schlauch nicht gut auf der Bürette oder dem Fitting sitzt.

Tropfen entsteht da der grosse Schlauch nicht dicht am Fitting anliegt.

Eventuell undicht da das Rohr durch die Rohrschellen oval zusammengedrückt wird (Abbildung~\ref{abb:skizzeundicht}).

\begin{figure}
\centering
\input skizzeundicht.pdf_t
\caption{Schlauchquetschvorrichtung von oben. Die Verformung ist in rot übertrieben eingezeichnet.\label{abb:skizzeundicht}}
\end{figure}

16:50 Schlitz im Rohr wird zur Anzugsseite gedreht. Die obere Rechte Schraube hat kein richtiges Gewinde mehr $\Rightarrow$ Morgen die ganze Klemme mal in der Werkstatt (bei den Eltern) \glqq{}überarbeiten\grqq{}.
 
Tropft immer noch an der selben Stelle zwischen Schlauch und Fitting $\Rightarrow$ Längsrillen im Schlauch?

\begin{center}
\vskip 1em
\begin{tabular}{lp{7cm}}
Zeit [MEZ] & Wasserstand [ml]\\
\hline
16:56.50 & -0.6\\
$\approx$ 21:30 & Bürette aufgefüllt (abgehender Schlauch immer noch voll Luft)\\
\end{tabular}
\end{center}

\paragraph{Datum: 03.12.2005}\mbox{}

Messe die Austropfdurchlässigkeit:

\paragraph{Datei:}
\htmladdnormallink{{\tt versuch\_1\_1.dat}}{../labor_journal/daten/versuch_1_1.dat}
\lstinputlisting{../labor_journal/daten/versuch_1_1.dat}

\paragraph{Datum: 04.12.2005}\mbox{}

Ausbau Probe: Unten war Wasser im Fitting, oben war die Probe feucht.

\subsubsection{Versuch 2, Probe: 5/10o}
\paragraph{Messung 1}\mbox{}

Schlauchquetschvorrichtung steht auf dem Wannenboden, in einer kleineren Wanne, welche der Dichtheitskontrolle dient.

\paragraph{Datum: 04.12.2005}\mbox{}

\begin{center}
\vskip 1em
\begin{tabular}{r@{:}c@{.}ll}
\multicolumn{3}{c}{Zeit [MEZ]} & Wasserstand [ml]\\
\hline
$\approx20$&30&00 & Einbau\\
21&30&00 & Schlauch und Probe wassergefüllt bzw. gestättigt\\
22&45&00 & Schliessen des Ventils um morgen messen zu können
\end{tabular}
\end{center}

\paragraph{Datum: 05.12.2005}\mbox{}

Zu lange gewartet nach dem öffnen des Ventils $\Rightarrow$ Schlauch (Wasserzufuhr) füllte sich mit Luft. Schlauch wird mit dünnem Schlauch (Isolierung von Kupferdraht) und einer Spritze von innen mit Wasser gefüllt (Abbildung~\ref{foto:0864}, Seite~\pageref{foto:0864}).

\paragraph{Datei:}
\htmladdnormallink{{\tt versuch\_2\_1.dat}}{../labor_journal/daten/versuch_2_1.dat}
\lstinputlisting{../labor_journal/daten/versuch_2_1.dat}

\paragraph{Messung 2}\mbox{}

Gleicher Aufbau wie bei der Messung 1, aber die Probe steht auf dem Kalksandstein.

\paragraph{Datei:}
\htmladdnormallink{{\tt versuch\_2\_2.dat}}{../labor_journal/daten/versuch_2_2.dat}
\lstinputlisting{../labor_journal/daten/versuch_2_2.dat}

Kontrolle mit Wasserwasserwaage ob die Bürette ca. im Lot ist. Die Bürette ist unten etwas weiter hinten als oben.

\paragraph{Messung 3}\mbox{}

Wieder gleicher Aufbau wie beim der Messung 1.

\paragraph{Datei:}
\htmladdnormallink{{\tt versuch\_2\_3.dat}}{../labor_journal/daten/versuch_2_3.dat}
\lstinputlisting{../labor_journal/daten/versuch_2_3.dat}

\paragraph{Messung 4}\mbox{}

Probe horizontal $\Rightarrow$ Druckgradient auch innerhalb der Querschnittsfläche $\Rightarrow$ sollte nicht die gleichen Werte geben.
(Anmerkung: Diese Annahme ist falsch, siehe Abschnitt \ref{sec:darcy}, Seite \pageref{sec:darcy})

\paragraph{Datei:}
\htmladdnormallink{{\tt versuch\_2\_4.dat}}{../labor_journal/daten/versuch_2_4.dat}
\lstinputlisting{../labor_journal/daten/versuch_2_4.dat}

Für heute fertig, leere das System.

\paragraph{Datum: 10.12.2005}\mbox{}

Ausbau der Probe. Die Probe ist an der Seite (Kante) leicht zerbröselt $\Rightarrow$ sandiges Wasser innerhalb des Fittings. Probe zerbricht in zwei Teile beim herausstossen aus dem Schlauch (Abbildung~\ref{foto:0260}).

\paragraph{Datum: 15.05.2006}\mbox{}

Ablagerung im Uhrenglas (Abbildung~\ref{foto:0728} und \ref{foto:0729}) eventuell greift das Wasser die Probe an.
%% Ende Laborjournal

\newpage
\section{Fotos \label{sec:fotos}}
\foton{0251}{}{0252}{}
\vfill{}
\foton{0253}{}{0254}{}
\vfill{}
\foton{0255}{}{0256}{}
\vfill{}
\foton{0257}{}{0258}{}
\vfill{}
\foton{0259}{}{0260}{}
\vfill{}
\foton{0728}{}{0729}{}
\vfill{}
\foton{0863}{}{0864}{}
\vfill{}

\newpage
\section{Glossar}

%Beispiele
%\acf{EXIF} \ac{EXIF}

\begin{acronym}
\acro{DCF77}{Langwellensender, der die meisten funkgesteuerten Uhren im westlichen Europa mit der genauen Uhrzeit versorgt.}

\acro{DIN}{Deutsches Institut für Normung}
\acs{}eingetragener Verein, die nationale Normungsorganisation Deutschlands mit Sitz in Berlin.

\acro{GPL}{General Public License (\url{http://www.gnu.org/licenses/gpl.html})}

\acro{$K$}{Permeabilität}
\acs{}ist nur materialabhängig und somit Fluid neutral, auch: spezifische Permeabilität, Englisch: specific oder intrinsic permeability \cite{Freeze} verwendet $k$, Einheit: [L$^2$] oder [Darcy].

\acro{$k_f$}{Durchlässigkeitsbeiwert}
\acs{}ist fluidabhängig, auch: Durch\-lässigkeitskoeffizient, hydraulische Leitfähigkeit, Filtrationskoeffizient, Englisch: hydraulic conductivity früher oft auch coefficient of permeability \cite{Freeze} verwendet $K$, Einheit: [L/T].

\acro{MESZ}{Mitteleuropäische Sommerzeit}
\acs{}entspricht UTC$+2\,$h, Zeit im Sommer (vom letzten Sonntag des Monats März bis zum letzten Sonntag des Monats Oktober).
% TODO

\acro{MEZ}{Mitteleuropäische Zeit}
\acs{} entspricht UTC$+1\,$h.
% TODO

\acro{R}{Freies Statistik Programm, (\url{http://www.r-project.org/})}
\acs{}Verwendet die gleiche Sprache wie S (R is `GNU S'), Linzenz: GPL
%% TODO fehler bei den anführungszeichen und schlusszeichen

\acro{UTC}{Coordinated Universal Time (UTC) (Koordinierte Weltzeit)}
\acs{}Zeiteinheit ist die SI-Sekunde, entspricht etwa Zeit am Meridian durch Greenwich (Grossbritannien - nullter Längengrad).

%\acro{\protect{Viskosität}}{Zähigkeit}
%\acs{}dynamische Viskosität $\eta$, kinematische Viskosität $\nu = \frac{\eta}{\varrho}.

\end{acronym}

%% TODO
% Glossar
% Abschätzung ob Wert brauchbar mit Tabelle 2, bei der Interpretation

\cleardoublepage
\section{CD-ROM}
CD-ROM mit dieser Arbeit und allen für das Erstellen notwendigen Daten.

\end{document}