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pdftitle = {Atmoshärenphysik, Übung 2},%
pdfsubject = {Atmosphärenphysik, Umweltnaturwissenschaften 5. Semester},%
pdfauthor = {Thomas Kuster (5. Semester, D-UWIS)},%
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\date{\today{}}
\author{Thomas Kuster}
\title{UWIS, Atmosphärenphysik, Übung 2}

\begin{document}
\markright{UWIS, Atmosphärenphysik, Übung 2}
\pagestyle{myheadings}
\maketitle

\section{Frage}
Welche Feuchtemasse sind konservativ während adiabatischen Prozessen?

\subsection{Adiabatischer Prozess}
$\Delta Q = 0$

\subsection{Feuchtemasse}
\subsubsection{Absolute Luftfeuchtigkeit ($\varrho_v=$ M\,L$^{-3}$)} Das Volumen ändert bei adiabatischen Prozessen (z.\,B. adiabatischer Aufstieg) $\Rightarrow$ nicht konservativ.

\subsubsection{Relative Luftfeuchtigkeit ($[f]=$ \%)}
Volumenänderung führt zu Temperaturänderung $\Rightarrow$ nicht konservativ.

\subsubsection{Spezifische Luftfeuchtigkeit ($[q]=$ M\,M$^{-1}$)\label{spez_feuchte}}
Masse von Wasserdampf pro Masse feuchter Luft. Beide Massen bleiben erhalten, solange kein Wasserdampf kondensiert (oder neuer dazu kommt durch Verdunstung) $\Rightarrow$ konservativ (falls trockenadiabatisch).

\subsubsection{Mischungsverhältnis (M\,M$^{-1}$)}
Masse Wasserdampf pro Masse trockener Luft. Es gilt das in (\ref{spez_feuchte}) gesagte.

\subsection{Taupunkt Temperatur (T)}
Die Taupunkttemperatur nimmt mit sinkender Temperatur ab, da mit sinkender Temperatur der Sättigungsdampfdruck sinkt $\Rightarrow$ nicht konservativ.

\section{instabile Schicht}
Gegeben
\begin{eqnarray*}
\Gamma_t & = & 10^{-2}\,\rm{K\,m^{-1}}\\
\gamma & = & 3\cdot 10^{-2}\,\rm{K\,m^{-1}}\\
v_0 & = & 1\,\rm{m\,s^{-1}}\\
T_0 & = & 280\,\rm{K}\\
t_1 & = & 2\rm{'} = 120\,\rm{s}\\
\end{eqnarray*}

DGL
$$
\frac{\rm{d}^2}{\rm{d}t} + N^2 z = 0
$$

Ansatz
\begin{eqnarray*}
z(t) & = & A \cos{(Nt)} + B \sin{(Nt)}\\
z(t) & = & A \exp{(iNt)} + B \exp{-iNt}\\sqrt{\frac{9.81}{280}(0.01-0.03)}\
N & = & \sqrt{\frac{g}{T}(\Gamma_t - \gamma)}
\end{eqnarray*}

Beide Ansätze sind eine Lösung der DGL.

Da behauptet wurde, dass der trigometrische Ansatz nicht funktioniert, wird hier gezeigt, dass dieser auch funktioniert.

Anfangsbedingungen
\begin{eqnarray*}
z(0) & = & 0\,\rm{m}\\
\frac{\rm{d}}{\rm{d}t} z(0) & = & 1\,\rm{m\,s^{-1}}
\end{eqnarray*}

Einsetzen in den trigometrischen Ansatz
\begin{eqnarray*}
z(0) & = & A \underbrace{\cos{(N0)}}_{=1} + B \underbrace{\sin{(N0)}}_{=0} = 0 \Rightarrow A = 0\\
\dot{z}(0) & = & - A N \underbrace{\sin{(N0)}}_{=0} + B N \underbrace{\cos{(N0)}}_{=1} = 1 \Rightarrow B N = 1 \Rightarrow B = \frac{1}{N}\\
\Rightarrow z(t) & = & \frac{1}{N}\sin{(Nt)} 
\end{eqnarray*}

Das Argument des Sinus ist imaginär, den $\sin{(Nt)}$ könnte man jedoch durch $i \sinh{(\rm{Re}{(Nt)})}$ ersetzen, falls man unbedingt eine reelle Zahl als Argument will. Mein Taschenrechner hat damit aber kein Problem.

Einsetzen ergibt die Höhe
$$
z(120) = \left(\frac{9.81}{280}(0.01-0.03)\right)^{-\frac{1}{2}} \sin{\left(\sqrt{\frac{9.81}{280}(0.01-0.03)}120\right)} = 451.8\,\rm{m}
$$

Ableiten und einsetzen ergibt die Geschwindigkeit
\begin{eqnarray*}
\dot{z}(t) & = & \frac{\rm{d}}{\rm{d}t}\frac{1}{N}\sin{(Nt)} = \cos{(Nt)}\\
\dot{z}(120) & = & \cos{\left(\sqrt{\frac{9.81}{280}(0.01-0.03)}120\right)} = 12\,\rm{m\,s^{-1}}
\end{eqnarray*}

Nun noch der exponential Ansatz in kurz Form, aus den Anfangsbedingungen folgt
\begin{eqnarray*}
A + B & = & 0\\
iNA - iNB & = & 1 \Rightarrow 2AiN = 1\\
A & = & \frac{1}{2iN}\\
B & = & -\frac{1}{2iN} 
\end{eqnarray*}

Für die Höhe
$$
z(t) = \frac{1}{2iN}\left(\exp{(iNt)} - \exp{(-iNt)} \right)
$$

Für die Geschwindigkeit
$$
\dot{z}(t) = \frac{1}{2}\left(\exp{(iNt)}+\exp{(-iNt)}\right)
$$

Man sieht sofort, dass die eine Lösung mit der Formel von Euler in die andere überführt werden kann.

\section{Radiosonde}
\subsection{Entropie}
Trockenadiabatischer Aufstieg bis $\approx 820$\,hPa anschliessend feucht adiabatischer Aufstieg bis $500$\,hPa.
\begin{eqnarray*}
T_{910} & = & 23\mbox{\textdegree C}\\
T_{500} & = & -7\mbox{\textdegree C} \mbox{ aus Tephigram}\\
\kappa & = & 0.286\\
c_p & = & 1005\,\rm{J\,kg^{-1}\,K{-1}}
\end{eqnarray*}

Potentielle Temperatur
\begin{eqnarray*}
\theta & = & T \left( \frac{p_0}{p}\right)^\kappa\\
\theta_{910} & = & 304\,\rm{K}\\
\theta_{500} & = & 325\,\rm{K}\\ 
\end{eqnarray*}

Entropie
\begin{eqnarray*}
s & = & c_p \ln{(\theta)}\\
\Delta s & = &  c_p \ln{\left(\frac{\theta_{500}}{\theta_{910}}\right)}=64.8\,\rm{J\,kg^{-1}\,K{-1}}
\end{eqnarray*}

\subsection{latente Wärme}
spezifische Feuchte (aus Tephigram)
\begin{eqnarray*}
q & = & 12.0\,\rm{g\,kg^{-1}}\\
q & = & 4.8\,\rm{g\,kg^{-1}}\\
\Delta q & = & 7.2\,\rm{g\,kg^{-1}}\\
\end{eqnarray*}

latente Wärme
$$
\Delta q L = 7.2\,\rm{g\,kg^{-1}} \cdot 2.5 \cdot 10^{6}\,\rm{J\,kg^{-1}} = 18\,\rm{kJ\,kg^{-1}}
$$

\subsection{CAPE}
$$
\rm{CAPE} = g \int_{z_0}^{z}{B(z)\,\rm{d}z} = g \int_{z_0}^{z}{\frac{T(z)-T'(z)}{T'(z)}\,\rm{d}z} \approx g \sum_{i=1}^{n}{\frac{T(z)-T'(z)}{T'(z)}\Delta z}
$$
\begin{eqnarray*}
\Delta z & = & -\frac{\Delta p}{\varrho g}\\
p & = & \varrho R T \Rightarrow \varrho = \frac{p}{R T}\\
\Delta z & = & \frac{\Delta p R T}{p g}
\end{eqnarray*}

$$
\rm{CAPE} \approx R \sum_{i=1}^{n}{\left( \frac{\Delta p T(z)(T(z)-T'(z))}{p T'(z)} \right)}
$$

Von 810\,hPa bis 500\,hPa aufsummieren

\begin{tabular}{rrrrr}
$p_{\rm{Mitte}}$\,\rm{[hPa]} & $\Delta p$\,\rm{[hPa]} & $T'$\,\rm{[K]} & $T$ & $\frac{\Delta p T(z)(T(z)-T'(z))}{p T'(z)}$\,\rm{[K]}\\
800 & 20   & 285 & 286 & 0.03\\
770 & 32.5 & 283 & 284 & 0.04\\
745 & 55   & 283 & 283 & 0.00\\
660 & 95   & 275 & 278 & 0.44\\
555 & 67.5 & 263 & 271 & 1.00\\
525 & 27.5 & 261 & 270 & 0.49\\
500 & 12.5 & 260 & 266 & 0.15\\
& & & & Summe 2.15
\end{tabular}

$$
\rm{CAPE} \approx R_v \cdot \rm{Summe} = 461.5\,\rm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}} \cdot 2.15\,\rm{K} = 991\,\rm{J\,kg^{-1}}
$$

\subsection{Vertikalgeschwindigkeit}
$$
U = \sqrt{\underbrace{U_0^2}_{=0}+2\cdot\rm{CAPE}} = \sqrt{991\,\rm{J\,kg^{-1}}} = 31.5\,\rm{m\,s^{-1}}
$$

\subsection{realistische Vertikalgeschwindigkeit}
Die realistische Geschwindigkeit ist kleiner:
\begin{itemize}
\item Kondensierte Tropfen fallen herunter
\item Kalte Luft strömt an den Grenzen hinein $\Rightarrow$ Abkühlung der Luft und Turbulenzen
\item Aufsteigende Luft muss die darüberliegende Luft verdrängen $\Rightarrow$ Luftwiederstand
\end{itemize}

\subsection{Stabilität}
Stabilität bei anheben der Schicht
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \theta}{\partial z} & > & 0 \mbox{ stabil}\\
\frac{\partial \theta}{\partial z} & = & 0 \mbox{ neutral}\\
\frac{\partial \theta}{\partial z} & < & 0 \mbox{ instabil}
\end{eqnarray*}
Da $\Delta z$ immer $> 0$ ist, spielt nur $\Delta \theta$ eine Rolle. 

\small{
\begin{tabular}{lrrrrrrll}
Frage & $p$\,[hPa] & $T$\,\textdegree C & $T$\,K & $\theta$\,[K] & $\Delta \theta$\,[K] & Schicht & Paket\\
\hline
a) & 950 & 26 & 299 & 300 & & & $\gamma$ zwischen $\Gamma_f$ und $\Gamma_t$\\
   & 890 & 21 & 294 & 298 & -0.03 & instabil & neutral\\
\hline
b) & 840 & 16 & 289 & 296 & & & $\gamma = \Gamma_t$\\
   & 800 & 12 & 285 & 293 & -0.08 & instabil & neutral (trocken)\\
\hline
c) & 770 & 10 & 283 & 293 & & & $\gamma < \Gamma_f$\\
   & 745 & 10 & 283 & 294 & 0.04 & stabil & stabil\\
\hline
d) & 500 & -12 & 261 & 288 & & & $\gamma \approx \Gamma_f$\\
   & 400 & -25 & 248 & 288 & 0.00 & neutral & neutral (feucht)
\end{tabular}
}

Stabilität des Luftpaketes


\section{Nebelbildung}
Luftmasse 1: $T_1=30 \mbox{\textdegree C} = 303\,\rm{K} \qquad f_1=90\%$

Luftmasse 2: $T_2=2 \mbox{\textdegree C} = 275\,\rm{K} \qquad f_2=80\%$

$$
T = \frac{M_1 T_1 + M_2 T_2}{M_1 + M_2}
$$

Die Formulierung gleichgrosse Luftmassen ist mir unklar, sind sie nun gleichschwer oder gleichgross? Ich nehme mal an, dass sie die selben Masse haben und $M_x$ die Massen sind und nicht die Molmassen $\Rightarrow M_1 = M_2$.
$$
T = \frac{1}{2}(303\,\rm{K}+275\,\rm{K})=289\,\rm{K}
$$

Berechnen wie gross der Gesamtwassergehalt der beiden Luftmassen ist.

Sättigungsdampfdruck:
$$
E = E_0 \exp{\frac{17.5043\cdot T}{241.2 \mbox{\textdegree C} + T}}\qquad E_0 = 6.11213\mbox{\,hPa}
$$
\begin{eqnarray*}
E_1 = 42.376\,\rm{hPa} & \Rightarrow & e = 42.376\,\rm{hPa} \cdot 0.9 = 38.138\,\rm{hPa}\\
E_2 = 7.059\,\rm{hPa} & \Rightarrow & e = 7.059\,\rm{hPa} \cdot 0.8 = 5.647\,\rm{hPa}\\
E_{\rm{Mischung}} = 18.159\,\rm{hPa} & &
\end{eqnarray*}

Spezifische Feuchte:
$$
q = \frac{0.622 \cdot e}{p - 0.378 \cdot e}
$$
\begin{eqnarray*}
q_1 & = & 24.1\,\rm{g\,kg^{-1}}\\
q_2 & = & 3.52\,\rm{g\,kg^{-1}}\\
q_{\rm{Mischung}} & = & 11.4\,\rm{g\,kg^{-1}}\\
\Delta q & = & \frac{q_1 + q_2}{2} - q_{\rm{Mischung}} = 2.42\,\rm{g\,kg^{-1}}
\end{eqnarray*}

\end{document}