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{%
pdftitle = {Statistik, Zusammenfassung},%
pdfsubject = {Statistik, Zusammenfassung, Umweltnaturwissenschaften 4. Semester},%
pdfauthor = {Thomas Kuster (4. Semester, D-UWIS)},%
pdfkeywords = {Statistik, Zusammenfassung},%
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}

\setlength{\parindent}{0pt} %kein einzug links nach einem abschnitt

\date{\today{}}
\author{Thomas Kuster}
\title{UWIS, Statistik, Zusammenfassung}

% Stichwortverzeichnis erstellen
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\begin{document}
\markright{UWIS, Statistik, Zusammenfassung}
\pagestyle{myheadings}

%\maketitle

\tableofcontents

% --- Grundbegriffe --- %
\section{Grundbegriffe}
\subsection{Zufallsvariable \index{Zufallsvariable}}
$$
X(\omega) = x
$$
Eine Zufallsvariable $X$ ist eine Funktion welche einem Elemetarereignis ($\omega$) einen Zahlenwert $x$ zuordnet. $\omega$ ist zufällig, nicht die Funktion $X$.

%\subsection{Kennzahlen einer Verteilung}
%\subsection{Erwartungswert \index{Erwartungswert}}
%Der Erwartungswert beschreibt die mittlere Lage der Verteilung (Skript S. 14):

%diskret:
%$$
%\mathcal{E}(X) = \sum_{x \in W_x}{x P(X=x)},\qquad W_x = \mbox{ Wertebereich von } X
%$$

%stetig:
%$$
%\mathcal{E}(X) = \int_{-\infty}^{\infty}{x f(x)\,dx}
%$$

%$$
%Var(X) = \sum{x \in W_x}{( x-\mathcal{E}(X) )^2 P(X=x)}
%$$

%stetig:
%$$
%Var(X) = \int_{-\infty}^{\infty}{( x-\mathcal{E}(X) )^2 f(x)\, dx}
%$$

\subsubsection{Standardabweichung/Varianz \index{Standardabweichung}\index{Varianz}}
Die Varianz beschreibt die Variabilität der Verteilung, die Standardabweichung deren Streuung (Skript S. 14)
\begin{eqnarray*}
\underbrace{\sigma(X)}_{\mbox{Standardabweichung}} & = & \sqrt{Var(X)}\\
\sigma(X)^2 & = & \underbrace{Var(X)}_{\mbox{Varianz}}
\end{eqnarray*}

$$
Var(X) = \mathcal{E}\left( (X-\mathcal{E}(X) )^2 \right)
$$

\subsubsection{Erwartungswert (Skript S. 14, S. 32)}
$$
\mathcal{E}[X] = \sum_{x \in W_x}{x P(X=x)} = \int_{-\infty}^\infty{x f(x)\,dx} \qquad \mbox{mit $W_x = $ Wertebereich von X}
$$

\subsubsection{Rechenregel (Skript S. 33)\index{Rechenregel Erwartungswert, Varianz}}
\begin{eqnarray*}
\mathcal{E}[a+bX] & = & a + b \mathcal{E}[X]\\
Var(X) & = & \mathcal{E}[X^2] - (\mathcal{E}[X])^2 \quad \mbox{stupides Einsetzen}\\
Var(a + bX) & = & b^2 Var(X)
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Arithmetische Mittel \index{Arithmetische Mittel}}
diskret:
$$
\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}{x_i}
$$

\subsection{Mengenlehre (Skript S. 10)\index{Mengenlehre}}
\begin{eqnarray*}
\mbox{Vereinigt:}& & \cup\\
\mbox{Durchschnitt/Schnittmenge:}& & \cap 
\end{eqnarray*}

\subsection{Quantil/Median (Skript S. 28)\label{Quantil} \index{Quantil} \label{Median} \index{Median}}
empirische $\alpha$-Quantil ist der Wert, bei dem $\alpha \cdot 100\%$ der Datenpunkte kleiner und $(1-\alpha) \cdot 100\%$ der Punkte grösser.

Werte ordnen:
$$
x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n
$$

$$
\alpha\mbox{-Quantil} =
\begin{cases}
\frac{1}{2}(x_{\alpha n} + x_{\alpha n + 1}) &: \quad \alpha n \mbox{ ganze Zahl}\\
x_k &: \quad \mbox{sonst, mit } k = \mbox{ nächst grössere ganze Zahl von } \alpha n
\end{cases}
$$

Median (=50\%-Quantil) ist der Wert $x_{n/2+1/2}$ ($n$ ungerade) bzw. $(x_{n/2} + x_{n/2+1})/2$ ($n$ gerade).

\subsection{Normaler Wert \label{Normaler Wert} \index{Normaler Wert}}
Definition: Ein normaler Wert ist höchstens 1.5 mal die Quartilsdifferenz von einem der beiden Quartile entfernt.

% --- Verteilungen --- %
\section{Verteilungen}

\subsection{Binominalverteilung ($X \sim Bin(n,p)$) (diskret) (Skript S. 13f) \index{Binominalverteilung}\label{Bin}}
$$
X \sim Bin(n,p)
$$

Mit $Y = 2$ Werte $(a,b)$ $\mathcal{E}[Y] = aP(x=a) + bP(x=b)$ %TODO stimmt das

\begin{tabular}{lcl}
$n$ & $=$ & Anzahl Ereignisse\\
$p$ & $=$ & Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen des Ereignisses\\
$W$ & $=$ & {0,1}
\end{tabular}

$$
p_0[X = k] = {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}
$$

$$
p_0[X \leq c] = \sum_{k=0}^{c}{{n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}} \leq \alpha \overset{\mbox{ i.\,a. }}{=} 0.05
$$

Wertebereich ist beschränkt: $W=\{ 0,1,2,\dots,n \}$, falls nicht beschränkt Poissonverteilung (siehe \ref{Poisson}) nehmen.

\subsubsection{Erwartungswert}
$$
\mathcal{E}[X] = np
$$

\subsubsection{Varianz (Skript S. 16)}
$$
Var(X) = np(1-p) \qquad \Rightarrow \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}
$$

\subsubsection{Binominalkoeffizienten (\glqq{}$n$ Tief $k$\grqq{}) (FS: S. 28)\index{Binominalkoeffizienten (Tief)}}
$$
{n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
$$

\subsubsection{Vertrauensintervall (Skript S. 24)}
% TODO: Grenzen dabei oder nicht
$$
I[x,n] \approx \frac{x}{n} \pm 1.96 \sqrt{\frac{x}{n}(1-\frac{x}{n})\frac{1}{n}} \qquad \Rightarrow \qquad \left[\frac{x}{n}-\cdots,\frac{x}{n}+\cdots\right]
$$
Approximation mit Normalverteilung (oder auch Poissonverteilung siehe Skript S. 17)

\subsection{Bernoulliverteilung ($X \sim Bernoulli(p)$) (diskret) (Skript S. 16)\index{Bernoulliverteilung}}
$X \sim Bernoulli(p)$, Spezialfall der Binominalverteilung (nur 1 Ereignis).

$\mathcal{E} = 0 \cdot P[X=0] + 1 \cdot P[X=1] = p$

\subsection{Poissonverteilung ($X \sim Poisson(n,p)$) (diskret) (Skript S. 17) \label{Poisson}\index{Poissonverteilung}}
$$
P[X=x] = e^{-\lambda} \frac{\lambda^x}{x!}
$$
$\lambda$: Wert der Bekannt ist.

Falls der Wertebereich nicht wie bei der Binomial($n,p$)-Verteilung (siehe \ref{Bin}) beschränkt ist, bietet sich für Zähldaten die Poissonverteilung an.

Plotten von $P(x)$ ergibt die Wahrscheinlichkeitsfunktion (Glockenkurve), $\sum_{x=0}^{\infty}{P(x)}$ (bzw. bis $2np$ da $P(>2np) \approx 0$) die kumulative Verteilungsfunktion.

Mit $\lambda = np$ (falls $n$ gross) kann die Binominalverteilung durch die Poissonverteilung approximiert werden.

\subsubsection{Erwartungswert und Varianz}
$$
\mathcal{E}[X] = \lambda \qquad Var(X) = \lambda \qquad \sigma(X) = \sqrt{\lambda}
$$

\subsubsection{Vertrauensintervall}
Approximation für zweiseitiges Vertrauensintervall (Konfidenzintervall) zum Niveau $1-\alpha = 0.95$:

\begin{tabular}{ll}
$I[x] \approx x \pm 1.96 \sqrt{x}$ & mit $x$ Anzahl Ereignisse\\
$I_{Einzelmessung}[x] \approx I[x]/n$ & Vertrauensintervall für eine Messung
\end{tabular}

Z.\,B. werden in $n=5$ Messungen 1, 0, 2, 1, 3 Aspestfasern gefunden $\Rightarrow$ 7 Ergebnisse.

\subsection{Stetige Zufallsvariablen (Skript S. 31) \index{Stetige Zufallsvaiablen}}
Eine Zufallsvariable $X$ heisst stetig, wenn deren Wertebereich $W_X$ kontinuierlich ist. Wahrcheinlichkeitsverteilung kann nur noch für alle Intervalle angeben werden, mit der kumulativen Verteilungsfunktion $F(x) = P(X \leq x)$:
$$
P(X \in (a,b]) = P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)
$$

\subsubsection{Dichte (Skript S. 32) \index{Dichte}}
Die Idee einer \glqq{}Punkt\grqq{}-Wahrscheinlichkeit $P(X=x)$ kann im Infinitesimalen auch für stetige Zufallsvariablen formuliert werden. Die (Wahrscheinlichkeits-)Dichte $f(.)$ ist die Ableitung der kumulativen Verteilungsfunktion $F(.)$ (Übung 5).

Es gilt:
\begin{enumerate}
\item $f(x) \geq 0\quad \forall x$ (da F(.) monoton wachsend ist)
\item $P(a < X \leq b) = \int_{a}^{b}{f(x)\,dx}$ \label{PaXb}
\item $\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)\,dx}=1$ (wegen \ref{PaXb}.)
\end{enumerate}

\subsection{Standardisieren (Skript S. 36f)}
Eine stetige Zufallsvariable $X$ kann immer linear transformiert werden, so dass $\mathcal{E} = 0$ und $Var = 1$:
$$
g(x) = -\frac{\mathcal{E}(X)}{\sigma_X} + \frac{1}{\sigma_X}x \Rightarrow Z = g(X) = \frac{X-\mathcal{E}(X)}{\sigma_X}
$$
Falls $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma)$ so ist $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ (gültig bei Normalverteilung, im Allgemeinen nicht).

\subsubsection{Kennzahlen von stetigen Verteilungen (Skript S. 32)\index{stetige Verteilung}}
$$
\mathcal{X} = \int_\infty^\infty{x f(x) dx}
$$
$$
Var(X) = \int_\infty^\infty{(x-(\mathcal{E}(X))^2 f(x) dx} = \mathcal{E}\left((X-\mathcal{E}(X))^2\right) 
$$

\subsection{Uniforme Verteilung (stetig) (Skript S. 34)}
Gleichmässige Verteilung, jeder Wert ist gleich wahrscheinlich. Da stetig Verteilung, ist die Wahrscheinlichkeit genau einen bestimmten Wert zu erhalten $= 0$.

\subsection{Exponentialverteilung (Skript S. 34)\index{Exponentialverteilung}}
Abstände (meist Zeitdauer) zwischen Ereignissen. Beachte Anzahl Ausfälle ist in gegebenen (Zeit-) Abstand ist Poissonverteilt (\ref{Poisson})

Dichte:
$$
f(x) =
\begin{cases}
\lambda \exp{-\lambda x} &: \quad \mbox{falls } x \geq 0\\
0 &: \quad \mbox{sonst}
\end{cases}
$$

kumulative Verteilungsfunktion:
$$
F(x) =
\begin{cases}
1- \exp{-\lambda x} &: \quad \mbox{falls } x \geq 0\\
0 &: \quad \mbox{sonst}
\end{cases}
$$

\subsubsection{Erwartungswert und Varianz}
$$
\mathcal{E} = \frac{1}{\lambda} \mbox{ bei } X \sim Exp(\lambda)
$$
$$
Var(X) = \frac{1}{\lambda^2} \qquad  \sigma_X = \sqrt{Var(X)}
$$

\subsection{Normalverteilung (stetig) (Skript S. 35)\index{Normalverteilung}}
Normal-Verteilung ist die häufigste Verteilung für Messwerte.

\subsubsection{Erwartungswert und Varianz}
Für $\mathcal{N}(\mu,\sigma_X^2)$:
$$
\mathcal{E}[X] = \mu
$$
$$
Var(X) = \sigma^2 \qquad \sigma_X = \sqrt{Var(X)}
$$

\subsubsection{Standardisierung \index{Standardisierung}}
Falls $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma_X^2)$, so ist die standardisierte Zufallsvariable
$$
Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)
$$
Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei $\mathcal{N}(\mu,\sigma_X^2)$

$X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma_X^2)$ und gesucht ist $P(X \leq c)$
$$
P(X \leq c) = P\left( \frac{X-\mu}{\sigma} \leq \frac{c-\mu}{\sigma} \right) = P\left(Z \leq \Phi\left(\frac{c-\mu}{\sigma}\right)\right)
$$

Quantil
$$
\alpha\mbox{-Quantil} = (\Phi^{-1}(\alpha)+{-\mu})\frac{1}{\sigma}
$$
ACHTUNG Weiderspruch zu Beispiel auf Seite 37 im Skript.

\subsubsection{Zentraler Grenzwertsatz (Skript S. 41)}
$$
\bar{X}_n \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma_X^2/n) \mbox{ falls } X_1,\dots,X_n \mbox{ i.i.d} \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma_X^2)
$$
$$
\bar{X}_n \approx \mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2_X}{n})
$$
Approximation wird mit grösserem $n$ besser, zudem ist sie auch besser je näher sie bei $\mathcal{N}(\mu,\sigma_X^2)$ liegt,
ebenso gilt für die standardisierte Zufallsvariable:
$$
\frac{\sqrt{n}(\bar{X}_n-\mu)}{\sigma_X} \approx \mathcal{N}(0,1)
$$

\subsection{t-Verteilung (Skript S. 43) (stetig) \index{t-Verteilung}}
Langschwänziger als Normalverteilung.
 
Für $T \sim t_\nu$ ($\nu = $ degrees of freedom) gilt:
$$
\mathcal{E}(T) = 0
$$

$$
Var(T) = \frac{\nu}{\nu-2}
$$

% --- Statistischer Test --- %
\section{Statistischer Test \index{Statistischer Test}}

\subsection{0-/A-Hypothese (Skript S. 20f)\index{0-Hypothese}\index{A-Hypothese}}
\begin{tabular}{llcl}
$H_0$:& $\mu$ & $=$  & $\mu_0$
\end{tabular}

Im Allgemeinen möchte man zeigen, dass man $H_0$ verwerfen kann (gewünschtes Ergebnis), kann $H_0$ nicht verworfen werden, kann nichts gezeigt/statistisch belegt werden.

\begin{tabular}{llcll}
$H_A$:& $\mu$ & $\neq$  & $\mu_0$ & (zweiseitig)\\
$H_A$:& $\mu$ & $>$  & $\mu_0$ & (einseitig nach oben)\\
$H_A$:& $\mu$ & $<$  & $\mu_0$ & (einseitig nach unten)
\end{tabular}

\begin{tabular}{lcl}
$\mu_0$ & $=$ & Wert der Bekannt ist z.\,B. Herstellerangabe, Wert der Erreicht werden soll,\dots\\
$\mu$ & $=$ & Effektiver Wert, kennt nur das Orakel
\end{tabular}

\subsection{Fehler 1. Art (Skript S. 22)\index{Fehler 1. Art}}
Fälschliches Verwerfen von $H_0$, obwohl $H_0$ richtig ist. Wird direkt mittels Signifikanzniveau $\alpha$ kontrolliert.

\subsection{Fehler 2. Art (Skript S. 22)\index{Fehler 2. Art}}
Fälschliches Beibehalten von $H_0$, obwohl $H_A$ richtig wäre. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art wird grösser falls $\alpha$ kleiner gewählt wird.

\subsubsection{Macht}
$1-$ die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art.

\subsection{P-Wert (Skript S. 22f)\index{P-Wert}}
Der P-Wert ist definiert als das kleinste Signifikanzniveau, bei dem $H_0$ (gerade noch) verworfen wird.

\subsection{(Punkt-) Schätzung (Skript S. 41)\label{std-abweichung}\index{empirische Standardabweichung}\index{Punktschätzung}\index{Schätzung}}
Die (Punkt-) Schätzung für den Erwartungswert:
$$
\hat{\mu} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{X_i}
$$
und die Varianz (empirische Standardabweichung $\hat{\sigma}_X^2$):
$$
\sigma_X^2 = Var(X) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{(X_i-\bar{X})^2}
$$

\subsection{z-Test für $\mu$ (Skript S. 42) \index{z-Test}}
Modell: $X_1, \dots, X_n$ i.i.d. (unabhängig, identisch verteilt) mit Verteilung $\mathcal{N}(\mu, \sigma_X^2)$.

Daten: $x_1, \dots ,x_n$ Realisierungen von $X_1, \dots, X_n$
 
\textbf{Beachte meist nur eine Realisierung (1 Versuch) $\Rightarrow n=1$}

Varianz: $\sigma_X^2$ bekannt.

$H_0: \mu = \mu_0$

$H_A: \mu \neq \mu_0$ (oder $<$ bzw. $>$)

Teststatistik:
$$
z = \frac{\sqrt{n}(\bar{x}_n - \mu_0)}{\sigma_X}
$$

\subsubsection{Verwerfungsbereich} $K=(-\infty,\mu_0-\Phi^{-1}(1-\alpha/2)\sigma_X/\sqrt{n}]\cup[\mu_0+\Phi^{-1}(1-\alpha/2)\sigma_X/\sqrt{n},\infty)$

Verwerfe $H_0$, falls arithmetisches Mittel der Daten $\bar{x}_n \in K$

Zusammenfassend: verwerfe $H_0$ falls:
\begin{eqnarray*}
\abs{\frac{\sqrt{n}(\bar{x}_n - \mu_0)}{\sigma_X}} \quad > & \Phi^{-1}(1-\alpha/2) & \mbox{bei } H_A: \mu\neq\mu_0\\
\frac{\sqrt{n}(\bar{x}_n - \mu_0)}{\sigma_X} \quad < & -\Phi^{-1}(1-\alpha) & \mbox{bei } H_A: \mu < \mu_0\\
\frac{\sqrt{n}(\bar{x}_n - \mu_0)}{\sigma_X} \quad > & \Phi^{-1}(1-\alpha) & \mbox{bei } H_A: \mu > \mu_0
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Vertrauensintervall (Skript S. 45)}
Diejenigen Werte $\mu$ bei denen der Test nicht verwirft:
$$
\bar{x}_n \pm \Phi^{-1}(1-\alpha/2) \frac{\sigma_x}{\sqrt{n}} \quad \mbox{falls $\sigma_x$ bekannt, sonst t-Test}
$$

\subsection{t-Test für $\mu$(Skript S. 43)\index{t-Test}}
Modell: $X_1, \dots, X_n$ i.i.d. (unabhängig, identisch verteilt) mit Verteilung $\mathcal{N}(\mu, \sigma_X^2)$.

Daten: $x_1, \dots ,x_n$ Realisierungen von $X_1, \dots, X_n$

Varianz (Schätzung):
$$
\sigma_X^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X}_n)^2
$$

$H_0: \mu = \mu_0$

$H_A: \mu \neq \mu_0$ (oder $<$ bzw. $>$)

Teststatistik:
$$
t = \frac{\sqrt{n}(\bar{x}_n-\mu_0)}{\hat{\sigma}_X}
$$
und deren Verteilung unter der Nullhypothese $H_0$ ist: $T = \frac{\sqrt{n}(\bar{X}_n-\mu_0)}{\hat{\sigma}_X} \sim t_{n-1}$.

\subsubsection{Verwerfungsbereich} $K=(-\infty,\mu_0-t_{n-1,1-\alpha/2}\hat{\sigma_X}/\sqrt{n}]\cup[\mu_0+t_{n-1,1-\alpha/2}\hat{\sigma_X}/\sqrt{n},\infty)$

Verwerfe $H_0$, falls $t \in K$

Zusammenfassend: verwerfe $H_0$ falls:
\begin{eqnarray*}
\abs{t} = \abs{\frac{\sqrt{n}(\bar{x}_n - \mu_0)}{\hat{\sigma}_X}} \quad > & t_{n-1,1-\alpha/2} & \mbox{bei } H_A: \mu\neq\mu_0\\
t = \frac{\sqrt{n}(\bar{x}_n - \mu_0)}{\hat{\sigma}_X} \quad < & -t_{n-1,1-\alpha} & \mbox{bei } H_A: \mu < \mu_0\\
t = \frac{\sqrt{n}(\bar{x}_n - \mu_0)}{\hat{\sigma}_X} \quad > & t_{n-1,1-\alpha} & \mbox{bei } H_A: \mu > \mu_0
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Vertrauensintervall (Skript S. 45)}
$$
\bar{x}_n \pm t_{n-1,1-\alpha/2} \frac{\hat{\sigma}_x}{\sqrt{n}} \quad \mbox{falls $\sigma_x$ unbekannt, sonst z-Test}
$$

\subsubsection{gepaart (Skript S. 48) \index{gepaart}}
Bei der Analyse von gepaarten Vergleichen arbeitet man mit den Differenzen innerhalb der Paare:
$$
u_i = x_i-y_i \qquad (i=1,\dots,n)
$$
Realisierungen von i.i.d. Zufallsvariablen $U_1,\dots,U_n$. Kein Unterschied: $\mathcal{E}[U_i]=0$.

\subsubsection{ungepaart (Skript S. 48, Serie 8 (1b))\index{ungepaart}}
$H_0: \mu_X = \mu_Y$

$H_A: \mu_X \neq \mu_Y$ (oder $<$ bzw. $>$)

Teststatistik:
$$
T = \frac{\bar{X}_n - \bar{Y}_m}{\sqrt{ \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \right) \frac{1}{n+m-2} \left( (n-1)s_x^2 + (m-1)s_y^2 \right) }} = \frac{\bar{X}_n - \bar{Y}_m}{S_{pool}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}
$$
bzw. falls $m=n$
$$
T = \frac{\bar{X}_n - \bar{Y}_m}{\sqrt{ \frac{1}{n} (s_x^2 + s_y^2) }}
$$


mit $S_{pool} = \frac{1}{n+m-2}\left( \sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X}_n)^2 + \sum_{i=1}^{m}(Y_i-\bar{Y}_m)^2 \right)$ bzw. $s_{pool} = \sqrt{\frac{Var(X)+Var(Y)}{2}}$

\subsubsection{Verwerfungsbereich} 
Zusammenfassend: verwerfe $H_0$ falls:
\begin{eqnarray*}
\abs{T} = \frac{\abs{\bar{X}_n - \bar{Y}_m}}{S_{pool}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}} \quad > & t_{n+m-2,1-\alpha/2} & \mbox{bei } H_A: \mu_X\neq\mu_Y\\
T = \frac{\bar{X}_n - \bar{Y}_m}{S_{pool}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}} \quad < & -t_{n+m-2,1-\alpha} & \mbox{bei } H_A: \mu_X < \mu_Y\\
T = \frac{\bar{X}_n - \bar{Y}_m}{S_{pool}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}} \quad > & t_{n+m-2,1-\alpha} & \mbox{bei } H_A: \mu_X > \mu_Y
\end{eqnarray*}

\subsection{Test für $\mu$ bei nicht-normalverteilten Daten (Skript S. 45)}
\subsubsection{Vorzeichentest (Skript S. 46)\index{Vorzeichentest}}
Modell: $(X_i)_{1 \leq i \leq n}$ i.i.d. (unabhängig, identisch verteilt) mit Verteilung $X_i \sim F$ (F irgendeine Verteilung welche symetrisch ist) und Median $\widetilde{m}$.

$H_0: \widetilde{m} = m_0 =$ bekannter Wert (z.\,B. Gerät misst richtig)

$H_A: \widetilde{m} \neq m_0$ (z.\,B. Gerät misst falsch)

Teststatistik K: Wieviele Werte liegen unter dem Median:
$$
K := \#\{i | X_i < m_0 \}
$$

Unter $H_0$ ist $K \sim Bin(n,\frac{1}{2})$, wodurch mit der Fausregel:
$$
I \approx \left[\frac{n}{2}-\sqrt{n},\frac{n}{2}+\sqrt{n} \right]
$$
das 5\%-Vertrauensintervall folgt und draus wiederum der Verwerfungsbereich: $K = [0,n] \backslash I$. 
Ohne Fausregel, die kumulative Verteilfunktion bis $\leq \alpha$ berechnen:
$$
P[V=0] + P[V=1] + \cdots P[V=k] \leq \alpha \mbox{ mit } P[V=k] = {n \choose k} \left( \frac{1}{2} \right)^{n}
$$
ergibt den Verwerfungsbereich: $K = [0,c] \cup [n-k,n]$.

\subsubsection{Wilcoxon-Test (Skript S. 47)\index{Wilcoxon-Test}}
Kompromiss zwischen t-Test und Vorzeichentest. Setzt keine Normalverteilung voraus (wie t-Test) nützt die Daten jedoch besser aus wie ein Vorzeichentest (hat besser Macht als t-Test und Vorzeichentest).

% --- Mehrere Variablen --- %
\section{Mehrere Variablen \index{Mehrere Variablen}}
Zur numerische Zusammenfassung der Abhängigkeit, der Daten von der Form: $(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)$, ist die empirische Korrelation $r$ am gebräuchlichsten (nie $r$ berechnen ohne ein Streudiagramm zu plotten). $r$ ist eine dimensionslose Zahl zwischen -1, 1 (Vorzeichen: Richtung, Betrag: stärke des Zusammenhangs ($0 =$ keiner)).
$$
r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y},\qquad s_{xy} = \frac{\sum_{i=1}^{n}{(x_1-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{n-1}
$$

% --- R --- %
\section{R}
\subsection{R-Output interpretieren (Vorlesungsnotizen 16.6.2005)\index{R-Output}}
Regressionsmodell:
$$
y_i = \beta_0 + \beta_1 x_1i + \cdots + \beta_n x_ji + \epsilon_i, \qquad  \epsilon_i \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)
$$

Coefficients:\\
\begin{tabular}{lrrrl}
 & Estimate & Std. Error & t value & Pr($>\abs{t}$)\\
(Intercept) & $\hat{\beta}_0$  & $\widehat{s.e.}(\hat{\beta}_0)$ & $\hat{\beta}_0/\widehat{s.e.}(\hat{\beta}_0)$ & P-Wert für\\
 & & & & $H_0: \beta_0 = 0;\, H_A: \beta_0 \neq 0$\\
x & $\hat{\beta}_1$  & $\widehat{s.e.}(\hat{\beta}_1)$ & $\hat{\beta}_1/\widehat{s.e.}(\hat{\beta}_1)$ & P-Wert für\\
 & & & & $H_0: \beta_1 = 0;\, H_A: \beta_1 \neq 0$
\end{tabular}

Residual standard error: $\hat{\sigma}$ on $n-2$ (bzw. $n-(j+1)$: $(j+1) =$ Anzahl Variablen, hier $\beta_0$, $\beta_1$) degrees of freedom (df)\\
Multiple R-squared: \dots (je besser, je näher bei 1), Adjusted R-squared: \dots
%TODO \dots durch R^2 bzw. was auch immer ersetzen.

\subsubsection{Vertrauensintervall}
$$
\beta_j \pm t_{df, 1-\alpha} \cdot \mbox{Std. Error}
$$

\subsubsection{Residuenquadratsumme}
$$
\hat{\sigma}^2\cdot \mbox{ degrees of freedom}
$$

\subsubsection{F-Test (F-statistic) (Skript S. 64)}
P-Wert für

$H_0: \beta_0 = \beta_1 = \cdots = \beta_{j+1} = 0$

$H_A:$ mindestens ein $\beta_i \neq 0$ mit $i = \{0,\dots,j\}$

\subsection{Grafisch\label{Box Plot}\index{Plot}}
\input box_plot.pdf_t

\newpage
% Index soll Stichwortverzeichnis heissen
\renewcommand{\indexname}{Stichwortverzeichnis}
% Stichwortverzeichnis soll im Inhaltsverzeichnis auftauchen
\addcontentsline{toc}{section}{Stichwortverzeichnis}
\printindex

%\glqq{}Nicht alles was zählt, kann gezählt werden, und nicht alles was gezählt werden kann, zählt\grqq{}, Albert Einstein

%TODO i.i.d Zeug usw.

%Macht

%Median stetig S.32
%Quantil S. 33
%Varianz pro Verteilung S. 16 fü Bin
%ungepaarte gepaarte Stichprobe

\end{document}
