UWIS, Statistik, Zusammenfassung

Thomas Kuster 8. August 2005

1 0-Hypothese

H_{0}: p ≠ p_{0} (zweiseitig)
H_{0}: p > p_{0} (einseitig nach oben)
H_{0}: p < p_{0} (einseitig nach unten)
p_{0} = Wert der Bekannt ist z. B. Herstellerangabe, Wert der Erreicht werden soll,…
p = Effektiver Wert, kennt nur das Orakel

2 Verteilungen

2.1 Binominalverteilung (X ∼ Bin(n, p))

X ∼ Bin(n, p) : E[X] = np

n = Anzahl Ereignisse
p = Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen des Ereigniss

p_{0}[X ≤ c] = ∑_{k=0}^{c} \binom{n}{k}p^{k}(1 − p)^{n−k} ≤ α {i. a. \atop =} 0.05

2.1.1 Binominalkoeffizienten (Tief) (FS: S. 28)

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n − k)!}

2.2 Bernoulliverteilung (X ∼ Bernoulli(p))

X ∼ Bernoulli(p), Spezialfall der Binominalverteilung (nur 1 Ereignis). E = 0 · P [X = 0] + 1 · P [X = 1] = p

2.3 Poissonverteilung (X ∼ P oisson(n, p))

P [X = x] = e^{λ} \frac{λ^{x}}{x!}

λ: Wert der Bekannt ist.

Ploten von P (x) ergibt die Wahrscheinlichkeitsfunktion (Glockenkurve), ∑_{x=0}^{∞} P (x) (bzw. bis 2np da P (> 2np) ≈ 0) die kumulative Verteilungsfunktion. Mit λ = np (falls n gross) kann die Binominalverteilung durch die Poissonverteilung approximiert werden.

2.3.1 Vertrauensintervall

Approximation für zweiseitiges Vertrauensintervall (Konfidenzintervall) zum Niveau 1 − α = 0.95:

I = I[x] ≈ x ± 1.96\sqrt{x} mit x Anzahl Ereignisse

Z. B. werden in 5 Messungen 1, 0, 2, 1, 3 Aspestfasern gefunden ⇒ 7 Ergebnisse.

2.4 Exponentialverteilung

E = \frac{1}{λ} bei X ∼ Exp(λ) (Skript S. 34).

3 Dichte

Die Dichte ist die Ableitung der kumulativen Verteilungsfunktion (Übung 5).

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� Thomas Kuster