\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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\date{\today{}}
\author{Thomas Kuster}
\title{UWIS, Physik II, Lösung Serie 4}

\begin{document}
\markright{UWIS, Physik II, Lösung Serie 4}
\pagestyle{myheadings}

\maketitle

\section{Schreibtischlampe}

\begin{eqnarray*}
P & = & 60 \mbox{W Leistung der Lampe}\\
U & = & 220 \mbox{V alte Netzspannung, effektiver Wert}\\
\nu & = & 50 \mbox{Hz Netzfrequenz}\\
A & = & 7.5 \cdot 10^{-7} \mbox{m$^2$ Kabelquerschnitt}\\
\varrho & = & 8.930 \cdot 10^3 \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m$^3$}} \mbox{ Dichte von Kupfer}\\
M & = & 63.546 \frac{\mbox{kg}}{\mbox{kmol}} \mbox{ Molmasse von Kupfer}\\
N_A & = & 6.023 \cdot 10^{26}  \frac{1}{\mbox{kmol}} \mbox{ Molmasse von Kupfer}\\
q & = & 1.602 \cdot 10^{-19} \mbox{C Elementarladung}\\
n & = & \mbox{Anzahl frei Elektronen}
\end{eqnarray*}

Ab 1987 wurden die Netzspannungen in Europa schleichend aneinander angeglichen, seit 2003 ist die Spannung in allen Länder 230V $\pm10\%$.

\subsection{Geschwindigkeit ($v$) der Elektronen \label{v}}
Betrachte nur $\abs{v}$, da Wechselstrom

\begin{eqnarray}
I & = & n q v A \label{q}\\
P & = & U I \Rightarrow I = \frac{P}{U} \label{I}\\
n & = & \frac{\varrho N_A}{M} \mbox{ da pro Atom ein freies Elektron} \label{n}
\end{eqnarray}

$$
\mbox{(\ref{q})} \Rightarrow v = \frac{I}{n q A}  \overset{\mbox{(\ref{I})}}{=} \frac{P}{U n q A} \overset{\mbox{(\ref{n})}}{=} \frac{P M}{U \varrho N_A q A} =
$$
$$
\frac{60 \frac{ \mbox{J}}{\mbox{s}} \cdot 63.546\frac{\mbox{kg}}{\mbox{kmol}} }{220\frac{\mbox{J}}{\mbox{C}} \cdot 8.930 \cdot 10^3\frac{\mbox{kg}}{\mbox{m$^3$}} \cdot 6.023 \cdot 10^{26}  \frac{1}{\mbox{kmol}} \cdot 1.602 \cdot 10^{-19} \mbox{C} \cdot 7.5 \cdot 10^{-7} \mbox{m$^2$} } =
$$
$$
2.682 \cdot 10^{-5} \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} \approx 2.7 \cdot 10^{-5} \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}
$$
$\Rightarrow \abs{v}$ ist sehr klein!

\subsection{Bewegungsrichtung}
Die Elektronen bewegen sich mit 50Hz hin und her $\Rightarrow \bar{v} = 0$, $\abs{v}$ siehe (\ref{v})

\section{Widerstandswürfel}

\begin{figure}[htb]
\includegraphics[width=6cm]{widerstandswuerfel.eps}
\caption[Widerstandswürfel]{\label{Wuerfel}W\"urfel}
\end{figure}

\begin{eqnarray}
R_i & = & 1\Omega \mbox{ Widerstand} \label{R_i}\\
i & = & \mbox{Positonsindex wie in der Abbildung (\ref{Wuerfel}) für $U$ und $I$}\\
U_{AB} & = & \mbox{Spannung von A nach B}\\
U_{tot} & = & \mbox{Spannung von Y nach X}\\
I_6 + I_7 & = & I_2 \Rightarrow I_7 = \frac{I_2}{2} \mbox{ da $I_6 = I_7$ (Symmetrie)} \label{I_7}\\
I_2 & = & I_{12} \mbox{ Symmetrie} \label{I_2}\\
U_2 & = & U_{11} \mbox{ Symmetrie} \label{U_2}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
U_{AB} & = & U_{tot} - U_2 - U_{11} = U_{tot} - R_2 I_2 - R_{11} I_{11} \label{1}\\
U_{AB} & = & U_7 + U_{12} - U_{11} =  R_7 I_{7} + R_{12} I_{12} - R_{11} I_{11} \label{2}
\end{eqnarray}

$$
\mbox{(\ref{1}) \& (\ref{2}) mit (\ref{R_i})} \Rightarrow U_{tot} + R(-I_2-I_{11}) = R(I_7+I_{12}-I_{11}) \Rightarrow
$$
$$
U_{tot} = R(I_7+I_{12}-I_{11}+I_{2}+I_{11}) = R(I_7+I_{12}+I_{2}) \overset{\mbox{(\ref{I_7}) \& (\ref{I_2})}}{=} 
$$
\begin{eqnarray}
R(\frac{I_2}{2}+I_{2}+I_{2}) = R \frac{5 I_2}{2} \Rightarrow I_2 = \frac{2 U_{tot}}{5 R} \label{I_2_2}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
U_2 = R I_2 \overset{\mbox{(\ref{I_2_2})}}{=} R \frac{2 U_{tot}}{5 R} = \frac{2 U_{tot}}{5} \label{U_2_2}
\end{eqnarray}
$$
U_{AB} \overset{\mbox{(\ref{1})}}{=} U_{tot} - U_2 - U_{11} \overset{\mbox{(\ref{U_2})}}{=} U_{tot} - 2 U_2 \overset{\mbox{(\ref{U_2_2})}}{=} U_{tot} - 2 \frac{2 U_{tot}}{5} =
$$
$$
U_{tot} - \frac{4 U_{tot}}{5} = \frac{1}{5} U_{tot}
$$

\subsection{Proton im Magnetfeld}
\begin{eqnarray*}
B & = & 0.2 \mbox{T Magnetfeld}\\
r & = & 0.3 \mbox{m Radius}\\
v & = & \mbox{ Geschwindigkeit des Protons in }\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\\
\varphi & = & \frac{\pi}{2} \mbox{ Winkel zwischen $\vec{B}$ und $\vec{v}$}\\
m & = & 1.673\cdot 10^{-27} \mbox{kg Masse des Protons}
\end{eqnarray*}

\subsection{Geschwindigkeit ($v$)}
\begin{eqnarray*}
F_L & = & q v B \sin{\varphi}\\
F_z & = & \frac{m}{a_z} = \frac{m}{\frac{v^2}{r}} = \frac{mv^2}{r}
\end{eqnarray*}

$$
F_L = F_z \Rightarrow q v B \sin{\varphi} = \frac{mv^2}{r} \Rightarrow v = \frac{q B \sin{\varphi} r}{m} 0
$$
$$
\frac{1.602 \cdot 10^{-19} \mbox{C} \cdot 0.2 \mbox{T} \cdot \sin{\frac{\pi}{2}} \cdot 0.3 \mbox{m}}{1.673\cdot 10^{-27} \mbox{kg}} = 5.745 \cdot 10^{6} \frac{\frac{\mbox{Js}}{\mbox{Cm$^2$}}mC}{kg} \approx
$$
$$
5.7 \cdot 10^{6} \frac{\mbox{Js}}{\mbox{kgm}} = 5.7 \cdot 10^{6} \frac{\frac{\mbox{kgm}}{\mbox{s$^2$}}\mbox{ms}}{\mbox{kg m}} = 5.7 \cdot 10^{6} \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}
$$

\subsection{Umlaufzeit ($T$)}
$$
T = \frac{2 \pi r}{v} = \frac{2 \pi 0.3\mbox{m}}{5.745 \cdot 10^{6} \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}} = 3.281\cdot 10^{-7}\mbox{s} \approx 3.3 \cdot 10^{-7}\mbox{s}
$$

\section{Toaster}
\begin{eqnarray*}
\varrho_{20} & = & 1.2\cdot10^{-6} \Omega \mbox{ spezifischer Widerstand bei $T_{20} = 20$\textdegree C}\\
\alpha & = & 3.5 \cdot 10^{-4} \frac{1}{\mbox{K}} \mbox{ Temperaturkoeffizient}\\
U & = & 220\mbox{V Betriebsspannung}\\
T_E & = & 0\mbox{\textdegree C Einschalttemperatur}\\
I_E & = & 1.5\mbox{A Einschaltstorm}\\
I_G & = & 1.3\mbox{A Strom im Gleichgewicht}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray}
U & = & RI \label{URI}\\
\varrho(T) & = & \varrho_{20} \left[1 + \alpha(T - T_{20}) \right] \label{rho(T)}\\
R(T) & = & \varrho(T)\frac{l}{A} \label{R(T)}
\end{eqnarray}

$$
U = R_E I_E = R_G I_G \overset{\mbox{(\ref{R(T)})}}{\Rightarrow} \varrho(T_E)\frac{l}{A} I_E = \varrho(T_G)\frac{l}{A} I_G \Rightarrow
$$
$$
\varrho(T_E) \frac{I_E}{I_G} = \varrho(T_G) \overset{\mbox{(\ref{rho(T)})}}{\Rightarrow} \varrho_{20} \left[1 + \alpha(T_E - T_{20}) \right] \frac{I_E}{I_G} = \varrho_{20} \left[1 + \alpha(T_G - T_{20}) \right] \Rightarrow
$$
$$
\left[1 + \alpha(T_E - T_{20}) \right] \frac{I_E}{I_G} = 1 + \alpha(T_G - T_{20}) \Rightarrow 
$$
$$
T_G = \left(\left[1 + \alpha(T_E - T_{20}) \right] \frac{I_E}{I_G} - 1\right)\frac{1}{\alpha} + T_{20} =
$$
$$
\left(\left[1 + 3.5 \cdot 10^{-4} \frac{1}{\mbox{K}}(0 \mbox{\textdegree C} - 20 \mbox{\textdegree C}) \right] \frac{1.5\mbox{A}}{1.3\mbox{A}} - 1\right)\frac{1}{3.5 \cdot 10^{-4} \frac{1}{\mbox{K}}} + 20\mbox{\textdegree C} \approx 436\mbox{\textdegree C}
$$

\end{document}
