UWIS, Physik II, Lösung Serie 4

Thomas Kuster 18. November 2004

1 Schreibtischlampe

P = 60W Leistung der Lampe
U = 220V alte Netzspannung, effektiver Wert
ν = 50Hz Netzfrequenz
A = 7.5 · 10^{−7}m^{2} Kabelquerschnitt
ϱ = 8.930 · 10^{3} \frac{kg}{m^{3}} Dichte von Kupfer
M = 63.546\frac{kg}{kmol} Molmasse von Kupfer
N_{A} = 6.023 · 10^{26} \frac{1}{kmol} Molmasse von Kupfer
q = 1.602 · 10^{−19}C Elementarladung
n = Anzahl frei Elektronen

Ab 1987 wurden die Netzspannungen in Europa schleichend aneinander angeglichen, seit 2003 ist die Spannung in allen Länder 230V ±10%.

1.1 Geschwindigkeit (v) der Elektronen

Betrachte nur |v|, da Wechselstrom

I = nqvA  (1)
P = UI ⇒ I = \frac{P}{U}  (2)
n = \frac{ϱN_{A}}{M} da pro Atom ein freies Elektron  (3)

(1) ⇒ v = \frac{I}{nqA} {(2) \atop =} \frac{P}{UnqA} {(3) \atop =} \frac{P M}{UϱN_{A}qA} =

UWIS, Physik II, Lösung Serie 4 2

\frac{60\frac{J}{s} · 63.546\frac{kg}{kmol}}{220\frac{J}{C} · 8.930 · 10^{3} \frac{kg}{m^{3}} · 6.023 · 10^{26} \frac{1}{kmol} · 1.602 · 10^{−19}C · 7.5 · 10^{−7}m^{2}} =

2.682 · 10^{−5} \frac{m}{s} ≈ 2.7 · 10^{−5} \frac{m}{s}

⇒ |v| ist sehr klein!

1.2 Bewegungsrichtung

Die Elektronen bewegen sich mit 50Hz hin und her ⇒ v̄ = 0, |v| siehe (1.1)

2 Widerstandswürfel

Abbildung 1: Würfel

R_{i} = 1Ω Widerstand  (4)
i = Positonsindex wie in der Abbildung (1) für U und I (5)
U_{AB} = Spannung von A nach B  (6)
U_{tot} = Spannung von Y nach X  (7)
I_{6} + I_{7} = I_{2} ⇒ I_{7} = \frac{I_{2}}{2} da I_{6} = I_{7} (Symmetrie)  (8)
I_{2} = I_{12} Symmetrie  (9)
U_{2} = U_{11} Symmetrie  (10)

U_{AB} = U_{tot} − U_{2} − U_{11} = U_{tot} − R_{2}I_{2} − R_{11}I_{11}  (11)
U_{AB} = U_{7} + U_{12} − U_{11} = R_{7}I_{7} + R_{12}I_{12} − R_{11}I_{11}  (12)

(11) & (12) mit (4) ⇒ U_{tot} + R(−I_{2} − I_{11}) = R(I_{7} + I_{12} − I_{11}) ⇒

U_{tot} = R(I_{7} + I_{12} − I_{11} + I_{2} + I_{11}) = R(I_{7} + I_{12} + I_{2}) {(8) & (9) \atop =}

R(\frac{I_{2}}{2} + I_{2} + I_{2}) = R\frac{5I_{2}}{2} ⇒ I_{2} = \frac{2U_{tot}}{5R}  (13)

U_{2} = RI_{2} {(13) \atop =} R\frac{2U_{tot}}{5R} = \frac{2U_{tot}}{5}  (14)

U_{AB} {(11) \atop =} U_{tot} − U_{2} − U_{11} {(10) \atop =} U_{tot} − 2U_{2} {(14) \atop =} U_{tot} − 2\frac{2U_{tot}}{5} =

U_{tot} − \frac{4U_{tot}}{5} = \frac{1}{5}U_{tot}

2.1 Proton im Magnetfeld

B = 0.2T Magnetfeld
r = 0.3m Radius
v = Geschwindigkeit des Protons in \frac{m}{s}
φ = \frac{π}{2} Winkel zwischen B⃗ und v⃗
m = 1.673 · 10^{−27}kg Masse des Protons

2.2 Geschwindigkeit (v)

F_{L} = qvB sin φ
F_{z} = \frac{m}{a_{z}} = \frac{m}{\frac{v^{2}}{r}} = \frac{mv^{2}}{r}

F_{L} = F_{z} ⇒ qvB sin φ = \frac{mv^{2}}{r} ⇒ v = \frac{qB sin φr}{m} 0

\frac{1.602 · 10^{−19}C · 0.2T · sin \frac{π}{2} · 0.3m}{1.673 · 10^{−27}kg} = 5.745 · 10^{6} \frac{\frac{Js}{Cm^{2}} mC}{kg} ≈

5.7 · 10^{6} \frac{Js}{kgm} = 5.7 · 10^{6} \frac{\frac{kgm}{s^{2}}ms}{kg m} = 5.7 · 10^{6} \frac{m}{s} UWIS, Physik II, Lösung Serie 4 4

2.3 Umlaufzeit (T)

T = \frac{2πr}{v} = \frac{2π0.3m}{5.745 · 10^{6} \frac{m}{s}} = 3.281 · 10^{−7}s ≈ 3.3 · 10^{−7}s

3 Toaster

ϱ_{20} = 1.2 · 10^{−6}Ω spezifischer Widerstand bei T_{20} = 20°C
α = 3.5 · 10^{−4} \frac{1}{K} Temperaturkoeffizient
U = 220V Betriebsspannung
T_{E} = 0°C Einschalttemperatur
I_{E} = 1.5A Einschaltstorm
I_{G} = 1.3A Strom im Gleichgewicht
U = RI  (15)
ϱ(T) = ϱ_{20} [1 + α(T − T_{20})]  (16)
R(T) = ϱ(T)\frac{l}{A}  (17)

U = R_{E}I_{E} = R_{G}I_{G} \underrightarrow{(17)} ϱ(T_{E})\frac{l}{A}I_{E} = ϱ(T_{G})\frac{l}{A}I_{G} ⇒

ϱ(T_{E})\frac{I_{E}}{I_{G}} = ϱ(T_{G}) \underrightarrow{(16)} ϱ_{20} [1 + α(T_{E} − T_{20})] \frac{I_{E}}{I_{G}} = ϱ_{20} [1 + α(T_{G} − T_{20})] ⇒

[1 + α(T_{E} − T_{20})] \frac{I_{E}}{I_{G}} = 1 + α(T_{G} − T_{20}) ⇒

T_{G} = ([1 + α(T_{E} − T_{20})] \frac{I_{E}}{I_{G}} − 1) \frac{1}{α} + T_{20} =

([1 + 3.5 · 10^{−4} \frac{1}{K}(0°C − 20°C)] \frac{1.5A}{1.3A} − 1) \frac{1}{3.5 · 10^{−4} \frac{1}{K}} + 20°C ≈ 436°C