\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{ngerman}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphics}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}

\date{\today{}}
\author{Thomas Kuster}
\title{UWIS, Physik II, Lösung Serie 3}

\begin{document}
\markright{UWIS, Physik II, Lösung Serie 3}
\pagestyle{myheadings}

\maketitle

\section{Elektrostatische Kraft vs. Gravitationskraft}

\begin{eqnarray*}
m_p & = & 1.67262158 \cdot 10^{-27}\mbox{kg Masse Proton}\\
Q_p = e & = & 1.602176462 \cdot 10^{-19} \mbox{C Proton-, Elektron-, Elementarladung}\\
G & = & 6.673 \cdot 10^{-11} \frac{\mbox{Nm}^2}{\mbox{kg}^2} \mbox{Gravitationskonstante}\\
\epsilon_0 & = & 8.85418782 \cdot 10^{-12} \frac{\mbox{C}}{\mbox{Vm}}\mbox{ Elektrische Feldkonstante}\\
r & = & \mbox{Abstand der Protonen}
\end{eqnarray*}

Gesucht ist $F_E : F_G$:

\begin{eqnarray}
F_E & = & \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{Q_p Q_p}{r^2} \label{F_E}\\
F_G & = & -G\frac{m_p m_p}{r^2}\label{F_G}
\end{eqnarray}

$$
\mbox{(\ref{F_E}) \& (\ref{F_G})} \Rightarrow \frac{F_E}{F_G}  = \frac{Q_p Q_p r^2}{4 \pi \epsilon_0 (-G) m_p m_p r^2} = \frac{Q_p^2}{4 \pi \epsilon_0 (-G) m_p^2} =
$$
$$
- \frac{(1.602 \cdot 10^{-19})^2}{4 \cdot \pi \cdot 8.854 \cdot 10^{-12} \cdot 6.673 \cdot 10^{-11} \cdot (1.673 \cdot 10^{-27})^2} = - 1.235 \cdot 10^{36}
$$

$\Rightarrow \abs{F_E} \approx 10^{36}$ mal grösser als $\abs{F_G}$! 

\section{Kondensator}

\subsection{C$_1$, Q und Überschusselektronen}

\begin{eqnarray*}
d & = & 0.003 \mbox{m Plattenabstand}\\
U & = & 9 \mbox{V Spannung}\\
A & = & 0.2 \cdot 0.5 = 0.1 \mbox{m$^2$ Plattenfläche}
\end{eqnarray*}

$$
C_1 = \epsilon_0 \frac{A}{d} = 8.854 \cdot 10^{-12} \frac{\mbox{C}}{\mbox{Vm}} \frac{0.1\mbox{m$^2$}}{0.003\mbox{m}} = 2.951 \cdot 10^{-10} \mbox{F}
$$

$$
Q_1 = C_1 U = 2.951 \cdot 10^{-10} \frac{\mbox{C}}{\mbox{V}} \cdot 9 \mbox{V} = 2.656 \cdot 10^{-9} \mbox{C}
$$

$$
n = \frac{Q_1}{\epsilon} = \frac{2.656 \cdot 10^{-9} \mbox{C}}{1.602 \cdot 10^{-19} \mbox{C}} = 1658 \mbox{ Anzahl}
$$

\subsection{Dielektrizitätskonstante von Transformatoröl}
\begin{eqnarray*}
d & = & 0.005 \mbox{m Plattenabstand}\\
C_2 & = & 2 \cdot 10^{-8} \mbox{F Kapazität}\\
A & = & 2 \cdot 2 = 4 \mbox{m$^2$ Plattenfläche}
\end{eqnarray*}

$$
C = \epsilon_0 \epsilon_r \frac{A}{d} \Rightarrow \epsilon_r = \frac{C d}{A \epsilon_0} = \frac{2 \cdot 10^{-8} \frac{\mbox{C}}{\mbox{V}} 0.005 \mbox{m}}{4 \mbox{m$^2$} 8.854 \cdot 10^{-12} \frac{\mbox{C}}{\mbox{Vm}}} = 2.824 \cdot 10^{-10}
$$

\subsection{Feldenergie}
\begin{eqnarray}
\frac{1}{C_3} & = & \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \label{C_3}\\
Q & = & C_3 U \label{Q}\\
E & = & \frac{1}{2}Q U \overset{\mbox{(\ref{Q})}}{=} \frac{1}{2}C_3 U^2\label{E}
\end{eqnarray}

$$
\mbox{(\ref{C_3}) \& (\ref{E})} \Rightarrow E = \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}} U^2 =
$$
$$ 
\frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{2.951 \cdot 10^{-10}} + \frac{1}{2 \cdot 10^{-8}}} 9^2 \frac{\mbox{C}}{\mbox{V}}\mbox{V$^2$} = 1.161 \cdot 10^{-8}\mbox{J}
$$

\section{$\infty$ langer Draht}
\begin{eqnarray*}
d & = & \mbox{ Abstand Punktladung zum Draht}\\
\vec{r} & = & \begin{pmatrix}d \\ -z\end{pmatrix} \mbox{ Abstand}\\
r & = & \abs{\vec{r}} = \sqrt{d^2+z^2}\\
\lambda & = & \mbox{ Ladung/Länge}\\
q_p & = & \mbox{ Punktladung}\\
q_d & = & dQ = \lambda dz\mbox{ Ladung auf Drahtstück } dz\\
\vec{F} & = & \mbox{ elektrostatische Kraft}\\
\vec{E} & = & \mbox{ elektrische Feldstärke}\\
\end{eqnarray*}

Ausdehnung Draht: in z-Richtung, Punktladung: in x-Richtung bei: $\begin{pmatrix}d\\0\end{pmatrix}$.

\begin{eqnarray}
\vec{F} & = & \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{q_p q_d}{r^2}\frac{\vec{r}}{r} \label{F_Draht}\\
d\vec{E} & = & \frac{\vec{F}}{q_d} \label{dE}\\
\end{eqnarray}

$$
\mbox{(\ref{F_Draht}) mit (\ref{dE})} \Rightarrow d\vec{E} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{q_d}{r^2}\frac{\begin{pmatrix}d \\ -z\end{pmatrix}}{r} = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_0}\frac{dz}{r^3}\begin{pmatrix}d \\ -z\end{pmatrix}
$$

Da der Draht in +z- und -z-Richtung gleich lang ist heben sich die z-Komponenten des Feldes auf.

$$
dE_x = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_0}\frac{dz}{r^3}d = \frac{\lambda d}{4 \pi \epsilon_0}\frac{1}{r^3}dz \Rightarrow E_x = \frac{\lambda d}{4 \pi \epsilon_0} \int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{r^3} dz}
$$

\begin{eqnarray}
d & = & r \cos(\alpha) \Rightarrow \frac{1}{r} = \frac{\cos{\alpha}}{d} \label{subs}\\
dz & = & \frac{1}{\cos^2{\alpha}} \label{dz}
\end{eqnarray}

$$
E_x \overset{\mbox{(\ref{subs}) \& (\ref{dz})}}{=} \frac{\lambda d}{4 \pi \epsilon_0} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos^3{\alpha}}{d^3}\frac{d}{\cos^2{\alpha}} d\alpha} = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_0 d} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\cos{\alpha} d\alpha} =
$$
$$
\frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_0 d} \left(\sin{\alpha}\vert_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\right) = \frac{2 \lambda}{4 \pi \epsilon_0 d} = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 d}
$$


\section{Millikan-Versuch}
\begin{eqnarray*}
\eta & = & 1.836 \cdot 10^{-5} \frac{\mbox{N}}{\mbox{m$^2$}}\mbox{s} \mbox{ Viskosität der Luft}\\
\varrho_{Luft} & = & 3.556 \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m$^3$}} \mbox{ Dichte}\\
\varrho_{Oel} & = & 896 \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m$^3$}} \mbox{ Dichte}\\
v & = & 1.060 \cdot 10^{-4} \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} \mbox{ Fallgeschwindigkeit des Öltröpfchens}\\
d & = & 1.6 \cdot 10^{-2} \mbox{m Abstand der Platten}\\
U & = & 3664 \mbox{V Spannung}
\end{eqnarray*}

\subsection{Radius des Tröpfchens}

\begin{eqnarray}
0 & = & F_R + F_A - F_G \label{Null_R}\\
F_R & = & 6 \pi \eta r v \label{M_F_R}\\
F_A & = & \varrho_{Luft} V g \label{M_F_A}\\
F_G & = & \varrho_{Oel} V g \label{M_F_G}\\
V & = & \frac{4}{3} \pi r^3 \label{V}\\
0 & = & F_E + F_A - F_G \label{Null_E}\\
E & = & \frac{U}{d} \label{M_E}\\
F_E & = & Eq \overset{\mbox{(\ref{M_E})}}{=} \frac{U}{d}q
\end{eqnarray}

$$
\mbox{(\ref{Null_R}) bis (\ref{M_F_G})} \Rightarrow 0 = 6 \pi \eta r v + \varrho_{Luft} V g - \varrho_{Oel} V g \overset{\mbox{(\ref{V})}}{=} 6 \pi \eta r v + \frac{4}{3} \pi r^3 g (\varrho_{Luft} - \varrho_{Oel})
$$
$$
\Rightarrow - 6 \eta v = \frac{4}{3} r^2 g (\varrho_{Luft} - \varrho_{Oel}) \Rightarrow \frac{- 3 \cdot 6 \eta v}{4 g (\varrho_{Luft} - \varrho_{Oel})} = r^2 \Rightarrow
$$
$$
r = \sqrt{\frac{- 3 \cdot 6 \eta v}{4 g (\varrho_{Luft} - \varrho_{Oel})}} = \sqrt{\frac{- 3 \cdot 6 \cdot 1.836 \cdot 10^{-5} \frac{\mbox{N}}{\mbox{m$^2$}}\mbox{s} \cdot 1.060 \cdot 10^{-4} \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}}{4 \cdot 9.81 \frac{\mbox{N}}{\mbox{kg}} (3.556 - 896 \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m$^3$}})}} =
$$
$$
1.000 \cdot 10^{-6}\mbox{m}
$$

\subsection{Ladung des Öltröpfchens}
$$
\mbox{(\ref{Null_E})} \Rightarrow 0 = F_E + F_A - F_G \overset{\mbox{(\ref{Null_R})}}{=} \frac{U}{d}q + \frac{4}{3} \pi r^3 g (\varrho_{Luft} - \varrho_{Oel})
$$
$$
\Rightarrow q = - \frac{d}{U}\frac{4}{3} \pi r^3 g (\varrho_{Luft} - \varrho_{Oel}) =
$$
$$
- \frac{1.6 \cdot 10^{-2} \mbox{m}}{3664 \mbox{V}}\frac{4}{3} \pi (1.000 \cdot 10^{-6})^3\mbox{m$^3$}\cdot 9.81\frac{\mbox{m}}{\mbox{s$^2$}}\cdot (3.556 - 896 \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m$^3$}}) =
$$
$$
1.6022 \cdot 10^{-19} \frac{\mbox{Nm}}{\mbox{V}} = 1.6022 \cdot 10^{-19} \mbox{C}
$$
Nicht unterscheidbar von $e$ innerhalb der signifikanten Stellen! 
\end{document}
