UWIS, Physik II, Lösung Serie 3

Thomas Kuster

12. November 2004

1 Elektrostatische Kraft vs. Gravitationskraft

m_{p} = 1.67262158 · 10^{−27}kg Masse Proton
Q_{p} = e = 1.602176462 · 10^{−19}C Proton-, Elektron-, Elementarladung
G = 6.673 · 10^{−11} Nm^{2} kg^{2} Gravitationskonstante
ϵ_{0} = 8.85418782 · 10^{−12} \frac{C}{Vm} Elektrische Feldkonstante
r = Abstand der Protonen

Gesucht ist F_{E} : F_{G}:

F_{E} = \frac{1}{4πϵ_{0}} \frac{Q_{p}Q_{p}}{r^{2}}  (1)
F_{G} = −G\frac{m_{p}m_{p}}{r^{2}}  (2)

(1) & (2) ⇒ \frac{F_{E}}{F_{G}} = \frac{Q_{p}Q_{p}r^{2}}{4πϵ_{0}(−G)m_{p}m_{p}r^{2}} = \frac{Q_{p}^{2}}{4πϵ_{0}(−G)m_{p}^{2}} =

−\frac{(1.602 · 10^{−19})^{2}}{4 · π · 8.854 · 10^{−12} · 6.673 · 10^{−11} · (1.673 · 10^{−27})^{2}} = −1.235 · 10^{36}

⇒ |F_{E}| ≈ 10^{36} mal grösser als |F_{G}|!

2 Kondensator

2.1 C_{1}, Q und Überschusselektronen

d = 0.003m Plattenabstand
U = 9V Spannung
A = 0.2 · 0.5 = 0.1m^{2} Plattenfläche

C_{1} = ϵ_{0} \frac{A}{d} = 8.854 · 10^{−12} \frac{C}{Vm} \frac{0.1m^{2}}{0.003m} = 2.951 · 10^{−10}F

Q_{1} = C_{1}U = 2.951 · 10^{−10} \frac{C}{V} · 9V = 2.656 · 10^{−9}C

n = \frac{Q_{1}}{ϵ} = \frac{2.656 · 10^{−9}C}{1.602 · 10^{−19}C} = 1658 Anzahl

2.2 Dielektrizitätskonstante von Transformatoröl

d = 0.005m Plattenabstand
C_{2} = 2 · 10^{−8}F Kapazität
A = 2 · 2 = 4m^{2} Plattenfläche

C = ϵ_{0}ϵ_{r} \frac{A}{d} ⇒ ϵ_{r} = \frac{Cd}{Aϵ_{0}} = \frac{2 · 10^{−8} \frac{C}{V}0.005m}{4m^{2}8.854 · 10^{−12} \frac{C}{Vm}} = 2.824 · 10^{−10}

2.3 Feldenergie

\frac{1}{C_{3}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}}  (3)
Q = C_{3}U  (4)
E = \frac{1}{2}QU {(4) \atop =} \frac{1}{2}C_{3}U^{2}  (5)

(3) & (5) ⇒ E = \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}}} U^{2} =

\frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{2.951·10^{−10}} + \frac{1}{2·10^{−8}}} 9^{2} \frac{C}{V}V^{2} = 1.161 · 10^{−8}J

UWIS, Physik II, Lösung Serie 3 3

3 ∞ langer Draht

d = Abstand Punktladung zum Draht
r⃗ = (\begin{matrix}d \\ −z \end{matrix}) Abstand
r = |r⃗| = \sqrt{d^{2} + z^{2}}
λ = Ladung/Länge
q_{p} = Punktladung
q_{d} = dQ = λdz Ladung auf Drahtstück dz
F⃗ = elektrostatische Kraft
E⃗ = elektrische Feldstärke

Ausdehnung Draht: in z-Richtung, Punktladung: in x-Richtung bei: (\begin{matrix}d \\ 0 \end{matrix}).

F⃗ = \frac{1}{4πϵ_{0}} \frac{q_{p}q_{d}}{r^{2}} \frac{r⃗}{r}  (6)
dE⃗ = \frac{F⃗}{q_{d}}  (7)

(8)

(6) mit (7) ⇒ dE⃗ = \frac{1}{4πϵ_{0}} \frac{q_{d}}{r^{2}} \frac{(\begin{matrix}d \\ −z \end{matrix})}{r} = \frac{λ}{4πϵ_{0}} \frac{dz}{r^{3}} (\begin{matrix}d \\ −z \end{matrix})

Da der Draht in +z- und -z-Richtung gleich lang ist heben sich die z-Komponenten des Feldes auf.

dE_{x} = \frac{λ}{4πϵ_{0}} \frac{dz}{r^{3}} d = \frac{λd}{4πϵ_{0}} \frac{1}{r^{3}} dz ⇒ E_{x} = \frac{λd}{4πϵ_{0}} ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{r^{3}} dz

d = r cos(α) ⇒ \frac{1}{r} = \frac{cos α}{d}  (9)
dz = \frac{1}{cos^{2} α}  (10)

E_{x} {(9) & (10) \atop =} \frac{λd}{4πϵ_{0}} ∫− \frac{π}{2}^{\frac{π}{2}} \frac{cos^{3} α}{d^{3}} \frac{d}{cos^{2} α}dα = \frac{λ}{4πϵ_{0}d} ∫− \frac{π}{2}^{\frac{π}{2}} cos αdα =

\frac{λ}{4πϵ_{0}d} (sin α|− \frac{π}{2}^{\frac{π}{2}} ) = \frac{2λ}{4πϵ_{0}d} = \frac{λ}{2πϵ_{0}d}

UWIS, Physik II, Lösung Serie 3 4

4 Millikan-Versuch

η = 1.836 · 10^{−5} \frac{N}{m^{2}} s Viskosität der Luft
ϱ_{Luft} = 3.556\frac{kg}{m^{3}} Dichte
ϱ_{Oel} = 896\frac{kg}{m^{3}} Dichte
v = 1.060 · 10^{−4} \frac{m}{s} Fallgeschwindigkeit des Öltröpfchens
d = 1.6 · 10^{−2}m Abstand der Platten
U = 3664V Spannung

4.1 Radius des Tröpfchens

0 = F_{R} + F_{A} − F_{G}  (11)
F_{R} = 6πηrv  (12)
F_{A} = ϱ_{Luft}V g  (13)
F_{G} = ϱ_{Oel}V g  (14)
V = \frac{4}{3}πr^{3}  (15)
0 = F_{E} + F_{A} − F_{G}  (16)
E = \frac{U}{d}  (17)
F_{E} = Eq {(17) \atop =} \frac{U}{d} q  (18)

(11) bis (14) ⇒ 0 = 6πηrv+ϱ_{Luft}V g−ϱ_{Oel}V g {(15) \atop =} 6πηrv+\frac{4}{3}πr^{3}g(ϱ_{Luft}−ϱ_{Oel})

⇒ −6ηv = \frac{4}{3}r^{2}g(ϱ_{Luft} − ϱ_{Oel}) ⇒ \frac{−3 · 6ηv}{4g(ϱ_{Luft} − ϱ_{Oel})} = r^{2} ⇒

r = \sqrt{\frac{−3 · 6ηv}{4g(ϱ_{Luft} − ϱ_{Oel})}} = \sqrt{\frac{−3 · 6 · 1.836 · 10^{−5} \frac{N}{m^{2}} s · 1.060 · 10^{−4} \frac{m}{s}}{4 · 9.81\frac{N}{kg}(3.556 − 896\frac{kg}{m^{3}} )}} =

1.000 · 10^{−6}m UWIS, Physik II, Lösung Serie 3 5

4.2 Ladung des Öltröpfchens

(16) ⇒ 0 = F_{E} + F_{A} − F_{G} {(11) \atop =} \frac{U}{d} q + \frac{4}{3}πr^{3}g(ϱ_{Luft} − ϱ_{Oel})

⇒ q = −\frac{d}{U} \frac{4}{3}πr^{3}g(ϱ_{Luft} − ϱ_{Oel}) =

−\frac{1.6 · 10^{−2}m}{3664V} \frac{4}{3}π(1.000 · 10^{−6})^{3}m^{3} · 9.81\frac{m}{s^{2}} · (3.556 − 896\frac{kg}{m^{3}} ) =

1.6022 · 10^{−19} \frac{Nm}{V} = 1.6022 · 10^{−19}C

Nicht unterscheidbar von e innerhalb der signifikanten Stellen!