<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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\date{\today{}}
\author{Thomas Kuster}
\title{UWIS, Physik, Lösung Serie 9}

\begin{document}
\markright{UWIS, Physik, Lösung Serie 9}
\pagestyle{myheadings}

\maketitle

\section{Zürichsee}

\begin{eqnarray*}
A &amp; = &amp; 67.2 \mbox{km$^2$ } = 67.2\cdot10^6 \mbox{m$^2$ Seeoberfl\"che}\\
V &amp; = &amp; 3305\cdot 10^6 \mbox{m$^3$ Seevolumen}\\
\lambda &amp; = &amp; 207.0\cdot 10^{-6} \mbox{K$^{-1}$ Raumausdehnungskoeffizient}\\
\Delta T &amp; = &amp; 5 \mbox{K}\\
\Delta V &amp; = &amp; \mbox{ Volumen\"anderung m$^3$}\\
\Delta h &amp; = &amp; \mbox{ Anstieg des Wasserspiegels m}
\end{eqnarray*}

\subsection{Anstieg des Wasserspiegels}
\begin{eqnarray}
V \lambda \Delta T &amp; = &amp; \Delta V \label{See_Delta_V}\\
\frac{\Delta V}{A} &amp; = &amp; \Delta h \label{See_Delta_h}\\
\end{eqnarray}

$$
\mbox{(\ref{See_Delta_h}) } \overset{(\ref{See_Delta_V})}{\Rightarrow} \frac{V \lambda \Delta T}{A} = \Delta h = \frac{3305 \cdot 10^6 \mbox{m$^3$ } 207 \cdot 10^{-6} \mbox{K$^{-1}$ } 5 \mbox{K}}{67.2 \cdot 10^6 \mbox{m$^2$}} = 5.1\mbox{cm}
$$

\subsection{Warum wird der Anstieg nicht festgestellt}
Die Auswirkungen eines starken Regenfalls sind viel grösser: \glqq Vom 2. bis am 4.5.2002 fallen am Beobachtungsort (nahe Zürich) 67.2mm Regen\grqq, der See kann sich jedoch nie innerhalb von 2 Tagen um 5K erwärmen. Die Auswirkungen der Schneeschmelze werden ebenfalls viel grösser sein, zudem wird auch mehr abfliessen sobald der Pegel steigt.

\section{Brunnen}

\begin{eqnarray*}
h_O &amp; = &amp; 13 \mbox{m H\"ohe der Wassers\"aule}\\
h_D &amp; = &amp; 0 \mbox{m H\"ohe der D\"use}\\
h_P &amp; = &amp; -3 \mbox{m H\"ohe der Pumpe}\\
r_D &amp; = &amp; 0.005 \mbox{m Radius der D\"use}\\
r_Z &amp; = &amp; 0.01 \mbox{m Radius Zuleitung}\\
\end{eqnarray*}

Bernoulli:
\begin{eqnarray}
k &amp; = &amp; \underbrace{p_O}_{0} +\frac{1}{2}\varrho \underbrace{v_O^2}_{0} + \varrho g h_O = \varrho g h_O \label{k_1}\\
k &amp; = &amp; p_P +\frac{1}{2}\varrho v_P^2 + \varrho g h_P \label{k_2}\\
\mbox{(\ref{k_1}) \&amp; (\ref{k_2})} &amp; \Rightarrow &amp; p_P = \varrho g h_O - \frac{1}{2}\varrho v_P^2 - \varrho g h_P \label{Bernoulli}
\end{eqnarray}

Energieerhaltung:
\begin{eqnarray}
E &amp; = &amp; mgh_O + \frac{1}{2} m \underbrace{v_O^2}_{0} = mgh_O \label{E_1}\\
E &amp; = &amp; mg\underbrace{h_D}_{0} + \frac{1}{2} m v_D^2 = \frac{1}{2} m v_D^2 \label{E_2}\\
\mbox{(\ref{E_1}) \&amp; (\ref{E_2})} &amp; \Rightarrow &amp; mgh_O = \frac{1}{2} m v_D^2 \Rightarrow v_D^2 = 2 gh_O \label{Energieerhaltung}
\end{eqnarray}

Kontinuitätsgleichung:
\begin{eqnarray}
v_P A_P &amp; = &amp; v_D A_D \Rightarrow v_P = \frac{v_D A_D}{A_P} \label{K}
\end{eqnarray}

$$
\mbox{(\ref{Bernoulli}) } \Rightarrow p_P = \varrho g h_O - \frac{1}{2}\varrho v_P^2 - \varrho g h_P \overset{\mbox{(\ref{K})}}{\Rightarrow}
p_P = \varrho g h_O - \frac{1}{2}\varrho \frac{v_D^2 A_D^2}{A_P^2} - \varrho g h_P
$$
$$
\overset{\mbox{(\ref{Energieerhaltung})}}{\Rightarrow} p_P = \varrho g h_O - \frac{1}{2}\varrho \frac{2 gh_O A_D^2}{A_P^2} - \varrho g h_P = \varrho g h_O - \varrho \frac{ gh_O r_D^4 \pi^2}{r_P^4 \pi^2} - \varrho g h_P
$$
$$
= \varrho g \left(h_O - h_O \frac{r_D^4}{r_P^4} - h_P\right) = 139793\mbox{Pa} \approx 1.4\mbox{bar}
$$

\section{Erster Hauptsatz}
\begin{eqnarray*}
h_O &amp; = &amp; 13 \mbox{m Fallh\"ohe}\\
\Delta T &amp; = &amp; 3 \mbox{K Temperatur\"anderung}\\
\gamma &amp; = &amp; 4190 \mbox{Jkg$^{-1}$K$^{-1}$ spezifische W\"arme von Wasser}
\end{eqnarray*}


\subsection{Gefäss fällt}

\begin{eqnarray}
E_{Oben} &amp; = &amp; mgh_O + \frac{1}{2} m \underbrace{v_O^2}_{0} \label{E_O}\\
E_{Unten} &amp; = &amp;  mg\underbrace{h_O}_{0} + \frac{1}{2} m \underbrace{v_O^2}_{0} = 0 \label{E_U}\\
\mbox{(\ref{E_O}) \&amp; (\ref{E_U})} &amp; \Rightarrow &amp; E_{frei} = mgh_O \mbox{Deformationsenergie} \label{E_f}
\end{eqnarray}

Dies folgt auch aus der Deformationsenergie eines unelatischen Stoss

$$
\frac{m_1 m_2 (v_1 -v_2)^2}{2(m_1 + m_2} \overset{m_1 &lt;&lt; m_2}{\Rightarrow} \frac{m_1 m_2 (v_1 -v_2)^2}{2 m_2} \overset{v_2 = 0}{=} \frac{m_1 v_1^2}{2}
$$

Die Deformationsenergie wird in Wärme ungewandelt da der Boden keine Energie aufnimmt kann sich nur das Wasser erwärmen.

\subsection{Höhe h}
\begin{eqnarray*}
E_{frei} = mgh_O &amp; = &amp; \Delta T m \gamma\\
h_O &amp; = &amp; \frac{\Delta T \gamma}{g} = \frac{3 \cdot 4190}{9.81} = 1281\mbox{m}
\end{eqnarray*}

\section{Ideales Gas}

\begin{eqnarray*}
T_1 &amp; = &amp; 293 \mbox{K}\\
p_1 &amp; = &amp; 1 \mbox{bar}\\
V_1 &amp; = &amp; 10^{-3} \mbox{m$^3$}
\end{eqnarray*}

\subsection{Druck}

\begin{eqnarray*}
p_2 &amp; = &amp; 100\mbox{bar}\\
T_1 &amp; = &amp; T_2 = T\\
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray}
p_1 V_1 &amp; = &amp; n R T \label{p_1}\\
p_2 V_2 &amp; = &amp; n R T \label{p_2}
\end{eqnarray}

$$
\mbox{(\ref{p_1}) \&amp; (\ref{p_2})} \Rightarrow p_1 V_1 = p_2 V_2 \Rightarrow V_2 = \frac{p_1 V_1}{p_2} = \frac{10^5\mbox{pa } 10^{-3}\mbox{m$^3$}}{100\cdot10^5\mbox{pa }} = 10^{-4}\mbox{m$^3$}
$$

\subsection{Arbeit}
\begin{eqnarray}
\Delta W &amp; = &amp; -p \Delta V \Rightarrow W = -\int{p}\,dV \label{int}\\
p_1 V_1 &amp; = &amp; p_x V_x \Rightarrow p(V_x) = \frac{p_1 V_1}{V_x} \label{p(V)}
\end{eqnarray}

$$
\mbox{(\ref{int}) \&amp; (\ref{p(V)})} \Rightarrow -\int{p(V)}\,dV = -\int{\frac{p_1 V_1}{V}}\,dV = -p_1 V_1 \ln(V)\Bigr\rvert_{V_1}^{V_2} =
$$
$$
- 1 \mbox{bar} \cdot 10^{-3} \mbox{m$^3$} \left(\ln(10^{-3}-10^{-4})\right) = 701 \mbox{J}
$$

\subsection{maximale Arbeit}
Von $p_1$ nach $p_2$ mit dem Volumen $V_1$ (Rechteck):
$$
\Rightarrow W = (p_2-p_1)V_1 = (10^7\mbox{pa }- 10^5\mbox{pa})10^{-3} \mbox{m$^3$} = 9.9\mbox{kJ}
$$

\section{Adiabatisch expandierende Luft}
\begin{eqnarray*}
p_1 &amp; = &amp; 2\mbox{bar } = 2 \cdot 10^5\mbox{pa}\\
V_1 &amp; = &amp; 4\mbox{l } = 0.004\mbox{m$^3$}\\
T_1 &amp; = &amp; 20\mbox{C\textdegree } = 293.15\mbox{K}\\
V_2 &amp; = &amp; 2V_1\\
\kappa &amp; = &amp; 1.4
\end{eqnarray*}

\subsection{Enddruck}
$$
p_1V_1^\kappa = p_2V_2^\kappa \Rightarrow p_2 = \frac{p_1V_1^\kappa}{(2V_1)^\kappa} = p_1 \left(\frac{1}{2}\right)^\kappa = 758\mbox{mbar}
$$

\subsection{Endtemperatur}

$$
T_1 V_1^{\kappa-1} = T_2 V_2^{\kappa-1} \Rightarrow T_2 = T_1 \left(\frac{1}{2}\right) 222.16\mbox{K } = -51\mbox{C\textdegree}
$$

\subsection{Arbeit}

\end{document}</pre></body></html>