\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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\date{\today{}}
\author{Thomas Kuster}
\title{UWIS, Physik, Lösung Serie 8}

\begin{document}
\markright{UWIS, Physik, Lösung Serie 8}
\pagestyle{myheadings}

\maketitle

\section{Schiff}

\begin{eqnarray*}
m_N & = & 600 \mbox{t Masse Ladung (Netto)}\\
m_T & = & \mbox{Masse Schiff (Tara)}\\
m_B & = & \mbox{Masse Schiff und Ladung (Brutto)}\\
\varrho_M & = & 1.03\cdot10^3 \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m$^3$}} \mbox{ Dichte Meerwasser}\\
\varrho_S & = & 1\cdot10^3 \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m$^3$}} \mbox{ Dichte S\"usswasser}\\
h_1 & = & \mbox{Tiefgang im Meerwasser ($m_B$), im S\"usswasser ($m_T$)}\\
h_2 & = & \mbox{Tiefgang im S\"usswasser ($m_B$)}\\
A & = & \mbox{Grundrissfl\"ache Schiff}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray}
m_B & = & A \cdot h_1 \cdot \varrho_M \label{m_B_M}\\
m_B & = & A \cdot h_2 \cdot \varrho_S \label{m_B_S}\\
m_T & = & A \cdot h_1 \cdot \varrho_S \label{m_T}\\
m_B & = & m_T + m_N \label{m_T+m_N}
\end{eqnarray}

Gesucht Bruttomasse des Schiffes $m_B$.

\begin{eqnarray}
\mbox{(\ref{m_B_M}) } m_B & = & A \cdot h_1 \cdot \varrho_M \Rightarrow h_1 = \frac{m_B}{A \cdot \varrho_M} \label{h_1}\\
\mbox{(\ref{m_T}) } m_T & \overset{(\ref{h_1})}{=} & A \frac{m_B}{A \cdot \varrho_M}\varrho_S \overset{(\ref{m_T+m_N})}{\Rightarrow} m_B - m_N =  m_B \frac{\varrho_S}{\varrho_M} \Rightarrow 1 - \frac{m_N}{m_B} =  \frac{\varrho_S}{\varrho_M}
\end{eqnarray}
$$
\Rightarrow 1 - \frac{\varrho_S}{\varrho_M} = \frac{m_N}{m_B} \Rightarrow m_B = \frac{m_N}{1 - \frac{\varrho_S}{\varrho_M}}
$$

$$
m_B = \frac{m_N}{1 - \frac{\varrho_S}{\varrho_M}} = \frac{600000}{1 - \frac{1000}{1030}} = 2.06\cdot10^7kg = 20600\mbox{t}
$$

\section{Hydrauliklift}

\begin{eqnarray*}
r_1 & = & 0.2 \mbox{m}\\
r_2 & = & 0.02 \mbox{m}\\
m_1 & = & 1500 \mbox{kg}
\end{eqnarray*}

\subsection{Kraft}
Annahme: Hydrauliköl hat keine innere Reibung und keine Reibung am Kolben $\Rightarrow$ Druck bei 1 und 2 gleich

\begin{eqnarray*}
\mbox{Bei 1: } p & = & \frac{F_1}{r_1^2 \pi}\\
\mbox{Bei 2: } p & = & \frac{F_2}{r_2^2 \pi}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray}
\frac{F_1}{r_1^2 \pi} & = & \frac{F_2}{r_2^2 \pi}\\
\frac{m_1 g}{r_1^2} & = & \frac{F_2}{r_2^2} \mbox{ mit }F_1 = m_1 g\\
F_2 & = & \frac{m_1 g r_2^2}{r_1^2} \label{F_1}\\
F_2 & = & \frac{1500\cdot g\cdot 0.02^2}{0.2^2} = 1500\mbox{kg}\cdot g\cdot \frac{1}{100} = 15\mbox{kg}\cdot g = 147.15N
\end{eqnarray}

\subsection{Energieerhaltung}
Die geleistete Arbeit muss bei beiden Kolben gleich sein. $\Rightarrow F_1 \cdot\Delta h_1=W_1$ Arbeit am Kolben 1. $\Delta h_1$ entspricht einer Volumenänderung von $\Delta h_1 r_1^2 \pi$. Diese Volumenänderung führt zu einem $\Delta h_2$: $\frac{\Delta h_1 r_1^2\pi}{r_2^2\pi}=\Delta h_2$.

Nun lässt sich die Arbeit $W_2$ berechnen:

\begin{eqnarray*} 
W_2 = F_2 \Delta h_2 = F_2 \frac{\Delta h_1 r_1^2}{r_2^2} & \overset{?}{=} & F_1 \Delta h_1 = W_1\\
\mbox{Mit (\ref{F_1}) } W_2 = \frac{m_1 g r_2^2}{r_1^2} \frac{\Delta h_1 r_1^2}{r_2^2} & \overset{?}{=} & F_1 \Delta h_1\\
m_1 \cdot g & \overset{?}{=} & F_1\\
F_1 & = & F_1 \qquad \blacksquare
\end{eqnarray*} 

\section{Eis in Wasser: Auftrieb}
\begin{eqnarray*}
h_0 & = & 0.2 \mbox{m Wasserh\"ohe ohne Eis zugabe}\\
r & = & 0.08 \mbox{m Gefässdurchmesser}\\
s & = & 0.11 \mbox{m Kantenl\"ange des Eisw\"urfels}\\
\varrho_{Wasser} & = & 1\cdot10^3 \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m$^3$}} \mbox{ Dichte Wasser}\\
\varrho_{Eis} & = & 0.9179\cdot10^3 \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m$^3$}} \mbox{ Dichte Eis}\\
\Delta V & = & \mbox{Eisvolumen welches unter Wasser ist}
\end{eqnarray*}

\subsection{Wasserhöhe\label{Eis_a}}
\begin{eqnarray}
\Delta V & = & \frac{m_{Eis}}{\varrho_{Wasser}}\label{Delta_V}\\
m_{Eis} & = & s^3 \cdot \varrho_{Eis} \overset{(\ref{Delta_V})}{\Rightarrow} \Delta V = \frac{s^3 \cdot \varrho_{Eis}}{\varrho_{Wasser}}\label{m_Eis}\\
\Delta h & = & \frac{\Delta V}{r^2\pi} \overset{(\ref{m_Eis})}{\Rightarrow} \Delta h = \frac{s^3 \cdot \varrho_{Eis}}{\varrho_{Wasser} r^2 \pi} = \frac{0.11^3\cdot 917.9}{1000 \cdot 0.08^2 \pi} = 6.08\cdot10^{-2}\\
& \Rightarrow & h_1 = \Delta h + h_0 = 26\mbox{cm}
\end{eqnarray}

\subsection{Spitze des Eisbergs}
$$
\frac{V_{Eis}-\Delta V}{s^2} \overset{(\ref{Delta_V})}{=} \frac{V_{Eis} \frac{m_{Eis}}{\varrho_{Wasser}}}{s^2} = \frac{s^3 \frac{s^3 \varrho_{Eis}}{\varrho_{Wasser}}}{s^2} = \frac{s^3(1-\frac{\varrho_{eis}}{\varrho_{Wasser}})}{s^2}= s(1-\frac{\varrho_{eis}}{\varrho_{Wasser}})
$$
$$
= 0.11(1-\frac{917.9}{1000} \approx 0.009\mbox{m} \Rightarrow h_{Eis} \approx 9\mbox{mm}
$$

\subsection{Auftrieb}
\begin{eqnarray*}
h_{Eis} s^2 \varrho_{Wasser} & = & 0.109\mbox{kg}\\
s^3 \varrho_{Wasser} - s^3 \varrho_{Eis} & = & s^3(\varrho_{Wasser} - \varrho_{Eis}) = 0.109\mbox{kg}
\end{eqnarray*}

$$
\Rightarrow F = 0.109\mbox{kg} \cdot g = 1.072\mbox{N}
$$

\subsection{Eis ist geschmolzen}
Gleich hoch wie in \ref{Eis_a}.
$$
\frac{V_{Eis} \varrho_{Eis}}{\varrho_{Wasser}r^2\pi} = \frac{s^3 \varrho_{Eis}}{\varrho_{Wasser} r^2 \pi} = 6.08\cdot10^{-2}\mbox{m} = \Delta h \qquad \blacksquare
$$

\section{Tröpfchen}
\begin{eqnarray*}
d & = & 5.2 \mbox{mm} = 5.2\cdot10^{-3}\mbox{m}\\
V & = & 0.115 \mbox{cm} = 1.15\cdot10^{-7}\mbox{m$^3$}\\
\sigma_{Wasser} & = & 7.49\cdot10^{-2} \frac{\mbox{N}}{\mbox{m}} \mbox{ Oberflächenspannung von Wasser}\\
\varrho & = & 1\cdot10^3 \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m$^3$}} \mbox{ Dichte Wasser}\\
\end{eqnarray*}

\subsection{Oberflächenspannung}
\begin{eqnarray}
\Delta W & = & F \Delta s = \sigma \Delta A \Rightarrow F = \frac{\sigma \Delta A}{\Delta s} \label{Work}\\
\frac{\Delta A}{\Delta s} & = & 2 \pi r \label{Umfang}\\
F & = & V \varrho g \label{Force}\\
V & = & \frac{4}{3}\pi r^3 \Rightarrow \left(\frac{3V}{4\pi}\right)^\frac{1}{3} = r \label{Volumen}\\
\end{eqnarray}
$$
\mbox{(\ref{Work}) } \overset{(\ref{Umfang})}{\Rightarrow} F = \sigma 2 \pi r \overset{(\ref{Force})}{\Rightarrow} V \varrho g = \sigma 2 \pi r \Rightarrow \sigma = \frac{V \varrho g}{2 \pi r} \overset{(\ref{Volumen})}{\Rightarrow} \sigma = \frac{V \varrho g}{2 \pi \left(\frac{3V}{4\pi}\right)^\frac{1}{3}}
$$
$$
= 5.95\cdot10^{-2}\frac{\mbox{N}}{\mbox{m}} < \sigma_{Wasser}
$$

\subsection{Oberflächenenergie}
\begin{eqnarray}
\sigma & = & \frac{\Delta W}{\Delta A}\label{sigma}\\
\Delta W & = & \Delta p \Delta V\label{Delta W}\\
\Delta A & = & (A + \Delta A) - A = 4\pi(r+\Delta r)^2 - 4\pi r^2\\
& = & 4\pi(r^2+2r\Delta r + \underbrace{\Delta r^2}_{\Delta r^2 \lll r})- 4 \pi r = 4 \pi r \Delta r \label{Delta A}\\
\Delta V & = & (V + \Delta V) - V = \frac{4\pi}{3}(r^3+r^2\Delta r+2r^2 \Delta r) - \frac{4\pi}{r^3}\\
& = & \frac{4\pi}{3}(r^2\Delta r + 2 r \Delta r)\label{Delta V}
\end{eqnarray}

$$
\mbox{(\ref{sigma}) } \sigma = \frac{\Delta W}{\Delta A} \overset{(\ref{Delta W}) \mbox{ \& } (\ref{Delta A})}{\Rightarrow} \sigma = \frac{\Delta p \Delta V}{4 \pi r \Delta r} \overset{(\ref{Delta V})}{\Rightarrow} \sigma = \frac{\Delta p \frac{4\pi}{3}(r^2\Delta r + 2 r \Delta r)}{4 \pi r \Delta r} 
$$
$$
= \frac{\Delta p (r + 2)}{3} \Rightarrow \Delta p = \frac{3 \sigma}{r + 2} = \frac{3 \cdot 5.95\cdot10^{-2}}{\left(\frac{3\cdot1.115\cdot 10^{-7}}{4\pi}\right)^\frac{1}{3} + 2} = 2.97\cdot10^{-2} \mbox{Pa ???}
$$


\subsection{Druck}
$$
2.97\cdot10^{-2} \mbox{Pa} + 10^5\mbox{Pa} \approx 10^5\mbox{Pa} 
$$

\section{Heureka}
\begin{eqnarray*}
F_L & = & 8 \mbox{N Gewichtskraft in Luft}\\
F_W & = & 7.586 \mbox{N Gewichtskraft in Wasser}\\
\varrho_{Wasser} & = & 1\cdot10^3 \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m$^3$}} \mbox{ Dichte Wasser}\\
\varrho_{Au} & = & 19.32\cdot10^3 \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m$^3$}} \mbox{ Dichte Gold}\\
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray}
F_L & = & V_{Krone} \varrho_{Krone} g \Rightarrow V_{Krone} = \frac{F_l}{\varrho_{Krone}g} \label{F_L}\\
F_W & = & V_{Krone} \varrho_{Krone} g - V_{Krone} \varrho_{Wasser} g \label{F_W}
\end{eqnarray}

$$
\mbox{(\ref{F_W}) } V_{Krone} g (\varrho_{Krone} - \varrho_{Wasser}) = F_W \overset{(\ref{F_L})}{=} \frac{F_L}{\varrho_{Krone}g} g (\varrho_{Krone} - \varrho{Wasser})
$$
$$
\Rightarrow F_W = F_L - \frac{\varrho_{Wasser}}{\varrho_{Krone}}F_L \Rightarrow F_W = F_L \left(1 - \frac{\varrho_{Wasser}}{\varrho_{Krone}}\right) \Rightarrow \frac{F_W}{F_L} = 1 - \frac{\varrho_{Wasser}}{\varrho_{Krone}}
$$
$$
\Rightarrow 1 - \frac{F_W}{F_L} = \frac{\varrho_{Wasser}}{\varrho_{Krone}} \Rightarrow \varrho_{Krone} = \frac{\varrho_{Wasser}}{1 - \frac{F_W}{F_L}} = \frac{1000}{1 - \frac{7.586}{8}} = 19323.7\frac{\mbox{kg}}{\mbox{m$^3$}}
$$

Vergleich: $\varrho_{Krone} - \varrho{Au} = 3.67\frac{\mbox{kg}}{\mbox{m$^3$}} \approx 0\frac{\mbox{kg}}{\mbox{m$^3$}} \Rightarrow$ Krone ist aus Gold.

\section{Dose mit Loch}
\begin{eqnarray}
\sigma & = & \frac{\Delta p \Delta V}{\Delta A}\label{sigma Dose}\\
\Delta A & = & 2 \pi r (h + \Delta h) - 2 \pi r h = 2 \pi r \Delta h\label{Delta A Dose}\\
\Delta V & = & \frac{\pi (h + \Delta h)^2}{3}(3 r -(h-\Delta h)- \frac{\pi h^2}{3}(3r-h)\\
& = & \frac{\pi}{3}\Delta h (-h^2 +6r -2h)\label{Delta V Dose}
\end{eqnarray}

$$
\mbox{(\ref{sigma Dose}) }\sigma \overset{(\ref{Delta V Dose}) \mbox{ \& } (\ref{Delta A Dose})}{=} \frac{\Delta p \frac{\pi}{3}\Delta h (-h^2 +6r -2h)}{2 \pi r \Delta h} = \frac{\varrho g h_{w} (-h^2 +6r -2h)}{6r}
$$
$$
\sigma = \lim_{h \to 0}{\frac{\varrho g h_{w} (-h^2 +6r -2h)}{6r}} = \frac{\varrho g h_{w} 6r}{6r} = \varrho g h_{uw} \Rightarrow \frac{\sigma}{\varrho g} = 7.64\cdot10^{-6}
$$
??? da auch falsche Dimension.

\end{document}