UWIS, Physik, Lösung Serie 8

Thomas Kuster

7. Juni 2004

1 Schiff

m_{N} = 600t Masse Ladung (Netto)
m_{T} = Masse Schiff (Tara)
m_{B} = Masse Schiff und Ladung (Brutto)
ϱ_{M} = 1.03 · 10^{3} \frac{kg}{m^{3}} Dichte Meerwasser
ϱ_{S} = 1 · 10^{3} \frac{kg}{m^{3}} Dichte Süsswasser
h_{1} = Tiefgang im Meerwasser (m_{B}), im Süsswasser (m_{T})
h_{2} = Tiefgang im Süsswasser (m_{B})
A = Grundrissfläche Schiff
m_{B} = A · h_{1} · ϱ_{M}  (1)
m_{B} = A · h_{2} · ϱ_{S}  (2)
m_{T} = A · h_{1} · ϱ_{S}  (3)
m_{B} = m_{T} + m_{N}  (4)

Gesucht Bruttomasse des Schiffes m_{B}.

(1) m_{B} = A · h_{1} · ϱ_{M} ⇒ h_{1} = \frac{m_{B}}{A · ϱ_{M}}  (5)
(3) m_{T} =^{(5)} A\frac{m_{B}}{A · ϱ_{M}} ϱ_{S} ⇒^{(4)} m_{B} − m_{N} = m_{B} \frac{ϱ_{S}}{ϱ_{M}} ⇒ 1 − \frac{m_{N}}{m_{B}} = \frac{ϱ_{S}}{ϱ_{M}} (6)

⇒ 1 − \frac{ϱ_{S}}{ϱ_{M}} = \frac{m_{N}}{m_{B}} ⇒ m_{B} = \frac{m_{N}}{1 − \frac{ϱ_{S}}{ϱ_{M}}}

m_{B} = \frac{m_{N}}{1 − \frac{ϱ_{S}}{ϱ_{M}}} = \frac{600000}{1 − \frac{1000}{1030}} = 2.06 · 10^{7}kg = 20600t

2 Hydrauliklift

r_{1} = 0.2m
r_{2} = 0.02m
m_{1} = 1500kg

2.1 Kraft

Annahme: Hydrauliköl hat keine innere Reibung und keine Reibung am Kolben ⇒ Druck bei 1 und 2 gleich

Bei 1: p = \frac{F_{1}}{r_{1}^{2}π}
Bei 2: p = \frac{F_{2}}{r_{2}^{2}π}
\frac{F_{1}}{r_{1}^{2}π} = \frac{F_{2}}{r_{2}^{2}π}  (7)
\frac{m_{1}g}{r_{1}^{2}} = \frac{F_{2}}{r_{2}^{2}} mit F_{1} = m_{1}g  (8)
F_{2} = \frac{m_{1}gr_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}  (9)
F_{2} = \frac{1500 · g · 0.02^{2}}{0.2^{2}} = 1500kg · g · \frac{1}{100} = 15kg · g = 147.15N (10)

2.2 Energieerhaltung

Die geleistete Arbeit muss bei beiden Kolben gleich sein. ⇒ F_{1} · Δh_{1} = W_{1} Arbeit am Kolben 1. Δh_{1} entspricht einer Volumenänderung von Δh_{1}r_{1}^{2}π. Diese Volumenänderung führt zu einem Δh_{2}: \frac{Δh_{1}r_{1}^{2}π}{r_{2}^{2}π} = Δh_{2}.

Nun lässt sich die Arbeit W_{2} berechnen:

W_{2} = F_{2}Δh_{2} = F_{2} \frac{Δh_{1}r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}} =^{?} F_{1}Δh_{1} = W_{1}
Mit (9) W_{2} = \frac{m_{1}gr_{2}^{2}}{r_{1}^{2}} \frac{Δh_{1}r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}} =^{?} F_{1}Δh_{1}
m_{1} · g =^{?} F_{1}
F_{1} = F_{1}  ■

UWIS, Physik, Lösung Serie 8 3

3 Eis in Wasser: Auftrieb

h_{0} = 0.2m Wasserhöhe ohne Eis zugabe
r = 0.08m Gefässdurchmesser
s = 0.11m Kantenlänge des Eiswürfels
ϱ_{W asser} = 1 · 10^{3} \frac{kg}{m^{3}} Dichte Wasser
ϱ_{Eis} = 0.9179 · 10^{3} \frac{kg}{m^{3}} Dichte Eis
ΔV = Eisvolumen welches unter Wasser ist

3.1 Wasserhöhe

ΔV = \frac{m_{Eis}}{ϱ_{W asser}}  (11)
m_{Eis} = s^{3} · ϱ_{Eis} ⇒^{(11)} ΔV = \frac{s^{3} · ϱ_{Eis}}{ϱ_{W asser}}  (12)
Δh = \frac{ΔV}{r^{2}π} ⇒^{(12)} Δh = \frac{s^{3} · ϱ_{Eis}}{ϱ_{W asser}r^{2}π} = \frac{0.11^{3} · 917.9}{1000 · 0.08^{2}π} = 6.08 · 10^{−2}(13)
⇒ h_{1} = Δh + h_{0} = 26cm  (14)

3.2 Spitze des Eisbergs

\frac{V_{Eis} − ΔV}{s^{2}} =^{(11)} \frac{V_{Eis} \frac{m_{Eis}}{ϱ_{W asser}}}{s^{2}} = \frac{s^{3} \frac{s^{3}ϱ_{Eis}}{ϱ_{W asser}}}{s^{2}} = \frac{s^{3}(1 − \frac{ϱ_{eis}}{ϱ_{W asser}})}{s^{2}} = s(1−\frac{ϱ_{eis}}{ϱ_{W asser}})

= 0.11(1 − \frac{917.9}{1000} ≈ 0.009m ⇒ h_{Eis} ≈ 9mm

3.3 Auftrieb

h_{Eis}s^{2}ϱ_{W asser} = 0.109kg
s^{3}ϱ_{W asser} − s^{3}ϱ_{Eis} = s^{3}(ϱ_{W asser} − ϱ_{Eis}) = 0.109kg
⇒ F = 0.109kg · g = 1.072N

3.4 Eis ist geschmolzen

Gleich hoch wie in 3.1.

\frac{V_{Eis}ϱ_{Eis}}{ϱ_{W asser}r^{2}π} = \frac{s^{3}ϱ_{Eis}}{ϱ_{W asser}r^{2}π} = 6.08 · 10^{−2}m = Δh ■

UWIS, Physik, Lösung Serie 8 4

4 Tröpfchen

d = 5.2mm = 5.2 · 10^{−3}m
V = 0.115cm = 1.15 · 10^{−7}m^{3}
σ_{W asser} = 7.49 · 10^{−2} \frac{N}{m} Oberflächenspannung von Wasser
ϱ = 1 · 10^{3} \frac{kg}{m^{3}} Dichte Wasser

4.1 Oberflächenspannung

ΔW = F Δs = σΔA ⇒ F = \frac{σΔA}{Δs}  (15)
\frac{ΔA}{Δs} = 2πr  (16)
F = V ϱg  (17)
V = \frac{4}{3}πr^{3} ⇒ (\frac{3V}{4π} )^{\frac{1}{3}} = r  (18)

(19)

(15) ⇒^{(16)} F = σ2πr ⇒^{(17)} V ϱg = σ2πr ⇒ σ = \frac{V ϱg}{2πr} ⇒^{(18)} σ = \frac{V ϱg}{2π (\frac{3V}{4π} )^{\frac{1}{3}}}

= 5.95 · 10^{−2} \frac{N}{m} < σ_{W asser}

4.2 Oberflächenenergie

σ = \frac{ΔW}{ΔA}  (20)
ΔW = ΔpΔV  (21)
ΔA = (A + ΔA) − A = 4π(r + Δr)^{2} − 4πr^{2}  (22)
= 4π(r^{2} + 2rΔr + \underbrace{Δr^{2}}_{Δr^{2}≪r}) − 4πr = 4πrΔr  (23)
ΔV = (V + ΔV) − V = \frac{4π}{3} (r^{3} + r^{2}Δr + 2r^{2}Δr) − \frac{4π}{r^{3}}  (24)
= \frac{4π}{3} (r^{2}Δr + 2rΔr)  (25)

(20) σ = \frac{ΔW}{ΔA} ⇒^{(21) & (23)} σ = \frac{ΔpΔV}{4πrΔr} ⇒^{(25)} σ = \frac{Δp\frac{4π}{3} (r^{2}Δr + 2rΔr)}{4πrΔr}

UWIS, Physik, Lösung Serie 8 5

= \frac{Δp(r + 2)}{3} ⇒ Δp = \frac{3σ}{r + 2} = \frac{3 · 5.95 · 10^{−2}}{(\frac{3·1.115·10^{−7}}{4π} )^{\frac{1}{3}} + 2} = 2.97 · 10^{−2}Pa ???

4.3 Druck

2.97 · 10^{−2}Pa + 10^{5}Pa ≈ 10^{5}Pa

5 Heureka

F_{L} = 8N Gewichtskraft in Luft
F_{W} = 7.586N Gewichtskraft in Wasser
ϱ_{W asser} = 1 · 10^{3} \frac{kg}{m^{3}} Dichte Wasser
ϱ_{Au} = 19.32 · 10^{3} \frac{kg}{m^{3}} Dichte Gold
F_{L} = V_{Krone}ϱ_{Krone}g ⇒ V_{Krone} = \frac{F_{l}}{ϱ_{Krone}g}  (26)
F_{W} = V_{Krone}ϱ_{Krone}g − V_{Krone}ϱ_{W asser}g  (27)

(27) V_{Krone}g(ϱ_{Krone} − ϱ_{W asser}) = F_{W} =^{(26)} \frac{F_{L}}{ϱ_{Krone}g} g(ϱ_{Krone} − ϱW asser)

⇒ F_{W} = F_{L}− \frac{ϱ_{W asser}}{ϱ_{Krone}} F_{L} ⇒ F_{W} = F_{L} (1 − \frac{ϱ_{W asser}}{ϱ_{Krone}} ) ⇒ \frac{F_{W}}{F_{L}} = 1− \frac{ϱ_{W asser}}{ϱ_{Krone}}

⇒ 1 − \frac{F_{W}}{F_{L}} = \frac{ϱ_{W asser}}{ϱ_{Krone}} ⇒ ϱ_{Krone} = \frac{ϱ_{W asser}}{1 − \frac{F_{W}}{F_{L}}} = \frac{1000}{1 − \frac{7.586}{8}} = 19323.7\frac{kg}{m^{3}}

Vergleich: ϱ_{Krone} − ϱAu = 3.67\frac{kg}{m^{3}} ≈ 0\frac{kg}{m^{3}} ⇒ Krone ist aus Gold.

6 Dose mit Loch

σ = \frac{ΔpΔV}{ΔA}  (28)
ΔA = 2πr(h + Δh) − 2πrh = 2πrΔh  (29)
ΔV = \frac{π(h + Δh)^{2}}{3} (3r − (h − Δh) − \frac{πh^{2}}{3} (3r − h)  (30)
= \frac{π}{3} Δh(−h^{2} + 6r − 2h)  (31)

(28) σ =^{(31) & (29)} \frac{Δp\frac{π}{3} Δh(−h^{2} + 6r − 2h)}{2πrΔh} = \frac{ϱgh_{w}(−h^{2} + 6r − 2h)}{6r}

σ = lim_{h→0} \frac{ϱgh_{w}(−h^{2} + 6r − 2h)}{6r} = \frac{ϱgh_{w}6r}{6r} = ϱgh_{uw} ⇒ \frac{σ}{ϱg} = 7.64 · 10^{−6}

??? da auch falsche Dimension.