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\date{\today{}}
\author{Thomas Kuster}
\title{UWIS, Chemie Vordiplom Herbst 2003, Lösung(sversuch)}

\begin{document}
\markright{UWIS, Chemie Vordiplom Herbst 2003, Lösung(sversuch)}
\pagestyle{myheadings}

\maketitle

\section{Anorganische Chemie}
\section{Themodynamik}
\subsection{Partialdrücke}
Gesucht sind die Partialdrücke von $p_{H_2}, p_{Br_2}$.

$p_{H_2}$ Idee: Die molaren Stoffmengen zueinander verhalten sich gleich wie die Partialdrücke zueinander:
$$
\frac{p_{H_2}}{p_{N_2}} = \frac{n[H_2]}{n[N_2]} \Rightarrow p_{H_2} = p_{N_2} \cdot \frac{n[H_2]}{n[N_2]}
$$

Auf 1000g $N_2$ gibt es 1g $H_2$:
$$
\frac{m[N_2]}{M[N_2]} = n[N_2]
$$

$$
p_{H_2} = p_{N_2} \cdot \frac{\frac{m[H_2]}{M[H_2]}}{\frac{m[N_2]}{M[N_2]}} = 1.20\mbox{bar} \cdot \frac{\frac{1\mbox{g}}{2.0158\frac{\mbox{g}}{\mbox{mol}}}}{\frac{1000\mbox{g}}{28.0134\frac{\mbox{g}}{\mbox{mol}}}} = 0.0167\mbox{bar}
$$

$p_{Br_2}$ Idee: Gleiche Gibbsenergie:
$$
\chemical{Br_{2(l)}} \chemical{EQUILIBRIUM} \chemical{Br_{2(g)}}
$$

\begin{eqnarray*}
\mu_{Br_{2(l)}} & =& \mu_{Br_{2(g)}}\\
\mu_{Br_{2(l)}} = \mu^0_{Br_{2(l)}} & = & \mu^0_{Br_{2(g)}} + RT \ln{\frac{p_{Br_2}}{p^0}}\\
\frac{\mu^0_{Br_{2(l)}} - \mu^0_{Br_{2(g)}}}{RT} & = & \ln{\frac{p_{Br_2}}{p^0}}\\
\exp{\left(\frac{\mu^0_{Br_{2(l)}} - \mu^0_{Br_{2(g)}}}{RT}\right)}\cdot p^0  & = & p_{Br_2}\\
\exp{\left(\frac{0 - 3.110}{8.314\cdot 298.15}\right)}\cdot 1.00  & = & 1.00\mbox{bar}
\end{eqnarray*}

Gesamtdruck:
$$
p_{N_2}+p_{H_2}+p_{Br_2} = 1.20 + 0.0167 + 1.00 = 2.22\mbox{bar}
$$

\subsection{Entropie}
Die Teilchenanzahl bleibt gleich (aus zwei werden zwei) $\Rightarrow \Delta S \approx 0$,  jedoch wird aus einer Flüssigkeit ($Br_{2(l)}$) ein Gas ($Br_{2(g)}$) $\Rightarrow \Delta S > 0$ zudem würde die Reaktion nicht ablaufen falls $\Delta S \le 0$, dies würde im Wiederspruch zur Aussage der Aufgabenstellung stehen, daher muss die Entropie zunehmen.

\subsection{Gleichgewichtskonstante}

$$
\ln{K(T)} = \frac{-\Delta_rG^0(T)}{RT}
$$

K hängt nicht vom Druck ab (Skript Seite 9-35) und im der Aufgabe ist $T = T_{Referenz}$, daher folgt für K:

\begin{eqnarray*}
K & = & \exp{\left(-\frac{(2\cdot\mu^0_{HBr_{(g)}}-\mu^0_{H_{2(g)}}-\mu^0_{Br_{2(l)}}}{RT}\right)}\\
 & = & \exp{\left(-\frac{2\cdot(-53450)-0-0}{8.314\cdot 298.15}\right)} = 5.35\cdot10^{18}
\end{eqnarray*}

Beinnahe alles $H_2$ wird also mit $Br_2$ zu $HBr$ reagieren.

\subsection{Partialdrücke}
Da die Gleichgewichtskonstante extrem gross ist könnten wir annehmen, dass alles $H_2$ zu $HBr$ reagiert. Aus einem $H_2$ werden zwei $HBr$ daher ist $p_{HBr} = 2\cdot p_{H_2}$ vor der Reaktion ($2 \cdot 0.0167\mbox{bar} = 0.0334\mbox{bar}$).

Genauer:
$$
\frac{p_{HBr}^2}{p_{H_2}p_{Br_2}} = K
$$

$p_{Br_2}$ ist Konstant da es immer im Gleichgewicht mit $Br_{2(l)}$ steht. $p_{HBr}$ ist $2 \cdot p_{H_2}(0) - 2 \cdot p_{H_2}$, der subtrahierte Partialdruck sind die verbleibenden $H_2$.

$$
\frac{(2p_{H_2}(0) - 2p_{H_2})^2}{p_{H_2} p_{Br_2}} = K
$$

Lösen mit Taschenrechner ergibt: $1.040 \cdot 10^{-20}$ und $1.604 \cdot 10^{18}$.
Das zweite Resultat ist unrealistisch, daher ist $p_{H_2} = 1.04 \cdot 10^{-20}\mbox{bar}$.
Der Partialdruck von $p_{Br_2}$ bleibt die 1.20bar, $p_{HBr}$ bleibt die 0.0334bar (da eine Subtraktion in der Grössenordnung von $10^{-20}$ keine Rolle spielt).

Quadratisches ergänzen führte bei mir zu:
$$
p_{H_2} = \frac{\frac{c}{4}\pm\sqrt{-4p_{H_2}(0)^2+\frac{c^2}{16}}}{2} \mbox{ mit } c = 8p_{H_2}(0)+K p_{Br}
$$
falls ein Minus vor der Wurzel angenommen wird ergibt das ganze nummerisch 0 (Ziffernauslöschung).

Ist diese Rechnung überhaupt notwendig ($p_{H_2} \approx 0$, es wird jedoch ein Resultat auf drei signifikante Stellen erwartet)?

\subsection{Reagierender Anteil}
Der Anteil wird sehr klein sein oder ich verstehe die Aufgabenstellung nicht.

5000l $Br_2$ waren vorhanden, davon wurden 1500kg entnommen wodurch ein Volumen entstand in dem schlussendlich $p_{Br_2} = 0.0334\mbox{bar}$ herrscht.

Anfangsmasse:
$$
Br_{2(l)} = 5000\mbox{l} \cdot 3.120\frac{\mbox{kg}}{\mbox{l}} = 15600\mbox{kg}
$$
Volumen:
$$
V = \frac{1500\mbox{kg}}{3.120\frac{\mbox{kg}}{\mbox{l}}} = 481\mbox{l} = 0.481\mbox{m$^3$}
$$
Gasgleichung:
$$
n = \frac{pV}{RT} = \frac{0.0334\cdot 0.481}{RT} = 6.611\cdot10^{-6} \Rightarrow 6.611\cdot10^{-6} \cdot 2 \cdot 79.904 = 1.056\mbox{kg}
$$
Anteil:
$$
\frac{1.056}{15600} = 6.77\cdot10^{-3}\%
$$
\end{document}
