\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{ngerman}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}

\date{\today{}}
\author{Thomas Kuster}
\title{UWIS, Mathematik 1, Lösung Serie 9}

\begin{document}
\markright{UWIS, Mathematik 1, Lösung Serie 9}
\pagestyle{myheadings}

\maketitle

\section{}
\subsection{}
siehe Abbildung \ref{einheitsgitter}
\begin{figure}[htbp]
\includegraphics[width=\linewidth]{./serie9_loesung_einheitsgitter.eps}
\caption{\label{einheitsgitter}Richtungsfeld auf dem Einheitsgitter}
\end{figure}

\subsection{}
\begin{eqnarray*}
\dot{x}(t) & = & x(t) + t\\
x(t+h) & \approx & x(t) + h \underbrace{(x(t) + t)}_{f(x,t)=\dot{x}(t)}\\
\end{eqnarray*}
$h = \frac{2}{4}$, da 4 Schritte bis 2 und der Anfangswert von 0 bekannt ist.
\begin{eqnarray*}
t = 0 & \quad & x\left(\frac{1}{2}\right) = 0 + \frac{1}{2}\left(0+0\right) = 0\\
t = \frac{1}{2} & \quad & x\left(1\right) = 0 + \frac{1}{2}\left(0+\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}\\
t = 1 & \quad & x\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}+1\right) = \frac{7}{8}\\
t = \frac{3}{2} & \quad & x\left(2\right) = \frac{7}{8} + \frac{1}{2}\left(\frac{7}{8}+\frac{3}{2}\right) = \frac{33}{16} = 2.1\\
\end{eqnarray*}
zum Vergleich die exakte Lösung:
\begin{eqnarray*}
\dot{x}(t) & = & x(t) + t\\
x_{hom}(t) & = & ce^t\\
x_{par}(t) & = & At + B\\
A & = & At + B + t\\
0 & = & A+1 \qquad t^1\\
A & = & -1\\
A & = & B \qquad t^0\\
B & = & -1\\
x_{par}(t) & = & -t -1\\
x_{hom}(t) + x_{par}(t) & = & ce^t -t -1 = x(t)\\
x(0) & = & ce^0 - 0 - 1 = 0 \Rightarrow c = 1\\
x(t) & = & e^t -t -1\\
x(2) & = & e^2 -2 -1 = 4.4
\end{eqnarray*}

\section{}
\subsection{}
\begin{eqnarray*}
\dot{x}(t) & = & -x(t) + t\\
x_{hom}(t) & = & ce^{-t}\\
x_{par}(t) & = & At + B\\
A & = & -At - B + t\\
0 & = & -A+1 \qquad t^1\\
A & = & 1\\
A & = & -B \qquad t^0\\
B & = & -1\\
x_{par}(t) & = & t -1\\
x_{hom}(t) + x_{par}(t) & = & ce^{-t} +t -1 = x(t)\\
\end{eqnarray*}

\subsection{}
\begin{eqnarray*}
x(t) & = & ce^{-t} +t -1\\
x(0) & = & x_0\\
x_0 & = & ce^{-0} +0 -1\\
x_0 & = & c - 1\\
c & = & x_0 + 1\\
x(t) & = & (x_0+1)e^{-t} +t -1\\
\end{eqnarray*}

\subsection{}
\begin{eqnarray*}
x_0 = x_0 & \quad & x(t) = (x_0+1)e^{-t} +t -1\\
x_0 = -1 & \quad & x(t) = 0e^{-t} +t -1= t -1\\
x_0 = 0 & \quad & x(t) = e^{-t} +t -1\\
x_0 = 1 & \quad & x(t) = 2e^{-t} +t -1\\
x_0 = -2 & \quad & x(t) = -e^{-t} +t -1\\
\end{eqnarray*}

\subsection{}
Obwohl $\lim_{t \to \infty}{e^{-t}}$ konvergieren würde divergiert die DGL bei allen AWP da $+t$ dazugezählt wird.
Von der langsamsten zur schnellsten divergierenden für $t \to \infty$: $x_0=-1$ (hier ist die DGL linear), $x_0=0$, $x_0=-2$, $x_0=1$.

\section{}
\subsection{}
Annahme F ist immer grösser als 0 und kann nicht negativ sein.

Falls die Fischpopulation klein ist wird $\frac{x(t)}{1+x(t)} \approx 0$.
$$\lim_{x \to 0}{\frac{x(t)}{1+x(t)}}=0$$
Somit wird auch $F\frac{x(t)}{1+x(t)} \approx 0$ egal wie gross $F$ ist.

Falls die Fischpopulation gross ist wird $\frac{x(t)}{1+x(t)}$ gegen 1 streben.
$$\lim_{x \to \infty}{\frac{x(t)}{1+x(t)}}=1$$
Somit hängt die Abnahme des Fischbestandes beinahe nur von F ab ($F\frac{x(t)}{1+x(t)}$ wird zu $F$).

\subsection{}
\subsection{}
\begin{eqnarray*}
\dot{x}(t) & = & x(t)\left(1-\frac{1}{2}x(t)\right)-F\frac{x(t)}{1+x(t)}\\
\dot{x}(t) & = & 0\left(1-\frac{1}{2}0\right)-F\frac{0}{1+0}\\
\dot{x}(t) & = & -F\frac{0}{1+0} = 0\\
\end{eqnarray*}
\subsection{}

\end{document}
