UWIS, Mathematik 1, Lösung Serie 9

Thomas Kuster 20. Januar 2004

1

1.1

siehe Abbildung 1

Abbildung 1: Richtungsfeld auf dem Einheitsgitter

1.2

ẋ(t) = x(t) + t
x(t + h) ≈ x(t) + h \underbrace{(x(t) + t)}_{f(x,t)=ẋ(t)}

UWIS, Mathematik 1, Lösung Serie 9 2 h = \frac{2}{4}, da 4 Schritte bis 2 und der Anfangswert von 0 bekannt ist.

t = 0  x (\frac{1}{2}) = 0 + \frac{1}{2} (0 + 0) = 0
t = \frac{1}{2}  x (1) = 0 + \frac{1}{2} (0 + \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}
t = 1  x (\frac{3}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} (\frac{1}{4} + 1) = \frac{7}{8}
t = \frac{3}{2}  x (2) = \frac{7}{8} + \frac{1}{2} (\frac{7}{8} + \frac{3}{2}) = \frac{33}{16} = 2.1

zum Vergleich die exakte Lösung:

ẋ(t) = x(t) + t
x_{hom}(t) = ce^{t}
x_{par}(t) = At + B
A = At + B + t
0 = A + 1  t^{1}
A = −1
A = B  t^{0}
B = −1
x_{par}(t) = −t − 1
x_{hom}(t) + x_{par}(t) = ce^{t} − t − 1 = x(t)
x(0) = ce^{0} − 0 − 1 = 0 ⇒ c = 1
x(t) = e^{t} − t − 1
x(2) = e^{2} − 2 − 1 = 4.4

2

2.1

ẋ(t) = −x(t) + t
x_{hom}(t) = ce^{−t}
x_{par}(t) = At + B
A = −At − B + t
0 = −A + 1  t^{1}
A = 1
A = −B  t^{0}
B = −1
x_{par}(t) = t − 1
x_{hom}(t) + x_{par}(t) = ce^{−t} + t − 1 = x(t)

2.2

x(t) = ce^{−t} + t − 1
x(0) = x_{0}
x_{0} = ce^{−0} + 0 − 1
x_{0} = c − 1
c = x_{0} + 1
x(t) = (x_{0} + 1)e^{−t} + t − 1

2.3

x_{0} = x_{0}  x(t) = (x_{0} + 1)e^{−t} + t − 1
x_{0} = −1  x(t) = 0e^{−t} + t − 1 = t − 1
x_{0} = 0  x(t) = e^{−t} + t − 1
x_{0} = 1  x(t) = 2e^{−t} + t − 1
x_{0} = −2  x(t) = −e^{−t} + t − 1

2.4

Obwohl lim_{t→∞} e^{−t} konvergieren würde divergiert die DGL bei allen AWP da +t dazugezählt wird. Von der langsamsten zur schnellsten divergierenden für t → ∞: x_{0} = −1 (hier ist die DGL linear), x_{0} = 0, x_{0} = −2, x_{0} = 1.

UWIS, Mathematik 1, Lösung Serie 9 4

3

3.1

Annahme F ist immer grösser als 0 und kann nicht negativ sein.

Falls die Fischpopulation klein ist wird \frac{x(t)}{1+x(t)} ≈ 0.

lim_{x→0} \frac{x(t)}{1 + x(t)} = 0

Somit wird auch F \frac{x(t)}{1+x(t)} ≈ 0 egal wie gross F ist.

Falls die Fischpopulation gross ist wird \frac{x(t)}{1+x(t)} gegen 1 streben.

lim_{x→∞} \frac{x(t)}{1 + x(t)} = 1

Somit hängt die Abnahme des Fischbestandes beinahe nur von F ab (F \frac{x(t)}{1+x(t)} wird zu F).

3.2 3.3

ẋ(t) = x(t) (1 − \frac{1}{2}x(t)) − F \frac{x(t)}{1 + x(t)}
ẋ(t) = 0 (1 − \frac{1}{2}0) − F \frac{0}{1 + 0}
ẋ(t) = −F \frac{0}{1 + 0} = 0

3.4