UMNW, Mathematik 1, Lösung Serie 8

Thomas Kuster 4. Januar 2004

1

x(t + h) ≈ x(t) − 0.03hx(t)
x(t) = 100e^{−0.03t}

1.1

x(t + h) ≈ x(t) − 0.03hx(t)
x(t + h) ≈ x(t)(1 − 0.03h)
x(t + 2h) ≈ x(t + h)(1 − 0.03h)
x(t + 2h) ≈ x(t)(1 − 0.03h)^{2}
x(t + nh) ≈ x(t)(1 − 0.03h)^{n}
x(0 + 10 · 1) ≈ \underbrace{x(0)}_{100}(1 − 0.03 · 1)^{10}
x(10) ≈ 73.7424

1.2

x(t + nh) ≈ x(t)(1 − 0.03h)^{n}
x(0 + 600 · \frac{1}{60}) ≈ 100(1 − 0.03 · \frac{1}{60})^{600}
x(10) ≈ 74.0763

zum Vergleich das genau Resultat:

x(10) = e^{−0.03·10}
x(10) = 74.0818

Dies ergibt einen Fehler von < 5‰ für 1.1 bzw. von < 0.08‰ für 1.2.

UMNW, Mathematik 1, Lösung Serie 8 2

1.3

x(t + h) = x(t) − 0.03hx(t) + 0.05 · 12h
x(t + h) = x(t) \underbrace{(1 − 0.03h)}_{a} + \underbrace{0.05 · 12h}_{b}
x(t + 2h) = x(t + h)a + b
x(t + 2h) = (x(t)a + b) a + b
x(t + 3h) = [(x(t)a + b) a + b] a + b
x(t + 3h) = x(t)a^{3} + a^{2}b + ab + b
x(t + nh) = x(t)a^{n} + b ∑_{k=0}^{n−1} a^{k}
x(t + nh) = x(t)a^{n} + b\frac{a^{n} − 1}{a − 1}
x(t + nh) = x(t)(1 − 0.03h)^{n} + 0.05 · 12h\frac{(1 − 0.03h)^{n} − 1}{(1 − 0.03h) − 1}

mit h = 1, n = 10 und x(t = 0) = 100:

x(10) = 78.99

mit h = \frac{1}{60}, n = 600 und x(t = 0) = 100:

x(10) = 79.26

zum Vergleich das genau Resultat:

x(t + h) = x(t) − 0.03hx(t) + 0.05 · 12h
lim_{h→0} \frac{x(t + h) − x(t)}{h} = −0.03x(t) + 0.05 · 12
ẋ(t) = −0.03x(t) + 0.05 · 12
x(t) = c_{1} · e^{−0.03·t} + 0.05 · 12 · t + c_{2} c_{1} = 100 ⇒ c_{2} = 0
x(10) = 100 · e^{−0.03·10} + 0.05 · 12 · 10
x(10) = 80.08

Macht einen Fehler von: < 1.4% bzw. < 1.1%.

2

2.1

2.2

Siehe serie8 maple.pdf Beweis von:

pos[k+1]:=
 pos[k]+evalf((h/sqrt(2*(pos[k][1]^2+pos[k][2]^2)))*
  [pos[k][1]-pos[k][2],pos[k][1]+pos[k][2]);

verständlich geschrieben:

(\begin{matrix}x_{k+1} \\ y_{k+1} \end{matrix}) = (\begin{matrix}x_{k} \\ y_{k} \end{matrix}) + \frac{h}{\sqrt{2 (x_{k}^{2} + y_{k}^{2})}} (\begin{matrix}x_{k} − y_{k} \\ x_{k} + y_{k} \end{matrix})

Variablenbezeichnung wie folgt: α = \frac{π}{4} konstante Auslenkung gegenüber der Verbindungsstrecke (Roboter Nullpunkt), β Winkel zwischen der Verbindungsstrecke und der x-Achse.

\frac{x_{k+1} − x_{k}}{h} = cos (α + β)
\frac{x_{k+1} − x_{k}}{h} = \underbrace{cos α}_{cos \frac{π}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}} cos β − \underbrace{sin α}_{sin \frac{π}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}} sin β

x_{k+1} − x_{k} = \frac{h}{\sqrt{2}} (cos β − sin β)
x_{k+1} = x_{k} + \frac{h}{\sqrt{2}} (cos β − sin β)

ebenso für y:

\frac{y_{k+1} − y_{k}}{h} = sin (α + β)
\frac{y_{k+1} − y_{k}}{h} = sin α cos β + cos α sin β
y_{k+1} = y_{k} + \frac{h}{\sqrt{2}} (cos β + sin β)

Da die Hypotenuse des Dreiecks \sqrt{x_{n}^{2} + y_{n}^{2}} ist folgt für β:

β = arccos (\frac{x_{n}}{\sqrt{x_{n}^{2} + y_{n}^{2}}} )

β = arcsin (\frac{y_{n}}{\sqrt{x_{n}^{2} + y_{n}^{2}}} )

Einsetzen in die Gleichungen für x_{n+1}:

x_{k+1} = x_{k} + \frac{h}{\sqrt{2}} (\frac{x_{n}}{\sqrt{x_{n}^{2} + y_{n}^{2}}} − \frac{y_{n}}{\sqrt{x_{n}^{2} + y_{n}^{2}}} )
x_{k+1} = x_{k} + \frac{h(x_{n} − y_{n})}{\sqrt{2(x_{n}^{2} + y_{n}^{2})}} ■

ebenso für y_{n+1}:

y_{k+1} = y_{k} + \frac{h}{\sqrt{2}} (\frac{x_{n}}{\sqrt{x_{n}^{2} + y_{n}^{2}}} + \frac{y_{n}}{\sqrt{x_{n}^{2} + y_{n}^{2}}} )
y_{k+1} = y_{k} + \frac{h(x_{n} + y_{n})}{\sqrt{2(x_{n}^{2} + y_{n}^{2})}} ■

2.3

Der Winkel der Bewegungsrichtung (γ) als Funktion der Zeit (t) ist gesucht, oder auch nicht?

Wenn ich den Winkel in Abhängigkeit der Zeit kenne, kenne ich aber immer noch nicht die Position des Roboters. Eigentlich möchte ich den Ortsvektor des Roboters als Funktion der Zeit berechnen können. Mein Ansatz (für den x-Wert die Funktion f und für den y-Wert die Funktion g):

\underbrace{x_{k+1}}_{f(t+h)} = \underbrace{x_{k}}_{f(t)} +\frac{h(x_{n} − y_{n})}{\sqrt{2(x_{n}^{2} + y_{n}^{2})}}

\frac{f(t + h) − f(t)}{h} = \frac{h(f(t) − g(t))}{\sqrt{2(f(t)^{2} + g(t)^{2})}} mit lim_{h→0}
ḟ(t) = \frac{h(f(t) − g(t))}{\sqrt{2(f(t)^{2} + g(t)^{2})}}

für y_{k+1}:

ġ(t) = \frac{h(f(t) + g(t))}{\sqrt{2(f(t)^{2} + g(t)^{2})}}

2.4

Jeder Schritt des Roboters entspricht einem Eulerschritt, der Roboterschritt entspricht dem h, um die Differentialgleichnung zu erhalten wird lim_{h→0} berechnet (siehe 2.3).

Werte von 0 bis 200 sind uninteressant da der Roboter bei x = 200 startet. Da der Fehler grösser wird je mehr Schritte berechnet werden müssen und die Funktion steil ansteigt, würde der Graph bei x-Werten grösser 300 sehr wahrscheinlich in y-Richtung gestaucht, dadurch würde der Fehler weniger gut sichtbar.

2.5

Der Wert der DGL zur Zeit t = 10 wird mit der Euler-Methode berechnet. Mit 10 Schritten und einer Schrittweite von einer Minute bzw. mit 600 Schritten und einer Schrittweite von einer Sekunde. Um das Problem mit einer genügend grossen Genauigkeit für die Praxis zu lösen, reicht es sehr wahrscheinlich aus eine Schrittweite von einer Minute zu wählen und 60 mal weniger zu rechnen.

3

t_{0} = Beginn des Schneefalls (in h ab 00^{00})
S(t) = Schneehöhe zur Zeit t in m (ohne zu Schaufeln)
S_{∗} = Schneefallmenge in \frac{m}{h} = konstant
A = Schaufelleistung in \frac{m^{3}}{h} = konstant
b = Breite des Trottoirs in m = konstant
l = Trottoirlänge in m = konstant

Wieviele m^{3} muss ich von 9^{00} bis 11^{00} wegschaufeln. Geometrisch: schaufle einen Keil auf einem Quader weg. Das Volumen dieses Körpers ist gegeben durch die Breite b die Länge 2·l (schaffe zwei Blocks) und den beiden Höhen (S(9) und S(11)):

\frac{S(9) + S(11)}{2} · 2 · l · b  (1)

Wieviele m^{3} sind es von 11^{00} bis 13^{00}. Die Länge ist nun 1 · l (schaffe nur 1 Block):

\frac{S(11) + S(13)}{2} · l · b  (2)

(1) und (2) müssen gleich sein da meine Schaufelleistung konstant ist:

\frac{S(9) + S(11)}{2} · 2 · l · b = \frac{S(11) + S(13)}{2} · l · b
(S(9) + S(11)) · 2 = S(11) + S(13)
2S(9) + S(11) − S(13) = 0

Um 9^{00} hat es 9 − t_{0} Stunden geschneit ⇒ S(t) = S_{∗}(t − t_{0}) und somit:

2(9 − t_{0})S_{∗} + (11 − t_{0})S_{∗} − (13 − t_{0})S_{∗} = 0
18 − 2t_{0} + 11 − t_{0} − 13 + t_{0} = 0
16 − 2t_{0} = 0
8 = t_{0}

Also hat es um 8^{00} zu schneien angefangen.