\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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%eigene definitionen
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}

\date{\today{}}
\author{Thomas Kuster}
\title{UMNW, Mathematik 1, Lösung Serie 7}

\begin{document}
\markright{UMNW, Mathematik 1, Lösung Serie 7}
\pagestyle{myheadings}

\maketitle

\section{}
\subsection{}
\begin{eqnarray*}
x(t) & = & \mbox{Füllhöhe (in Meter) zur Zeit $t$ (in Minuten)}\\
x(0) & = & 10\\
x(120) & = & 5\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
x(t+\Delta t) & = & x(t) + \alpha x(t) \Delta t\\
\frac{x(t+h) - x(t)}{\Delta t} & = & \alpha x(t)\\
\lim_{\Delta t \to 0}{\frac{x(t+\Delta t) - x(t)}{\Delta t}} & = & \alpha x(t)\\
\dot{x}(t) & = & \alpha x(t)\\
\frac{\dot{x}(t)}{x(t)} & = & \alpha\\
\ln{x(t)} & = & \alpha t + c_1\\
x(t) & = & ce^{\alpha t}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
c \underbrace{e^{\alpha 0}}_{1} & = & 10\\
\Rightarrow c & = & 10\\
10 \cdot e^{\alpha 120} & = & 5\\
e^{\alpha 120} & = & \frac{1}{2}\\
\alpha 120 & = & \ln{\frac{1}{2}}\\
\alpha & = & \frac{\ln{\frac{1}{2}}}{120}\\
\label{alpha}\alpha & = & -\frac{\ln{2}}{120}\\
\end{eqnarray*}

\subsection{}
\begin{eqnarray*}
y(t) & = & t b\\
y(0) & = & 0\\
y(200) & = & 10\\
200 b & = & 10\\
b & = & \frac{1}{20}\\
\end{eqnarray*}
\begin{displaymath}
x(t+\Delta t) = x(t) + \underbrace{\alpha x(t) \Delta t}_{\mbox{Ausfluss V}_2} + \underbrace{y(\Delta t)}_{\mbox{Einlauf V}_1}\\
\end{displaymath}
\begin{eqnarray*}
\dot{x}(t) & = & \alpha x(t) + b\\
\frac{\dot{x}(t)}{\alpha x(t) + b} & = & 1\\
\frac{\alpha \dot{x}(t)}{\alpha x(t) + b} & = & \alpha\\
\ln{\alpha x(t) + b} & = & \alpha t + c_1\\
\alpha x(t) + b & = & c_2 e^{\alpha t}\\
x(t) & = & c e^{\alpha t} - \frac{b}{\alpha}\\
\end{eqnarray*}
$\alpha$ ist aus \ref{alpha} bekannt, $b$ ist auch bekannt und mit der Anfangsbedingung $x(0) = 2$ kann c berechnet werden:
\begin{eqnarray*}
x(0) & = & c \underbrace{e^{-\frac{\ln{2}}{120} 0}}_{1} - \frac{\frac{1}{20}}{-\frac{\ln{2}}{120}} = 2\\
c & = & 2 + \frac{\frac{1}{20}}{-\frac{\ln{2}}{120}}\\
c & = & 2 - \frac{6}{\ln{2}}\\
\end{eqnarray*}
Gesucht ist die Füllhöhe nach 2 Stunden:
\begin{eqnarray*}
x(t) & = & \left(2 - \frac{6}{\ln{2}}\right) e^{-\frac{\ln{2}}{120} t} + \frac{6}{\ln{2}}\\
x(120) & = & \left(2 - \frac{6}{\ln{2}}\right) e^{-\frac{\ln{2}}{120} 120} + \frac{6}{\ln{2}}\\
x(120) & = & 1 + \frac{3}{\ln{2}}\\
\end{eqnarray*}
Die noch zu füllende Höhe beträgt somit: $10 - \left(1 + \frac{3}{\ln{2}}\right)$
\begin{eqnarray*}
y(t_f) & = & 10 - \left(1 + \frac{3}{\ln{2}}\right)\\
\frac{1}{20} t_f & = & 9 - \frac{3}{\ln{2}}\\
t_f & = & 180 - \frac{60}{\ln{2}}\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
t^* & = & 120 + 180 - \frac{60}{\ln{2}}\\
t^* & = & 300 - \frac{60}{\ln{2}}\\
t^* & = & 213.44\\
t^* & = & 3h\; 33'\; 26''\\
\end{eqnarray*}

\subsection{}
\includegraphics{./serie7_plot0.eps}\\
Würden beide Ventile offen gelassen werden, würde sich ein Flüssigkeitsniveau von $\frac{6}{\ln{2}} = 8.66$ Meter einstellen.
\section{}
Zuordnung der Differtialgleichungen zu den Richtungsfeldern\\
\\
\begin{tabular}{lll}
h) $\dot{x} = tx^2+t^2$      & c) $\dot{x} = x-t$             & f) $\dot{x} = -\frac{t}{x}$\\
i) $\dot{x} = \frac{x}{x-t}$ & d) $\dot{x} = x$               & b) $\dot{x} = t$\\
e) $\dot{x} = \frac{x}{t}$   & g) $\dot{x} = \frac{x-2}{t-1}$ & a) $\dot{x} = 2$\\
\end{tabular}

\section{}
\begin{displaymath}
\dot{x}(t) = (x(t)+1) x(t) (x(t)-2) (x(t)-3) = x(t)^4 - 4x(t)^3 + x(t)^2 + 6x(t)
\end{displaymath}
\includegraphics{./serie7_plot1.eps}\\

\subsection{}
Gesucht sind die Nullstellen von $\dot{x}(t)$, diese sind: $\{-1, 0, 2, 3\}$.\\
\begin{tabular}{rl}
-1 & stabil\\
0 & instabil\\
2 & stabil\\
3 & instabil
\end{tabular}

\subsection{}
\begin{eqnarray*}
x(t^*+h) & \approx & x^4 - 4x^3 + x^2 + 6x + h \dot{(x^4 - 4x^3 + x^2 + 6x)}\\
x(t^*+h) & \approx & x^4 - 4x^3 + x^2 + 6x + h(4x^3 - 12x^2 + 2x + 6)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
x = & -1 & \qquad x(t^*+h) \approx -12h\\
x = & 0  & \qquad x(t^*+h) \approx   6h\\
x = & 2  & \qquad x(t^*+h) \approx  -6h\\
x = & 3  & \qquad x(t^*+h) \approx  12h
\end{eqnarray*}

\subsection{}
\begin{tabular}{lr}
Interval & konvergiert gegen\\
$(-\infty, -1)$ & -1\\
$(-1,0)$ & -1\\
$(0,2)$ & 2\\
$(2,3)$ & 2\\
$(3,\infty)$ & $\infty$\\

\end{tabular}

\subsection{}
\includegraphics{./serie7_plot2.eps}\\

\end{document}
