UMNW, Mathematik 1, Lösung Serie 7

Thomas Kuster

14. Dezember 2003

1

1.1

x(t) = Füllhöhe (in Meter) zur Zeit t (in Minuten)
x(0) = 10
x(120) = 5
x(t + Δt) = x(t) + αx(t)Δt
\frac{x(t + h) − x(t)}{Δt} = αx(t)
lim_{Δt→0} \frac{x(t + Δt) − x(t)}{Δt} = αx(t)
ẋ(t) = αx(t)
\frac{ẋ(t)}{x(t)} = α
ln x(t) = αt + c_{1}
x(t) = ce^{αt}
c \underbrace{e^{α0}}_{1} = 10
⇒ c = 10
10 · e^{α120} = 5
e^{α120} = \frac{1}{2}
α120 = ln \frac{1}{2}
α = \frac{ln \frac{1}{2}}{120}
α = −\frac{ln 2}{120}

UMNW, Mathematik 1, Lösung Serie 7 2

1.2

y(t) = tb
y(0) = 0
y(200) = 10
200b = 10
b = \frac{1}{20}
x(t + Δt) = x(t) + \underbrace{αx(t)Δt}_{Ausfluss V_{2}} + \underbrace{y(Δt)}_{Einlauf V_{1}}
ẋ(t) = αx(t) + b
\frac{ẋ(t)}{αx(t) + b} = 1
\frac{αẋ(t)}{αx(t) + b} = α
ln αx(t) + b = αt + c_{1}
αx(t) + b = c_{2}e^{αt}
x(t) = ce^{αt} − \frac{b}{α}

α ist aus 1 bekannt, b ist auch bekannt und mit der Anfangsbedingung x(0) = 2 kann c berechnet werden:

x(0) = ce^{− \frac{ln 2}{120} 0} − \frac{\frac{1}{20}}{−\frac{ln 2}{120}} = 2
c = 2 + \frac{\frac{1}{20}}{−\frac{ln 2}{120}}
c = 2 − \frac{6}{ln 2}

Gesucht ist die Füllhöhe nach 2 Stunden:

x(t) = (2 − \frac{6}{ln 2}) e^{− \frac{ln 2}{120} t} + \frac{6}{ln 2}
x(120) = (2 − \frac{6}{ln 2}) e^{− \frac{ln 2}{120} 120} + \frac{6}{ln 2}
x(120) = 1 + \frac{3}{ln 2}

UMNW, Mathematik 1, Lösung Serie 7 3 Die noch zu füllende Höhe beträgt somit: 10 − (1 + \frac{3}{ln 2})

y(t_{f}) = 10 − (1 + \frac{3}{ln 2})
\frac{1}{20}t_{f} = 9 − \frac{3}{ln 2}
t_{f} = 180 − \frac{60}{ln 2}
t^{∗} = 120 + 180 − \frac{60}{ln 2}
t^{∗} = 300 − \frac{60}{ln 2}
t^{∗} = 213.44
t^{∗} = 3h 33′ 26′′

1.3

Würden beide Ventile offen gelassen werden, würde sich ein Flüssigkeitsniveau von \frac{6}{ln 2} = 8.66 Meter einstellen.

2

Zu Ordnung der Differtialgleichungen zu den Richtungsfeldern

h) ẋ = tx^{2} + t^{2} c) ẋ = x − t f) ẋ = −\frac{t}{x}
i) ẋ = \frac{x}{x−t} d) ẋ = x b) ẋ = t
e) ẋ = \frac{x}{t}  g) ẋ = \frac{x−2}{t−1} a) ẋ = 2

3

ẋ(t) = (x(t) + 1)x(t)(x(t) − 2)(x(t) − 3) = 4x(t)^{3} + 6x(t)^{2} + 2x(t) + 6

3.1

Gesucht sind die Nullstellen von ẋ(t), diese sind: {−1, 0, 2, 3}.

-1 stabil
0 instabil
2 stabil
3 instabil

3.2

?

UMNW, Mathematik 1, Lösung Serie 7 5

3.3

Interval  konvergiert gegen
(−∞, −1)  -1
(−1, 0)  -1
(0, 2)  2
(2, 3)  2
(3, ∞)  ∞

3.4