UMNW, Mathematik 1, Lösung Serie 6

Thomas Kuster

16. Dezember 2003

1

1.1

> datax := [seq(i/4,i=0..4)];
                        datax := [0, 1/4, 1/2, 3/4, 1]
> datay := evalf(map(exp,datax));
datay := [1., 1.284025417, 1.648721271, 2.117000017,
   2.718281828]

1.2

∑_{k=1}^{n} (a + bx_{k} + cx_{k}^{2} − y_{k})^{2} = ∑_{k=1}^{n} r_{k}^{2} = R(a, b, c)
⇒
\frac{∂}{∂a}R(a, b, c) =^{!} 0
\frac{∂}{∂b}R(a, b, c) =^{!} 0
\frac{∂}{∂c}R(a, b, c) =^{!} 0

1.3

> with(stats): with(fit): with(plots):
> f := unapply(leastsquare[[x,y], y=a+b*x+c*x^2,{a,b,c}]\
> ([datax, datay]),x);
                                                         2
f := x -> y = 1.005140300 + .8642773549 x + .8435379451 x

1.4

> d:=map(x->evalf(abs(exp(x)-solve(f(x)))),datax);
d := [.005140300, .010094656, .000557808, .010838393,
   .005326228]

1.5

1.6

max_{0≤x≤1} |e^{x} − (1.005140300 + 0.8642773549x + 0.8435379451x^{2})|

Ableiten und Nullstellen im Intervall [0, 1] suchen.

e^{x} − (0.8642773549 + 2 · 0.8435379451x) =^{!} 0

> f_1 := x -> y =exp(x); #wie kann man das ohne diesen\
 Murks machen? Also aus f := x -> y = ... wieder ein\
 f := ... machen?
                       f_1 := x -> y = exp(x)
> w_1 := fsolve(diff(f(x)-f_1(x),x),x=0..1);
                         w_1 := .2450253158
> w_2 := fsolve(diff(f(x)-f_1(x),x),x=0.3..1);
                         w_2 := .7774048026
> f(w_1)-f_1(w_1);
                          0 = -.010099696
> f(w_2)-f_1(w_2);
                           0 = .011014509

Der Fehler im Intervall [0, 1] ist also bei x = 0.7774048026 am grössten.

UMNW, Mathematik 1, Lösung Serie 6 4

2

UMNW, Mathematik 1, Lösung Serie 6 5

3

f(x) = \frac{2 + x^{3} cos x + 1.5^{x}}{2 + x^{2}}

3.1

3.2

lim_{x→∞} \frac{2 + x^{3} cos x + 1.5^{x}}{2 + x^{2}} = \underbrace{lim_{x→∞} \frac{2}{2 + x^{2}}}_{=0} + \underbrace{lim_{x→∞} \frac{x^{3} cos x}{2 + x^{2}}}_{→[−1,1]·∞} + \underbrace{lim_{x→∞} \frac{1.5^{x}}{2 + x^{2}}}_{∞}

da jedoch gilt

| lim_{x→∞} \frac{x^{3} cos x}{2 + x^{2}}| < | lim_{x→∞} \frac{1.5^{x}}{2 + x^{2}} | ⇒ lim_{x→∞} f(x) = ∞

lim_{x→−∞} \frac{2 + x^{3} cos x + 1.5^{x}}{2 + x^{2}} = \underbrace{lim_{x→−∞} \frac{2}{2 + x^{2}}}_{=0} + \underbrace{lim_{x→−∞} \frac{x^{3} cos x}{2 + x^{2}}}_{→[−1,1]·∞} + \underbrace{lim_{x→−∞} \frac{1.5^{x}}{2 + x^{2}}}_{0}

⇒ lim_{x→−∞} f(x) oszilliert zwischen −∞ und ∞

3.3

> fsolve(f,x=-20..-15); # kann man nicht alle auf einmal\
>  suchen ohne zu programmieren?
                                 -17.27914744

Aus dem Graph der Funktion kann man ablesen, dass es 13 oder 14 Nullstellen geben muss. Durch suchen in weiteren Intervallen findet man folgende 13 Nullstellen: -17.27914744 -14.13645783 -10.99708682 -7.849761028 -4.732642621 2.075250069 4.626169720 7.907978386 10.92960813 14.24973935 17.07298153 20.98723434 22.59175091

3.4

\frac{d}{dx} (\frac{f}{g} ) = \frac{f′g − fg′}{g^{2}}
f = 2 + x^{3} cos x + 1.5^{x} ⇒ f′ = 3x^{2} cos x − x^{3} sin x + 1.5^{x} ln 1.5
g = 2 + x^{2} ⇒ g′ = 2x
\frac{f′g − fg′}{g^{2}} =

\frac{(3x^{2} cos x − x^{3} sin x + 1.5^{x} ln 1.5)(2 + x^{2}) − (2 + x^{3} cos x + 1.5^{x})2x}{(2 + x^{2})^{2}} =

\frac{6x^{2} cos x − x^{5} sin x + x^{4} cos x − 2x^{3} sin x − 4x + 1.5^{x}(ln 2.25 + ln 1.5x^{2} − 2x)}{(2 + x^{2})^{2}}

4

4.1

lim_{x→0} \frac{tan x}{x} {B d’ H \atop =} lim_{x→0} \frac{1}{cos^{2}(x) · 1} = 1

oder Taylor Reihe für tan x = x + … ⇒ \frac{x}{x} = 1

4.2

\frac{f(a + h) − f(a − h)}{2h} da (a + h) − (a − h) = 2h
\frac{f(a + 2h) − f(a − h)}{3h} da (a + 2h) − (a − h) = 3h

mit Octave

> a = 1
a = 1
> i = (1:8)
i =
  1  2  3  4  5  6  7  8
> h = 10.^-i
h =

   1.0000e-01   1.0000e-02   1.0000e-03   1.0000e-04
   1.0000e-05   1.0000e-06   1.0000e-07   1.0000e-08
> y_r = cos(a) # echter Wert
y_r = 0.54030
> y_0 = (sin(a.+h)-sin(a.-h))./h # müsste um Faktor 2 falsch
sein
y_0 =
  1.0788  1.0806  1.0806  1.0806  1.0806  1.0806  1.0806
  1.0806
> y_1 = (sin(a.+h)-sin(a.-h))./(2.*h)
y_1 =
   0.53940  0.54029  0.54030  0.54030  0.54030  0.54030
   0.54030  0.54030
> y_2 = (sin(a.+h)-sin(h))./h # muss sinnlos sein
y_2 =
   7.9137e+00   8.3683e+01   8.4101e+02   8.4143e+03
   8.4147e+04   8.4147e+05   8.4147e+06   8.4147e+07
> y_3 = (sin(a.+2.*h)-sin(a.-h))./(3.*h)
y_3 =
   0.49571  0.53607  0.53988  0.54026  0.54030  0.54030
   0.54030  0.54030
> y_4 = (sin(a.+h)-sin(a))./h # korrekt Fromel
y_4 =
  0.49736  0.53609  0.53988  0.54026  0.54030  0.54030
  0.54030  0.54030

4.3

cos (1 + h) ≈ cos 1 − sin 1 · h + ah^{2}  suche \frac{d}{dh^{2}}
− sin (1 + h) ≈ − sin 1 + 2ah
− cos (1 + h) ≈ 2a
−\frac{cos (1 + h)}{2} ≈ a

UMNW, Mathematik 1, Lösung Serie 6 9

5

ẇ(t) = w(t) − w^{2}(t)
x(t) := kw(akt) a, k ∈ ℝ
ẋ(t) = ax(t) (k − x(t))
ẋ(t) = akx(t) − ax^{2}(t)
kẇ(akt)ak = ak^{2}kw(akt) − ak^{2}w^{2}(akt)
ẇ(akt) = w(akt) − w^{2}(akt) mit t_{n} = akt
ẇ(t_{n}) = w(t_{n}) − w^{2}(t_{n})  ■