\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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%eigene definitionen
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}

\date{\today{}}
\author{Thomas Kuster}
\title{UMNW, Mathematik 1, Lösung Serie 5}

\begin{document}
\markright{UMNW, Mathematik 1, Lösung Serie 5}
\pagestyle{myheadings}

\maketitle

\section{}
siehe serie5\_loesung\_aufgabe1\_maple.pdf

\section{}
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial S(m,q)}{\partial q} & \overset{!}{=} & 0\\
\frac{\partial}{\partial q} \sum_{i=0}^{n}{(mx_i+q-y_i)^2} & = & 0\\
\sum_{i=0}^{n}{2(mx_i+q-y_i)} & = & 0\\
m \sum_{i=0}^{n}{x_i} + nq - \sum_{i=0}^{n}{y_i} & = & 0\\
mn \bar{x} + nq - n \bar{y} & = 0\\
m \bar{x} + q - \bar{y} & = 0\\
q  & = & \bar{y} - m \bar{x} \quad \blacksquare\\
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial S(m,q)}{\partial m} & \overset{!}{=} & 0\\
\frac{\partial}{\partial m} \sum_{i=0}^{n}{(mx_i+q-y_i)^2} & = & 0\\
\sum_{i=0}^{n}{2(mx_i+q-y_i)x_i} & = & 0\\
2 \sum_{i=0}^{n}{(mx_i+\bar{y}-m\bar{x}-y_i)x_i} & = & 0\\
\sum_{i=0}^{n}{mx_i^2 - m\bar{x}x_i + x_i \bar{y} - x_i y_i} & = & 0\\
m \sum_{i=0}^{n}{x_i^2 - \bar{x}x_i} + \sum_{i=0}^{n}{x_i \bar{y} - x_i y_i} & = & 0\\
m \sum_{i=0}^{n}{x_i^2 - \bar{x}x_i} & = & - \sum_{i=0}^{n}{x_i \bar{y} - x_i y_i}\\
m & = & \frac{- \sum_{i=0}^{n}{x_i \bar{y} - x_i y_i}}{\sum_{i=0}^{n}{x_i^2 - \bar{x}x_i}}\\
m & = & \frac{\sum_{i=0}^{n}{x_i y_i - x_i \bar{y}}}{\sum_{i=0}^{n}{x_i^2 - \bar{x}x_i}}\\
m & = & \frac{\sum_{i=0}^{n}{x_i y_i - \frac{x_i y_i}{n}}}{\sum_{i=0}^{n}{x_i^2 - \frac{x_i^2}{n}}}\\
m & = & \frac{\sum_{i=0}^{n}{n x_i y_i - x_i y_i}}{\sum_{i=0}^{n}{n x_i^2 - x_i^2}}\\
\end{eqnarray*}
zu beweisen ist das $m=\frac{\sum_{i=0}^{n}{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{\sum_{i=0}^{n}{(x_i-\bar{x})^2}}$ ist
\begin{eqnarray*}
\frac{\sum_{i=0}^{n}{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{(x_i-\bar{x})^2}
& \overset{?}{=} &
\frac{\sum_{i=0}^{n}{n x_i y_i - x_i y_i}}{\sum_{i=0}^{n}{n x_i^2 - x_i^2}}\\
\frac{\sum_{i=0}^{n}{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{(x_i-\bar{x})^2}
& = & m\\
\frac
{\sum_{i=0}^{n}{x_i y_i - x_i \bar{y} - \bar{x} y_i + \bar{x}\bar{y}}}
{\sum_{i=0}^{n}{x_i^2 - 2 x_i \bar{x} + \bar{x}^2}}
& = & m\\
\frac
{\sum_{i=0}^{n}{x_i y_i - x_i \bar{y} - \bar{x} y_i + \bar{x}\bar{y}}}
{\sum_{i=0}^{n}{x_i^2 - 2 x_i \bar{x} + \bar{x}^2}}
& = & m\\
\frac
{\sum_{i=0}^{n}{x_i y_i - \frac{2 x_i y_i}{n} + \frac{x_i y_i}{n^2}}}
{\sum_{i=0}^{n}{x_i^2 - \frac{2 x_i x_i}{n} + \frac{x_i^2}{n^2}}}
& = & m\\
\frac
{n^2 \sum_{i=0}^{n}{n^2 x_i y_i - 2 n x_i y_i + x_i y_i}}
{n^2 \sum_{i=0}^{n}{n^2 x_i^2 - 2 n x_i x_i + x_i^2}}
& = & m\\
\frac
{\sum_{i=0}^{n}{(n^2 - 2 n + 1) x_i y_i}}
{\sum_{i=0}^{n}{(n^2 - 2 n + 1) x_i^2}}
& = & m\\
\frac
{\sum_{i=0}^{n}{(n - 1)^2 x_i y_i}}
{\sum_{i=0}^{n}{(n - 1)^2 x_i^2}}
& = & m\\
\frac
{(n-1)\sum_{i=0}^{n}{(n - 1) x_i y_i}}
{(n-1)\sum_{i=0}^{n}{(n - 1) x_i^2}}
& = & m\\
\frac
{\sum_{i=0}^{n}{n x_i y_i - x_i y_i}}
{\sum_{i=0}^{n}{n x_i^2 - x_i^2}}
& = &
\frac{\sum_{i=0}^{n}{n x_i y_i - x_i y_i}}{\sum_{i=0}^{n}{n x_i^2 - x_i^2}}
\quad \blacksquare\\
\end{eqnarray*}

\section{}
\includegraphics{serie5_plot0.eps}
\begin{eqnarray*}
f(x,y) & = & \left( \sin{x} \right)^y\\
f(x,y) & = & e^{\ln{((\sin{x})^y)}}\\
f(x,y) & = & e^{y\ln{\sin{x}}}\\
\end{eqnarray*}
\subsection{Definitionsbereich $\mathbb{D}$ für $f(x,y) \in \mathbb{R}$}
Betrachte zuerst die Funktion $g(a,b) = a^b$
\begin{eqnarray*}
\mathbb{D} & \supset{} & \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R} \mbox{ da Wurzeln von Zahlen } < 0 \notin \mathbb{R}\\
\mathbb{D} & \supset{} & \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \mbox{ falls $b < 0$ gilt } \frac{1}{a}^{-b} \in \mathbb{Q}\\
\end{eqnarray*}
nun gilt $a = \sin{x}$ und $b = y$
\begin{eqnarray*}
\mathbb{D} & \supset{} & 2k\pi \leqslant x \leqslant (2k+1)\pi \times \mathbb{R} \qquad k \in \mathbb{Z}\\
\mathbb{D} & \supset{} & x = k 2 \pi - \frac{\pi}{2} \times \mathbb{Z} \qquad k \in \mathbb{Z}\\
\Rightarrow \mathbb{D} & = & \{ 2k\pi < x < (2k+1)\pi | k \in \mathbb{Z} \} \times \mathbb{R} \qquad k \in \mathbb{Z}\\
\end{eqnarray*}


\subsection{Partielle Ableitungen}
\begin{eqnarray*}
f_x(x,y) & = & y\sin{x}^{y-1}\cos{x}\\
\\
f_y(x,y) & = & e^{y\ln{\sin{x}}} \ln{\sin{x}}\\
f_y(x,y) & = & (\sin{x})^y \ln{\sin{x}}\\
\\
f_{xy}(x,y) & = & \frac{\partial}{\partial y} y (\sin{x})^{y-1}\cos{x}\\
f_{xy}(x,y) & = & \frac{\partial}{\partial y} y e^{(y-1)\ln{\sin{x}}}\cos{x}\\
f_{xy}(x,y) & = & \frac{\partial}{\partial y} y e^{y\ln{\sin{x}}-\ln{\sin{x}}}\cos{x}\\
f_{xy}(x,y) & = & e^{(y-1)\ln{\sin{x}}}\cos{x} + y \left(e^{(y-1)\ln{\sin{x}}} \ln{(\sin{x})} \cos{x} + 0\right)\\
f_{xy}(x,y) & = & (\sin{x})^{y-1}\cos{x}  + y (\sin{x})^{y-1} \ln{(\sin{x})} \cos{x}\\
\\
f_{yx}(x,y) & = & \frac{\partial}{\partial x} (\sin{x})^y \ln{\sin{x}}\\
f_{yx}(x,y) & = & y (\sin{x})^{y-1} \cos{x} \ln{\sin{x}} + (\sin{x})^y \frac{1}{\sin{x}} \cos{x}\\
\Rightarrow f_{xy}(x,y) & = & f_{yx}(x,y)\\
\end{eqnarray*}
\subsection{Punkt $(x,y) = (\frac{\pi}{6},2)$}
\begin{eqnarray*}
f_{xy} = f_{yx} & = & (\sin{x})^{y-1}\cos{x}  + y (\sin{x})^{y-1} \ln{(\sin{x})} \cos{x}\\
f_{xy} = f_{yx} & = & (\sin{\frac{\pi}{6}})^{2-1}\cos{\frac{\pi}{6}}  + 2 (\sin{\frac{\pi}{6}})^{2-1} \ln{(\sin{\frac{\pi}{6}})} \cos{\frac{\pi}{6}}\\
f_{xy} = f_{yx} & = & \sin{\frac{\pi}{6}}\cos{\frac{\pi}{6}}  + 2 \sin{\frac{\pi}{6}}\cos{\frac{\pi}{6}} \ln{(\sin{\frac{\pi}{6}})}\\
f_{xy} = f_{yx} & = & \sin{\frac{\pi}{6}}\cos{\frac{\pi}{6}} (1 + 2\ln{(\sin{\frac{\pi}{6}})})\\
f_{xy} = f_{yx} & = & \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} (1 + 2\ln{\frac{1}{2}})\\
f_{xy} = f_{yx} & = & \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}\ln{2}\\
\end{eqnarray*}

\section{}
$x_A$ ist die Funktion von Anna (gepunktet) und $x_B$ die Funktion von Beat (ausgezogen).
Die Funktionen sind symetrisch mit der Symetrieachse $t=5$.
Bei der Funktion von Beat handelt es sich um zwei Geraden mit Steigungen 10 bzw. -10. Ich nehme an, dass die Funktion von Anna eine Parabel ist $\Rightarrow at^2+bt+c=y$ mit folgenden gegebenen Werten: $x_A(0)=0$, $x_A(5)=50$ und $x_A(10)=0$ $\Rightarrow x_A(t)=-2t^2+20t$.
\subsection{}
$x_A(10) = x_B(10) \checkmark \Rightarrow$ beide sind gleichschnell.
\subsection{}
\begin{eqnarray*}
\max\abs{x_A(t)-x_B(t)} & \Rightarrow & \dot{x}_A(t) - \dot{x}_B(t) = 0 \Rightarrow\\
\dot{x}_A(t) & = & \dot{x}_B(t)\\
-4t+20 & = & 10\\
t & = & \frac{5}{2} \Rightarrow \mbox{ zum Zeitpunkt } t = \frac{5}{2} \mbox{ und } t = 5 + \frac{5}{2}
\end{eqnarray*}
\subsection{}
\begin{eqnarray*}
\abs{\dot{x}_A(t)} & = & \abs{-4t+20} \mbox{ mit } t=\{2,7\} \Rightarrow \{12,8\}\\
\abs{\dot{x}_B(t)} & = & \abs{\pm 10} \mbox{ mit } t=\{2,7\} \Rightarrow \{10,10\}
\end{eqnarray*}
\subsection{}
$\abs{\dot{x}_B(t)} < \abs{\dot{x}_A(t)} \Rightarrow 0 \leqslant t < \frac{5}{2}$ und $10 -\frac{5}{2} < t \leqslant 10$
\end{document}
