\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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\date{\today{}}
\author{Thomas Kuster}
\title{UMNW, Mathematik 1, Lösung Serie 3}

\begin{document}
\markright{UMNW, Mathematik 1, Lösung Serie 3}
\pagestyle{myheadings}

\maketitle

\section{}

\subsection{}
\subsubsection{}
\begin{displaymath}
f(10) = 15
\end{displaymath}
\subsubsection{}
\begin{displaymath}
f(20) = 25
\end{displaymath}

\subsection{}
\begin{displaymath}
f \left( f \left(10 \right) \right) = f(15) = 21
\end{displaymath}

\subsection{}
\begin{displaymath}
\text{für welche $x$ gilt}\quad f(x) = x \Rightarrow f(0) = 0 \mbox{ oder }f(30) = 30
\end{displaymath}

\subsection{}
\begin{displaymath}
f(10) - 10 = 15 -10 = 5
\end{displaymath}

\subsection{}
\begin{displaymath}
\max{f(x) - x} = 21 - 15 = 6 \Rightarrow x = 15
\end{displaymath}

\section{}

\subsection{}
\subsubsection{}
$q = -0.2,\quad m = 0,9$

\subsubsection{}
$q = 4,\quad m = -0.8$

\subsection{}
\subsubsection{}
\begin{eqnarray*}
m & = & \frac{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{x_k y_k - \bar{x} \bar{y}}}{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{x_k^2 - \bar{x}^2}}\\
m & = & 0.4966740576\\
q & = & \bar{y} - m \bar{x}\\
q & = & 0.789356985\\
\end{eqnarray*}
Punkte: Werte, gepunkte Linie: geschätzt, Linie: gerechnet\\
\includegraphics{serie3_plot0.eps}\\

\subsubsection{}
\begin{eqnarray*}
m & = & 0.05970149254\\
q & = & 2.490671642\\
\end{eqnarray*}
\includegraphics{serie3_plot1.eps}\\

\section{}

\subsection{}
$xm$: Mittelwert der x-Werte (Summe der Einträge durch die Anzahl Einträge) im eigenen Programm Funktion mittel\\
$ym$: Mittelwert der y-Werte\\
$sigxy$: Korrelationskoeffizient (Ableitung nach x und y)\\
$sigx2$: Korrelationskoeffizient (2 mal Ableitung nach x)\\
$sigy2$: Korrelationskoeffizient (2 mal Ableitung nach y)\\

\begin{verbatim}
#lineare approximation (kleinste fehlerquadrate)
#
#in:  zwei vektoren mit den x- und y-werten
#     der gesuchten linearen funktion
#out: vektor mit m: steigung, q: achsenabschnitt und
#     c: korrelationskoeffizient

quadapprox := proc(x,y);

#linalg-zeug einbinden
with(linalg):

n := vectdim(x);

#ersatz fuer diese funktion? [x] geht nicht!
mittel := proc(vec);
#da global n nicht funktioniert
n := vectdim(x);
dotprod(vec,[seq(1,i=1..n)])/n;
end;

#sinnvolle eingabe?
if( vectdim(y) <> n)
  then print("Fehler: x und y haben andere Dimensionen");
  return(0);
fi;

#m berechnen
sigxy := 1/n*dotprod(x,y)-mittel(x)*mittel(y);
sigx2 := 1/n*dotprod(x,x)-mittel(x)^2;
sigy2 := 1/n*dotprod(y,y)-mittel(y)^2;
m := sigxy/sigx2;

#q berechnen
q := mittel(y)-m*mittel(x);

#korrelationskoeffizient
c := sigxy/sqrt(sigx2*sigy2);

#beide werte als vector zurueckgeben
print("[q, m, c]");
return([q, m, c]);
end;
\end{verbatim}

\subsection{}
\begin{verbatim}
> read quadapprox:
.
.
.
> quadapprox(a1,a2);
                      "[q, m, c]"

        [.789356985, .4966740576, .9322980215]

>
\end{verbatim}

\section{}
\includegraphics{serie3_plot2.eps}\\
\begin{verbatim}
> evalf(quadapprox(g1,g2));
                      "[q, m, c]"

       [-118.0258250, 1.103299857, .8151067735]

> evalf(quadapprox(g2,g1));
                      "[q, m, c]"

        [129.6366484, .6021926390, .8151067735]

\end{verbatim}
Gewicht als Funktion der Körpergrösse (wie Graph):\\
$y = -118.0258250 + 1.103299857 x$\\
Korrelationskoeffizient:\\
$c = 0.8151067735$\\
\\
Körpergrösse als Funktion des Gewichts:\\
$y = 129.6366484 + 0.6021926390 x$\\
Korrelationskoeffizient:\\
$c = 0.8151067735$

\end{document}
