UMNW, Mathematik 1, Lösung Serie 3

Thomas Kuster 25. November 2003

1

1.1

1.1.1

f(10) = 15

1.1.2

f(20) = 25

1.2

f (f (10)) = f(15) = 21

1.3

für welche x gilt f(x) = x ⇒ f(0) = 0 oder f(30) = 30

1.4

f(10) − 10 = 15 − 10 = 5

1.5

max f(x) − x = 21 − 15 = 6 ⇒ x = 15

2

2.1

2.1.1 q = −0.2, m = 0, 9 2.1.2 q = 4, m = −0.8

2.2

2.2.1

m = \begin{matrix}\frac{1}{n} & ∑ & {n \atop k=1} & x_{k}y_{k} − x̄ȳ \\ \frac{1}{n} & ∑ & {n \atop k=1} & x_{k}^{2} − x̄^{2} \end{matrix}
m = 0.4966740576
q = ȳ − mx̄
q = 0.789356985

Punkte: Werte, gepunkte Linie: geschätzt, Linie: gerechnet

2.2.2

m = 0.05970149254
q = 2.490671642

3

3.1

xm: Mittelwert der x-Werte (Summe der Einträge durch die Anzahl Einträge) im eigenen Programm Funktion mittel ym: Mittelwert der y-Werte sigxy: Korrelationskoeffizient (Ableitung nach x und y) sigx2: Korrelationskoeffizient (2 mal Ableitung nach x) sigy2: Korrelationskoeffizient (2 mal Ableitung nach y)

#lineare approximation (kleinste fehlerquadrate)
#
#in:  zwei vektoren mit den x- und y-werten
#     der gesuchten linearen funktion
#out: vektor mit m: steigung, q: achsenabschnitt und
#     c: korrelationskoeffizient
quadapprox := proc(x,y);
#linalg-zeug einbinden
with(linalg):

n := vectdim(x);
#ersatz fuer diese funktion? [x] geht nicht!
mittel := proc(vec);
#da global n nicht funktioniert
n := vectdim(x);
dotprod(vec,[seq(1,i=1..n)])/n;
end;
#sinnvolle eingabe?
if( vectdim(y) <> n)
  then print("Fehler: x und y haben andere Dimensionen");
  return(0);
fi;
#m berechnen
sigxy := 1/n*dotprod(x,y)-mittel(x)*mittel(y);
sigx2 := 1/n*dotprod(x,x)-mittel(x)^2;
sigy2 := 1/n*dotprod(y,y)-mittel(y)^2;
m := sigxy/sigx2;
#q berechnen
q := mittel(y)-m*mittel(x);
#korrelationskoeffizient
c := sigxy/sqrt(sigx2*sigy2);
#beide werte als vector zurueckgeben
print("[q, m, c]");
return([q, m, c]);
end;

3.2

> read quadapprox:
.
.
.
> quadapprox(a1,a2);
                      "[q, m, c]"
        [.789356985, .4966740576, .9322980215]
>

4

> evalf(quadapprox(g1,g2));
                      "[q, m, c]"
       [-118.0258250, 1.103299857, .8151067735]
> evalf(quadapprox(g2,g1));
                      "[q, m, c]"
        [129.6366484, .6021926390, .8151067735]

Gewicht als Funktion der Körpergrösse (wie Graph): y = −118.0258250 + 1.103299857x Korrelationskoeffizient: c = 0.8151067735

Körpergrösse als Funktion des Gewichts: y = 129.6366484 + 0.6021926390x Korrelationskoeffizient: c = 0.8151067735