\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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\date{\today{}}
\author{Thomas Kuster}
\title{UMNW, Mathematik 1, Lösung Serie 2}

\begin{document}
\markright{UMNW, Mathematik 1, Lösung Serie 2}
\pagestyle{myheadings}

\maketitle

\section{}
siehe serie2\_loesung\_aufgabe1\_maple.pdf

\section{}
\begin{eqnarray*}
B(0) & = & 5000 \mbox{ Schulden zum Zeitpunkt } t=0\\
R & = & 870 \mbox{ monatliche Rate}\\
n & = & 6 \mbox{ Anzahl Monate}\\
q & = & \mbox{monatlicher Zins}\\
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
B(0) & = & 5000\\
B(1) & = & 5000 q - R\\
B(1) & = & B(0) q - R\\
B(2) & = & \left(B(0) q - R\right) q -R\\
& \vdots &\\
B(n) & = & B(0) q^n - R \sum_{k=0}^{n-1} q^k\\
B(n) & = & B(0) q^n - R \frac{q^n-1}{q-1}\\
B(n) & \overset{!}{=} & 0\\
0 & = & B(0) q^n - R \frac{q^n-1}{q-1}\\
\end{eqnarray*}

Lösen mit Maple

\begin{verbatim}
> B:= 0 = B_0*q^n-R*(q^n-1)/(q-1);
                                               n
                                       n   R (q  - 1)
                         B := 0 = B_0 q  - ----------
                                             q - 1

> B_0 := 5000;
                                  B_0 := 5000

> R := 870;
                                   R := 870

> n := 6;
                                    n := 6

> q := fsolve(B,q);
                               q := 1.012443209

> q^12;
                                  1.159973480

> (q-1)*100; # in %
                                   1.2443209

> (q^12-1)*100; # Jahreszins in %
                                  15.9973480

\end{verbatim}

\section{}
\begin{eqnarray*}
x(0) & = & 100 kg \mbox{ Salz im Tank zum Zeitpunkt } t=0\\
A & = & 12 l \mbox{ Ausflussmenge pro } t\\
T & = & 400 l \mbox{ Tankinhalt}\\
\Delta t & = & \mbox{ kleiner Zeitabschnitt}\\
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
x(0 + \Delta t) & = & x(0) - \frac{A \Delta t}{T} x(0)\\
x(t + \Delta t) & = & x(t) - \frac{A \Delta t}{T} x(t)\\
x(t + \Delta t) - x(t)  & = - \frac{A \Delta t}{T} x(t)\\
\frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t}  & = - \frac{A}{T} x(t)\\
\lim_{\Delta t \to 0}{\frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t}}  & = - \frac{A}{T} x(t)\\
\dot x(t) & = & - \frac{A}{T} x(t)\\
\end{eqnarray*}
Ansatz $e^{t+c}$
\begin{eqnarray*}
\underbrace{- \frac{A}{T} e^{-\frac{A}{T}t + c}}_{\dot x(t)} & = & - \frac{A}{T} \underbrace{e^{-\frac{A}{T}t + c}}_{x(t)}\\
x(t) & = & e^{-\frac{A}{T}t + c}\\
x(t) & = & e^c e^{-\frac{A}{T}t}\\
\end{eqnarray*}
Anfangsbedingung
\begin{eqnarray*}
\underbrace{x(0)}_{100} & = & e^c \underbrace{e^{-\frac{A}{T}0}}_{1}\\
x(t) & = & 100 \cdot e^{-\frac{A}{T}t}\\
\end{eqnarray*}
\includegraphics{serie2_plot0.eps}

\end{document}
