UMNW, Mathematik 1, Lösung Serie 2

Thomas Kuster

11. November 2003

1

siehe serie2 loesung aufgabe1 maple.pdf

2

B(0) = 5000 Schulden zum Zeitpunkt t = 0
R = 870 monatliche Rate
n = 6 Anzahl Monate
q = monatlicher Zins

B(0) = 5000
B(1) = 5000q − R
B(1) = B(0)q − R
B(2) = (B(0)q − R) q − R
⋮
B(n) = B(0)q^{n} − R ∑_{k=0}^{n−1} q^{k}
B(n) = B(0)q^{n} − R\frac{q^{n} − 1}{q − 1}
B(n) =^{!} 0
0 = B(0)q^{n} − R\frac{q^{n} − 1}{q − 1}

Lösen mit Maple

> B:= 0 = B_0*q^n-R*(q^n-1)/(q-1);
                                               n
                                       n   R (q  - 1)
                         B := 0 = B_0 q  - ----------
                                             q - 1
> B_0 := 5000;
                                  B_0 := 5000
> R := 870;
                                   R := 870
> n := 6;
                                    n := 6
> q := fsolve(B,q);
                               q := 1.012443209
> q^12;
                                  1.159973480
> (q-1)*100; # in %
                                   1.2443209
> (q^12-1)*100; # Jahreszins in %
                                  15.9973480

3

x(0) = 100kg Salz im Tank zum Zeitpunkt t = 0
A = 12l Ausflussmenge pro t
T = 400l Tankinhalt
Δt = kleiner Zeitabschnitt

x(0 + Δt)  =  x(0) − \frac{AΔt}{T}x(0)
x(t + Δt)  =  x(t) − \frac{AΔt}{T}x(t)
x(t + Δt) − x(t) = −\frac{AΔt}{T}x(t)
\frac{x(t + Δt) − x(t)}{Δt} = −\frac{A}{T}x(t)
lim_{Δt→0} \frac{x(t + Δt) − x(t)}{Δt} = −\frac{A}{T}x(t)
ẋ(t)  =  −\frac{A}{T}x(t)

Ansatz e^{t+c}

\underbrace{−\frac{A}{T}e^{− \frac{A}{T} t+c}}_{ẋ(t)} = −\frac{A}{T} \underbrace{e^{− \frac{A}{T} t+c}}_{x(t)}

x(t) = e^{− \frac{A}{T} t+c}
x(t) = e^{c}e^{− \frac{A}{T} t}

Anfangsbedingung

\underbrace{x(0)}_{100} = e^{c} \underbrace{e^{− \frac{A}{T} 0}}_{1}

x(t) = 100 · e^{− \frac{A}{T} t}