UWIS, Mathematik 1, Lösung Serie 12

Thomas Kuster 1. Februar 2004

1 DGL mit Taylorpolynomen lösen

1.1 1.2

2

2.1 exakte Werte

cos 75° + i sin 75° =e^{i75°} = e^{i(\frac{π}{4} \frac{π}{6})} = e^{i(\frac{π}{4})}e^{i(\frac{π}{6})}
= (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4} ) (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6} )
= (\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}) (\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2})
=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} + i\frac{1}{2\sqrt{2}} + i\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} − \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} − 1}{2\sqrt{2}} + i\frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}

Somit ist sin 75° = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} und cos 75° = \frac{\sqrt{3}−1}{2\sqrt{2}}.

\begin{matrix}cos 105° + i sin 105° = & e^{i(75°+30°)} = (\frac{\sqrt{3} − 1}{2\sqrt{2}} + i\frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}) e^{i \frac{π}{6}} \\ = & (\frac{\sqrt{3} − 1}{2\sqrt{2}} + i\frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}) (\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) \\ = & \frac{(\sqrt{3} − 1) \sqrt{3}}{4\sqrt{2}} + i\frac{\sqrt{3} − 1}{4\sqrt{2}} + i\frac{(\sqrt{3} + 1) \sqrt{3}}{4\sqrt{2}} − \frac{\sqrt{3} + 1}{4\sqrt{2}} \\ = & \frac{3 − \sqrt{3} − 1 − \sqrt{3}}{4\sqrt{2}} + i\frac{\sqrt{3} − 1 + \sqrt{3} + 3}{4\sqrt{2}} \\ = & \frac{2 − 2\sqrt{3}}{4\sqrt{2}} + i\frac{2\sqrt{3} − 2}{4\sqrt{2}} = \frac{1 − \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} + i\frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} \end{matrix}

Somit ist sin 105° = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} und cos 105° = \frac{1−\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}.

UWIS, Mathematik 1, Lösung Serie 12 2

2.2 Funktionen von 3α

e^{i3α} =e^{iα}e^{iα}e^{iα} = (cos α + i sin α)(cos α + i sin α)(cos α + i sin α)
=(cos^{2} α + 2i sin α cos α + sin^{2} α)(cos α + i sin α)
= cos^{3} α + 2i sin α cos^{2} α − sin^{2} α cos α + i sin α cos^{2} α
+ 2i^{2} sin^{2} α cos α − i sin^{3} α
= cos^{3} α − 3 sin^{2} α cos α + i(3 sin α cos^{2} α − sin^{3} α)
= cos^{3} α − 3(1 − cos^{2} α) cos α + i(3 sin α(1 − sin^{2} α) − sin^{3} α)
=4 cos^{3} α − 3 cos α + i(3 sin α − 4 sin^{3} α)
sin 3α = 3 sin α − 4 sin^{3} α
cos 3α = 4 cos^{3} α − 3 cos α

2.3 Linearfaktorzerlegung von x^{4} − 2x^{2} − 8

Substitution mit y = x^{2} ⇒ x^{4} − 2x^{2} − 8 = y^{2} − 2y − 8 = (y − 2)(y + 4). Durch Rücksubstitution ergibt sich:

\sqrt{y_{1}} = ±\sqrt{2}
\sqrt{y_{2}} = ±i2

Somit ist die Linearfaktorzerlegung (x + \sqrt{2})(x − \sqrt{2})(x + i2)(x − i2).

2.4 Polynom mit gegebenen Nullstellen

(x − 1)(x − (1 + i))(x − (1 − i)) = (x − 1)(x − 1 − i)(x − 1 + i)

= (x − 1)(x^{2} − x + ix − x + 1 − i − ix + i + 1)

= (x − 1)(x^{2} − 2x + 2) = x^{3} − 2x^{2} + 2x − x^{2} + 2x − 2
= x^{3} − 3x^{2} + 4x − 2

3 Differentialgleichung